Dynamic robust stabilization problem for the linear nonstationary systems

Full Text

Любой технический комплекс или любая социально-экономическая модель приносит пользу, только если она исправно функционирует. Этим очевидным обстоятельством вызван интерес к конструированию робастных систем и моделей и синтезу для них оптимального робастного управления, гарантирующего живучесть таких систем при любых, даже при самых негативных, значениях возмущающих факторов [5]. В данной статье мы рассмотрим синтез оптимального робастного управления для линейных систем при наличии интервальной неопределенности возмущающих факторов[2, 3]. Указанная задача очень актуальна, т.к. на практике мы часто не можем измерить значения возмущающих факторов в конкретный момент времени, но при этом весьма четко представляем себе их допустимые диапазоны изменения. Приведем правило выбора наихудших параметров возмущения из известного диапазона. Применительно к указанной системе будет рассмотрена d-робастная задача, которая также имеет большую практическую ценность, потому что, говоря о живучести системы, часто имеют в виду ее способность после отработки возмущения входить в допустимую полосу колебаний за отведенное время. Очевидно, что, ставя более жесткие ограничения на допустимые колебания системы, мы должны дать ей больше времени на завершение переходных процессов и наоборот: чем строже ограничения на время переходных процессов, тем больше должен быть запас на максимальное отклонение параметров системы. Для четкого математического описания, изложенного выше, будет выведена формула, связывающая при определенных наихудших параметрах начальное состояние объекта, ограничения на правом конце и допустимое время переходного процесса системы, за которое она должна перейти в состояние, удовлетворяющее граничным ограничениям. Теоретические результаты подкреплены численными примерами. Пусть задан нестационарный динамический объект: (1) где: матрица размера и матрица размера являются суммами постоянных матриц и и матриц неизвестных параметров возмущения и , т.е.: . Кроме того, неизвестные параметры лежат в заданных известных диапазонах: и . Требуется найти наихудшие значения параметров возмущения при соответствующем функционале. Решим вначале стационарную задачу, после чего объект можно будет записать так: (2) где: , , . Теперь решим задачу максимизации по функционала [3]: , (3) где: матрица положительно определенная, а матрицы и стандартные [1]. Применяя соответствующий алгоритм, в итоге получим: , (4) где: – решение уравнения: (5) Отсюда видно, что задача максимизации выражения по и легко, как сумма независимых слагаемых, раскладывается на две: нахождения наихудших и наихудших . Пример 1 Пусть задан объект в виде: , где: и Требуется определить наихудшие параметры возмущений при функционале качества переходных процессов. Известно, что наихудшие параметры возмущения есть и , а наилучшие – и . Проиллюстрируем это: Рисунок 1 – График колебания двух первых координат состояния объекта при наихудших возмущениях Рисунок 2 – График колебания двух первых координат состояния объекта при наилучших возмущениях Рисунок 3 – График колебания двух первых координат состояния объекта при отсутствии возмущений Свяжем начальные условия и условия на правом краю вида: (6) т.е. должно лежать в d-окрестности нуля спустя время Т. Матрицы и - это матрицы и при наихудших значениях параметров возмущения соответственно. При этом робастная модель: (7) имеет своим оптимальным управление: (8) Подставляя управление (8) в систему (7), можно решить получившееся дифференциальное уравнение и написать выражение для : (9) Тогда в момент времени : (10) Рассмотрим предельный случай (6), т.е.: (11) при этом уравнение (10) примет вид: (12) Из (12) нетрудно заметь, что для того, чтобы нужно, чтобы (13) Уравнение (13) является искомым уравнением связи начальных условий, граничных ограничений и допустимого времени переходного процесса. Пример 2 Рассмотрим динамический объект: (14) - это робастный объект, который получился при подстановке в объект из примера 1 найденных наихудших параметров. Для объекта известны матрицы S и K [2]: Проиллюстрируем применение уравнений (12), (13), меняя в них поочередно начальные условия, граничные условия и время. Решение данной задачи выполнено в системе математической алгебры Mathematica 7.0. Подзадача 1. Исследуем вопрос, за какое время система при заданных начальных условиях перейдет в положение, удовлетворяющее заданному условию типа (6). Пусть , . Последние две координаты в граничных условиях мы взяли заведомо большими, т.к. они нас не интересуют. Найдем время выполнения условия. Посмотрим на графики и (рисунки 4 и 5 соответственно): Рисунок 4 – График колебания первой координаты состояния объекта Рисунок 5 – График колебания второй координаты состояния объекта Горизонтальными линиями на графике обозначена допустимая d-полоса, соответствующая условию (6) при заданном d. Из графиков видно, что первая координата входит в d-полосу после второй секунды, а вторая координата между первой секундой и 1,5 секунды. Очевидно, что в поиске времени выполнения граничного условия мы должны ориентироваться на первую координату. Найдем приближенное численное решение, получим, что после 2,05528 секунды система начинает удовлетворять заданным условиям. Подзадача 2. Теперь пусть задано допустимое время, например 2,5 с, а начальные условия оставим такими же, это позволит нам воспользоваться графиками, приведенными на рисунках 4 и 5. Найдем, в какую d‑полосу войдет наша система за заданное время. Эта задача демонстрирует нахождение максимума функции при . Численно получим, что через 2,5 секунды система окажется в d-полосе вида: . Таким образом, уравнение (13) определяет связь между начальными условиями, ограничениями на правом краю и временем переходного процесса, за которое система робастной стабилизации должна перейти из начального состояния в состояние, удовлетворяющее граничным условиям.

About the authors

V. A Trindyuk

Moscow State University of Mechanical Engineering(MAMI)

Email: trindjukvladimir@mail.ru

G. I Kiyko

Moscow State University of Mechanical Engineering(MAMI)

Ph.D.

References

Supplementary files