Analysis and synthesis of robust control for linear systems of double damping

Abstract

The paper sets forth the method for constructing a robust control suspension of the automobile when there is an interval uncertainty of car cargo weight and drivers’ mass as well as the impossibility of measuring deviations of the car body and the driver's seat of their state of rest. The paper gives clear justification for the relevance of the application of synthesized robust control in comparison with other on the quality of the transient processes.

Full Text

Робастные системы и робастные устройства значительно увеличивают надежность и устойчивость технических комплексов. Одним из подходов к созданию живучих функциональных узлов может стать поиск решений, обладающих нулевой чувствительностью выходных характеристик к изменению величин мешающих факторов, в качестве которых может выступать температура, давление, радиоактивность, рассогласование импедансов, влажность, вибрация и т.д. [4]. Сформировав функцию чувствительности некоторых выходных характеристик α к изменению некоторых величин: можно попытаться найти набор характеристик, при которых возможно достижение нулевой чувствительности: при определенном γ или минимальной чувствительности в некоторой δ-окрестности параметра γ. Тогда даже большое изменение параметра γ под воздействием мешающих факторов, в том числе катастрофический отказ, не повлияют значительно на работу системы. Рассмотрим применение этой идеи к системе двойного демпфирования. Рассмотрим двухдемпферную модель объекта, а именно: колеса и водительского сиденья (рисунок 1), которая описывает особенности реальной системы. Рисунок 1 – Двухдепферная модель ¼ автомобиля Здесь большим прямоугольником с подписью Мс обозначен автомобиль со своей массой, а меньший прямоугольник ms – водитель, сидящий на кресле. Вертикальные колебания от колеса поглощаются гасителем ударов, который состоит из пружины k1 и демпфера b1. Для более качественного снижения нежелательной вибрации под креслом водителя вмонтирована еще одна пружина k2 и демпфер b2. Компенсация колебаний как автомобиля, так и сиденья ускоряется с помощью входных управляющих воздействий u1(t) и u2(t). Применяя знания из курса физики (механики), по второму закону Ньютона можно описать нашу модель системой дифференциальных физических уравнений: - для автомобиля , - для кресла . Зададим переменные пространства состояний: (1) где: - вертикальное смещение кузова автомобиля от своего положения равновесия, м; - вертикальное смещение кресла водителя от своего положения равновесия, м; - вертикальная скорость кузова автомобиля, м/с; - вертикальная скорость кресла водителя, м/с. Тогда можно переписать физические дифференциальные уравнения, описывающие объект, в виде динамической системы в пространстве координат (2): (2) Значения параметров модели указаны в таблице 1. Таблица 1. Значения параметров модели Введем обозначения: , , , , , . Тогда система (2) перепишется в виде (3): (3) Наша задача состоит в конструировании оптимального управления при отсутствии информации о массе груза автомобиля и массе водителя в конкретный момент времени, причем к управлению предъявляется требование, чтобы оно качественно отрабатывало любую ситуацию из заданных диапазонов изменения параметров, т.е. на управление накладывается требование робастности [1, 2]. Диапазоны изменения масс выбраны эмпирически так, чтобы они адекватно отражали реальное положение дел. Возмущениями назовем отклонения масс автомобиля и сиденья с водителем от своих средних значений. Оптимальность синтезированного управления будем оценивать по качеству переходных процессов (амплитуда и скорость затухания колебаний) и квадратичному функционалу качества: (4) где: S – решение стационарного уравнения Риккати-Лурье для случая наихудших значений параметров возмущения: (5) где: матрицы и - наихудшие с точки зрения качества переходных процессов при заданных диапазонах изменения масс, т.е. робастная модель объекта имеет вид: (6) Матрицы Q и R возьмем для простоты единичными. В данной статье для упрощения изложения мы опускаем изложение способа нахождения матриц A* и B*, а сразу воспользуемся его результатами: По этим матрицам строим оптимальное робастное управление (рисунок 2). Можно сравнить его по качеству с другими следующим образом: подставить робастное управление в любую другую систему, а управление этой системы подставить в робастную систему и сравнить качество переходных процессов (рисунок 3). Рисунок 2 – Схема построения оптимального робастного управления Рисунок 3 – Сравнение различных управлений Однако следует заметить, что в жизни мы не можем реализовать полученное управление, т.к. не все координаты состояния объекта доступны для измерения. Введем специальный измеритель: (7) где: В этом случае нам сначала нужно построить наблюдатель. Тогда оптимальное управление будет искаться в той же форме, только через оценку для неизвестных координат состояния: (8) Построим наблюдатель сокращенной размерности, т.е. наблюдатель Луинбергера. В этом случае: (9) и назначим: (10) Тогда . (11) Так как в нашем случае – единичная матрица, то найти V и P не составляет труда: Будем строить оценку состояния так: (12) при (13) причем если x(t0) – известно, то z(t0) = T(t0)·x(t0) и тогда . Рисунок 4 – Схема синтеза оптимального робастного управления с помощью наблюдателя Луинбергера Изложенный подход к решению задачи о нахождении оптимального робастного управления при недоступности измерения некоторых координат реализует схема в среде Matlab, приведенная на рисунке 4. Как отмечалось ранее, если известно , то наша оценка координаты равна в точности исходной координате. Если же мы выбирали начальные условия наугад, то погрешности не избежать, но она будет со временем стремиться к нулю (рисунок 5). Рисунок 5 – Графики погрешностей оценки третьей и четвертой координат объекта Проиллюстрируем отличие графиков колебаний двух первых координат состояния объекта при известных начальных условиях и при выбранных случайным образом (рисунки 6 и 7). Рисунок 6 – График колебания двух первых координат состояния объекта при наличии известного начального состояния Тем самым мы решили поставленную задачу о нахождении оптимального робастного управления в случае интервальной неопределенности параметров при невозможности измерения нескольких координат состояния объекта. Рисунок 7 – График колебания двух первых координат состояния объекта при отсутствии информации о двух начальных координатах