Research of Democritus teachings on necessity, chance and possibility using means of modern logic

Abstract

The article studies the categories of necessity, chance and possibility modality. Logical calculus is constructed, where formalization of these modality categories is made.

Full Text

Все существующее делится Демокритом на необходимое и случайное, а последнее на возможное первое (существующее в большинстве случаев), возможное второе (существую- щее в меньшинстве случае) и возможное третье (существующее в половине случаев).Обозначим выражения “необходимо, что...”. “случайно, что...”, “возможно (в первом смысле, то есть существует в большинстве случаев), что...”, “возможно (во втором смысле, то есть существует в меньшинстве случаев), что...”, “возможно (в третьем смысле, то есть равновероятно), что...” соответственно символами Н, С, В1, В2, В3. Пусть отрицание (“невер- но, что...”), конъюнкция (“и”), дизъюнкция (“или”), метаязыковые импликация (“если..., то”...) и эквивалентность (“если и только если..., то...”) обозначаются соответственно симво- лами Тогда связь между необходимостью, случайностью и возможностями первой второй и третьей можно представить следующим образом:НА СА (если А необходимо, то А не является случайным);СА НА ( если А случайно, то А не является необходимым);СА В1А В2А В3А (А случайно тогда и только тогда, когда А возможно в каком либо из трех смыслов);НА В1А В2А В3А (А необходимо тогда и только тогда, когда невозмож- но ни в одном из трех смыслов);В1А В2 А (А возможно в первом смысле, если и только если отсутствие А воз- можно во втором смысле);В2А В1 А (А возможно во втором смысле, если и только если возможно не-А в первом смысле);В3А В3 А (А возможно в третьем смысле, если и только если в третьем смысле возможно не-А).Из эквивалентности (3) вытекают следствия:(3*) В1А СА (если А возможно в первом смысле, то А случайно); (3**) В2А СА (если А возможно во втором смысле, то А случайно); (3***) В3А СА ( если А возможно в третьем смысле, то А случайно).Анализируя необходимость и три вида возможности Демокрита, И. Иванова и В.С. Ме- ськов осуществляют следующие уточнения этих понятий:ДН (необходимость в смысле Демокрита) - это такой характер связи субъекта и предика- та в суждении, при которой приписываемый признак присущ всем без исключения эле- ментам объема субъекта и всегда;ДВ1 (возможность в смысле Демокрита первая) - такой характер связи субъекта и преди- ката в суждении, при котором приписываемый признак присущ большинству элементов объема субъекта в большинстве случаев;ДВ2 (возможность в смысле Демокрита вторая) - такой характер связи субъекта и преди- ката в суждении, при котором приписываемый признак присущ меньшинству элементов объема субъекта в большинстве случаев;ДВ3 (возможность в смысле Демокрита третья) - такой характер связи субъекта и преди- ката в суждении, при котором приписываемый признак, как и признак, являющийся его отрицанием, присущ лишь некоторым элементам субъекта и не всегда”.Описанные И. Ивановой и В.С. Меськовым понятия можно представить графически (рисунок 1). На графиках: вертикальная ось - ось количества предметов (ОКП); горизонталь- ная ось - ось числа случаев (ОЧС).НД (для всех предметов во всех случаях) ВД1 (для большинства предметов вбольшинстве случаев)ВД2 (для меньшинства предметов в большинстве случаев)ВД3 (для некоторых предметов в некоторых случаях присуще и для некоторых предметов в некоторых случаях не присуще)Рисунок 1. Графические представления понятий, описанных И. Ивановой и В.С. МеськовымОписанные понятия возможности можно естественным образом обобщить: В1: признак присущ большинству предметов в большинстве случаев (ДВ1); В2: признак присущ большинству предметов в меньшинстве случае;В3: признак присущ меньшинству предметов в большинстве случаев (ДВ2); В4: признак присущ половине предметов в половине случаев;В5: признак присущ меньшинству предметов в меньшинстве случаев. Возможности В2, В4, и В5 можно также представить графически (рисунок 2).Не будем здесь обсуждать логические свойства образованных понятий, хотя такое ис-следование может оказаться полезным.Для выявления логических свойств модальных понятий Демокрита обратимся к их ана- лизу с учетом соображений, высказанных И. Ивановой и В.С. Меськовым.Прежде всего, представляется, что Демокрит делит все существующее на существую- щее по необходимости и просто существующее. Иначе говоря, все существующее Демокрит делит на (1) существующее по необходимости и (2) существующее не по необходимости.(для половины предметов в полВ2 (для большинства предметов в меньшинстве случаев)В4 (для половины предметов в половине случаев)В5 (для меньшинства предметов в меньшинстве случаев)Рисунок 2. Графические представления возможностей В2, В4, и В5Существующее по необходимости существует во всех случаях и всегда. Из примера необходимости “человек - живое существо” (а также из примера “бог нетленен”, который, хотя и не принадлежит Демокриту, как правильно отмечают И. Иванова и В.С. Меськов, но соответствует его пониманию необходимости) видно, что под существованием по необходи- мости Демокрит понимает наличие свойств у предмета, иначе говоря, в качестве необходи- мых можно характеризовать свойства предметов некоторого непустого класса. Например, свойство смертности является необходимым для людей, а свойство глубокомыслия - не не- обходимым. Исходя из этого, под существующим не по необходимости, по Демокриту, сле- дует понимать те свойства предметов некоторого класса (опять же непустого), которые при- надлежат лишь части предметов этого класса, но не всем предметам. То есть мы сталкиваем- ся со своеобразным пониманием существования не по необходимости: это то, что иногда существует, а иногда не существует, то, что некоторым предметам присуще, а некоторым - нет, то, что для одних предметов является существующим, а для других - нет.Чем такое понимание отличается от современного понимания случайности? (Мы здесь ограничиваемся рассмотрением лишь логического аспекта этих категорий и не рассматрива- ем их полного философского содержания). В современной логике выделяют следующие ви- ды случайности (физической, или фактической):случайно то, что существует не по необходимости;случайно то, что может существовать, но может и не существовать:случайно то, что не существует, но может и существовать:Понятие существующего не по необходимости у Демокрита является фактически ори- гинальным аналогом первого понятия случайности, а точнее говоря, оригинальной конкрети- зацией этого понятия.Все случайно существующее он делит на три класса, если отвлекаться от временной характеристики присущности:присущее не всем, но ограниченному большинству предметов;присуще не всем, а меньшинству предметов;присуще не всем, а половине предметов.Эти типы случайности называются, по Демокриту, возможностями.Для выражения логических свойств понятий возможности и необходимости целесооб- разно использовать средства современной логики.ЯзыкСимволы:x1, x2, x3, ... - предметные переменные;а1, а2, а3, ... - предметные константы;k kP k , Q k , P 1 , Q 1 , (k ) k - местные предикатные символы;- знаки отрицания, конъюнкции, дизъюнкции и импликации, соответ- ственно читаются “неверно, что”, “и”, “или”, “если..., то...”;квантор общности (обычный);квантор существования (обычный);б - квантор существования “для большинства”; м - квантор существования “для меньшинства”; п - квантор существования “для половины”.Определение терма:индивидная переменная есть терм;индивидная константа есть терм;ничто иное термом не является.Определение формулы:если Аk - k-местный предикатный символ, а t1, ..., tn - термы, то Аk(t1, ...,tn) - формула;если А и В - формулы, а x - индивидная переменная, то x x бx мx пx - формулы;ничто иное формулой не является.СемантикаСемантика включает в себя функцию d, где d - непустая конечная предметная область (область интерпретации). Функция d (индекс d в некоторых случаях будем опускать) сле- дующим образом приписывает значения индивидным константам и предикатным символам:если - индивидная константа, то d;если Аk - k-местный предикатный символ, то k dk, где dk - декартова k-степень множества d, то есть функция приписывает каждому k-местному символу множество k-ток предметов, находящихся в отношении Аk.Семантика включает в себя также множество функций S1, S2, ... распределения значе- ний по свободным переменным формулы из той же области d. Если - свободная перемен- ная, то Si d.Введем функцию d , которая приписывает значения индивидным константам, преди- катным символам, а также сложным выражениям (индекс d иногда будем опускать):где - индивидная константа;k k где k - k-местный предикатный символ; вместо Si , где А - формула, будем писать S, тогдаAk(t1, ...,tk) S t, е. и т. е. (если и только если) ( t1 S,..., tk S k S; (t и f - соответствен- но значения “истина” и “ложь”);S t, е. и т. е. S f;S t, е. и т. е. S S t;S t, е. и т. е. S t или S t;S = t, е. и т. е. S = f или S = t;xA(x) S = t, е. и т. е. A(x) S = t для любого распределения S, приписывающего всем свободным переменным формулы A(x) то же значение, что и S, и, кроме того, приписываю- щего некоторое значение переменной x.xA(x) S = t, е. и т. е. A(x) S = tдля некоторого распределения S, приписывающего каждой свободной переменной формулы A(x) то же значение, что и S, и, кроме того, приписывающего некоторое значение переменной x.бxA(x) S = t, если и только если существуют непустые множества d1 и d2 такие, чтоd1 d, d2 d, d1 d2 = d, d1 d2 = и мощность d1 больше d2, и для любого распределения S (из соответствующей области) верноxA(x) d1 S = t, xA(x) d2 S = f;мA(x) S = t, если и только если существуют непустые множества d1, d2 такие, что d1 d, d2 d, d1 d2 = d, d1 d2 = и мощность d1 меньше мощности d2, иxA(x) d1 S = t, xA(x) d2 S = f;пxA(x) S = t, если и только если существуют непустые множества d1 и d2 такие, чтоd1 d, d2 d, d1 d2 = d, d1 d2 = и мощность d1 равно мощности d2, иxA(x) d1 S = t, xA(x) d2 S = f.Определения выполнимости и общезначимости формул обычные.Схемы общезначимых формул:бxA(x) пxA(x) мxA(x) xA(x);пxA(x) бxA(x) мxA(x) xA(x);мxA(x) пxA(x) бxA(x) xA(x);бA(x) xA(x);мxA(x) xA(x);пA(x) xA(x);бxA(x) бxB(x) x(A(x) B(x));пxA(x) бxB(x) x(A(x) B(x));пxA(x) пxA(x);пxA(x) xA(x);бxA(x) x A(x);мxA(x) x A(x);мxA(x) бx A(x);бxA(x) мx A(x).Применение средств символической логики позволяет яснее представить отношения между категориями необходимости, случайности и возможности, однако “природу” этих ка- тегорий следует выявлять на содержательном уровне.