The problem of spreading of the plastic layer consisting of different environments

Full Text

Рассматривается задача о свободном растекании между сближающимися жесткими шероховатыми плитами пластического слоя постоянной толщины [1, 2, 3] в клиновидной области, состоящего из двух разных сред с начальными углами раствора и соответственно (рисунок 1). Подобная задача, в условиях симметрии области, в постановке «модели идеальной жидкости» решена в [4]. Выберем неподвижную систему координат , в которой в начальный момент указанная область задается углом . При этом уравнения границ растекающейся области в начальный момент заданы уравнениями: где: , , определяются через , и : , , (1) Рисунок 1 – О растекании в клиновидной области пластического слоя, состоящего из двух разных сред Выпишем основные уравнения краевой задачи течения пластического слоя на плоскости (в размерных величинах, ): (2) (3) (4) а также условия на неизвестной границе раздела двух сред , которая в начальный момент задана уравнением : , (5) , (6) и на неизвестных свободных границах , которые в начальный момент также известны : , (7) . (8) Здесь – контактное давление и скорости течения; – предел текучести пластического материала в области и соответственно, причем для определенности положим, что (как показано на рисунке 1); – известный закон изменения толщины слоя; – степень деформации; . Пусть – характерное значение линейного размера слоя. Вводя безразмерные величины , , , , перепишем соотношения задачи в безразмерных величинах: (2′) в (3′) (2″) , в (3″) , в (4′) , (5′) , на (6′) , (7′) , на (8′) Задача решается в безразмерных величинах. Для удобства записи черточки над безразмерными величинами ниже опускаем. Как известно [1], внутри области течения существует линия ветвления течения, образованная пересечением двух различных линий тока и на которой .С другой стороны, при линиями тока служат прямые, ортогональные к контуру свободно растекающегося пластического слоя. Пусть – некоторая точка на линии раздела двух сред . Для определенности положим, что . (9) Предположение (9) означает лишь, что линия ветвления течения в начальный момент располагается в области . Поэтому продолжим линию тока, исходящую из области , в область , отсчитывая от точки . Для этого найдем угол преломления линии тока в точке [3]: , , (10) где: – параметр длины дуги вдоль линии . Формула (10) означает, что при пересечении линии раздела двух пластических сред линия тока преломляется, причем угол преломления увеличивается при прохождении в «менее плотную» среду (аналогия с оптикой). Из (10) следует, что все линии тока входят в область под постоянным углом к оси . Теперь, зная линию тока, исходящую из точки , можем найти на ней точку ветвления течения из следующего условия: . (11) В (11) справа стоит выражение для контактного давления в точке , найденного вдоль другой линии тока, исходящей от контура , причем величина есть расстояние от точки до границы . Находим оставшиеся в (11)величины: . (12) Уравнение прямой : , (13) где: . Из (10) получаем: . (14) С другой стороны, ; . (15) Подставим (15) в (14) и найдем в зависимости от , и : . (16) В частности, при (т.е. пластическая среда – однородная) из (16) получаем, что . (16′) Условие (16′) означает, что при пересечении линии раздела линия тока не преломляется. Из (13) получаем: , (17) где учтено, что . (17′) Подставим (12),(15),(16),(17) в (11): . Разрешим последнее соотношение относительно ( ): , (18) где: ; Как видно из (17)’,(18), линия ветвления (ЛВ) в момент есть прямая: . (19) В частности, при формула (19) упрощается: , (19′) . (19″) Формула (19″) означает, что для однородного пластического слоя линия ветвления равноотстоит от линий свободных контуров и . Если дополнительно принять, что , то получаем: , (19′′′) т.е. линия ветвления совпадает с осью . Получим теперь зависимости для контактного давления и скорости течения в начальный момент. Рассмотрим сперва область , ограниченную линиями и . Линия тока, проходящая через точку : . Последнее условие, с учетом (19), разрешается относительно : . (20) Тогда, , (21) , (22) , , (23) где: . Рассмотрим теперь область , ограниченную линиями и . Линия тока, проходящая через точку , имеет вид: . Разрешим последнее условие относительно : . (24) Тогда, , (25) , (26) , . (27) Рассмотрим, наконец, область , ограниченную линиями и . Линия тока, проходящая через точку , имеет вид: , (28) Разрешим последнее условие относительно : . (29) Тогда, . (30) Скорость течения в точке допускает разрыв. Найдем скорость в точке , со стороны рассматриваемой части области течения, используя непрерывность нормальной скорости, а также условие (26): С другой стороы, согласно (10) и (15), , (31) . (32) В результате, , (33) , , (34) , . (35) Итак, нашли распределение во всей области течения в начальный момент. Покажем, что линии , , остаются прямыми. Допустим, что они остаются прямыми, то есть их можно задать уравнениями: : , : , : . (36) Подставим (36) в кинематические условия (8′): : , в которой использованы формулы (23) относительно скоростей, а . Или : , : . (37) Аналогично получаем дифференциальное уравнение относительно : : , где: определяется из (34), в которой : , или : . (38) В частности, при и формулы (37) и (38) упрощаются: : , (37′) : , (38′) т.е. получили известное дифференциальное уравнение задачи о растекании однородного пластического слоя, занимающей область формы клина. И, наконец, третье дифференциальное уравнение (6′) относительно : : , где использованы формулы (27) для скоростей, в которых . Или, : . (39) Система нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка (37), (38), (39) в общем случае решается численными методами. В результате получаем законы (36) изменения границ пластических областей в процессе растекания. Заключение 1. Представлено в полном виде точное решение несимметричной задачи о растекании пластического слоя, составленного из двух клиньев, «в модели идеальной жидкости». 2. Показано, что границы этих клиньев остаются прямыми в процессе растекания. Выведены уравнения для эволюции их границ. 3. Установлено, что линия ветвления течения остается прямой в процессе растекания. Выведена формула для нахождения линии ветвления течения. Литература

About the authors

V. A. Kadymov

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Email: vkadymov@yandex.ru
Dr.Sc., Prof.

References

Supplementary files