Исследование учения Демокрита о необходимости, случайности и возможности средствами современной логики

Аннотация

В статье проводится изучение категорий модальности необходимости, случайности и возможности средствами современной символической логики. В работе строится логическое исчисление, в котором осуществляется формализация указанных категорий модальности.

Полный текст

Все существующее делится Демокритом на необходимое и случайное, а последнее на возможное первое (существующее в большинстве случаев), возможное второе (существую- щее в меньшинстве случае) и возможное третье (существующее в половине случаев).Обозначим выражения “необходимо, что...”. “случайно, что...”, “возможно (в первом смысле, то есть существует в большинстве случаев), что...”, “возможно (во втором смысле, то есть существует в меньшинстве случаев), что...”, “возможно (в третьем смысле, то есть равновероятно), что...” соответственно символами Н, С, В1, В2, В3. Пусть отрицание (“невер- но, что...”), конъюнкция (“и”), дизъюнкция (“или”), метаязыковые импликация (“если..., то”...) и эквивалентность (“если и только если..., то...”) обозначаются соответственно симво- лами Тогда связь между необходимостью, случайностью и возможностями первой второй и третьей можно представить следующим образом:НА СА (если А необходимо, то А не является случайным);СА НА ( если А случайно, то А не является необходимым);СА В1А В2А В3А (А случайно тогда и только тогда, когда А возможно в каком либо из трех смыслов);НА В1А В2А В3А (А необходимо тогда и только тогда, когда невозмож- но ни в одном из трех смыслов);В1А В2 А (А возможно в первом смысле, если и только если отсутствие А воз- можно во втором смысле);В2А В1 А (А возможно во втором смысле, если и только если возможно не-А в первом смысле);В3А В3 А (А возможно в третьем смысле, если и только если в третьем смысле возможно не-А).Из эквивалентности (3) вытекают следствия:(3*) В1А СА (если А возможно в первом смысле, то А случайно); (3**) В2А СА (если А возможно во втором смысле, то А случайно); (3***) В3А СА ( если А возможно в третьем смысле, то А случайно).Анализируя необходимость и три вида возможности Демокрита, И. Иванова и В.С. Ме- ськов осуществляют следующие уточнения этих понятий:ДН (необходимость в смысле Демокрита) - это такой характер связи субъекта и предика- та в суждении, при которой приписываемый признак присущ всем без исключения эле- ментам объема субъекта и всегда;ДВ1 (возможность в смысле Демокрита первая) - такой характер связи субъекта и преди- ката в суждении, при котором приписываемый признак присущ большинству элементов объема субъекта в большинстве случаев;ДВ2 (возможность в смысле Демокрита вторая) - такой характер связи субъекта и преди- ката в суждении, при котором приписываемый признак присущ меньшинству элементов объема субъекта в большинстве случаев;ДВ3 (возможность в смысле Демокрита третья) - такой характер связи субъекта и преди- ката в суждении, при котором приписываемый признак, как и признак, являющийся его отрицанием, присущ лишь некоторым элементам субъекта и не всегда”.Описанные И. Ивановой и В.С. Меськовым понятия можно представить графически (рисунок 1). На графиках: вертикальная ось - ось количества предметов (ОКП); горизонталь- ная ось - ось числа случаев (ОЧС).НД (для всех предметов во всех случаях) ВД1 (для большинства предметов вбольшинстве случаев)ВД2 (для меньшинства предметов в большинстве случаев)ВД3 (для некоторых предметов в некоторых случаях присуще и для некоторых предметов в некоторых случаях не присуще)Рисунок 1. Графические представления понятий, описанных И. Ивановой и В.С. МеськовымОписанные понятия возможности можно естественным образом обобщить: В1: признак присущ большинству предметов в большинстве случаев (ДВ1); В2: признак присущ большинству предметов в меньшинстве случае;В3: признак присущ меньшинству предметов в большинстве случаев (ДВ2); В4: признак присущ половине предметов в половине случаев;В5: признак присущ меньшинству предметов в меньшинстве случаев. Возможности В2, В4, и В5 можно также представить графически (рисунок 2).Не будем здесь обсуждать логические свойства образованных понятий, хотя такое ис-следование может оказаться полезным.Для выявления логических свойств модальных понятий Демокрита обратимся к их ана- лизу с учетом соображений, высказанных И. Ивановой и В.С. Меськовым.Прежде всего, представляется, что Демокрит делит все существующее на существую- щее по необходимости и просто существующее. Иначе говоря, все существующее Демокрит делит на (1) существующее по необходимости и (2) существующее не по необходимости.(для половины предметов в полВ2 (для большинства предметов в меньшинстве случаев)В4 (для половины предметов в половине случаев)В5 (для меньшинства предметов в меньшинстве случаев)Рисунок 2. Графические представления возможностей В2, В4, и В5Существующее по необходимости существует во всех случаях и всегда. Из примера необходимости “человек - живое существо” (а также из примера “бог нетленен”, который, хотя и не принадлежит Демокриту, как правильно отмечают И. Иванова и В.С. Меськов, но соответствует его пониманию необходимости) видно, что под существованием по необходи- мости Демокрит понимает наличие свойств у предмета, иначе говоря, в качестве необходи- мых можно характеризовать свойства предметов некоторого непустого класса. Например, свойство смертности является необходимым для людей, а свойство глубокомыслия - не не- обходимым. Исходя из этого, под существующим не по необходимости, по Демокриту, сле- дует понимать те свойства предметов некоторого класса (опять же непустого), которые при- надлежат лишь части предметов этого класса, но не всем предметам. То есть мы сталкиваем- ся со своеобразным пониманием существования не по необходимости: это то, что иногда существует, а иногда не существует, то, что некоторым предметам присуще, а некоторым - нет, то, что для одних предметов является существующим, а для других - нет.Чем такое понимание отличается от современного понимания случайности? (Мы здесь ограничиваемся рассмотрением лишь логического аспекта этих категорий и не рассматрива- ем их полного философского содержания). В современной логике выделяют следующие ви- ды случайности (физической, или фактической):случайно то, что существует не по необходимости;случайно то, что может существовать, но может и не существовать:случайно то, что не существует, но может и существовать:Понятие существующего не по необходимости у Демокрита является фактически ори- гинальным аналогом первого понятия случайности, а точнее говоря, оригинальной конкрети- зацией этого понятия.Все случайно существующее он делит на три класса, если отвлекаться от временной характеристики присущности:присущее не всем, но ограниченному большинству предметов;присуще не всем, а меньшинству предметов;присуще не всем, а половине предметов.Эти типы случайности называются, по Демокриту, возможностями.Для выражения логических свойств понятий возможности и необходимости целесооб- разно использовать средства современной логики.ЯзыкСимволы:x1, x2, x3, ... - предметные переменные;а1, а2, а3, ... - предметные константы;k kP k , Q k , P 1 , Q 1 , (k ) k - местные предикатные символы;- знаки отрицания, конъюнкции, дизъюнкции и импликации, соответ- ственно читаются “неверно, что”, “и”, “или”, “если..., то...”;квантор общности (обычный);квантор существования (обычный);б - квантор существования “для большинства”; м - квантор существования “для меньшинства”; п - квантор существования “для половины”.Определение терма:индивидная переменная есть терм;индивидная константа есть терм;ничто иное термом не является.Определение формулы:если Аk - k-местный предикатный символ, а t1, ..., tn - термы, то Аk(t1, ...,tn) - формула;если А и В - формулы, а x - индивидная переменная, то x x бx мx пx - формулы;ничто иное формулой не является.СемантикаСемантика включает в себя функцию d, где d - непустая конечная предметная область (область интерпретации). Функция d (индекс d в некоторых случаях будем опускать) сле- дующим образом приписывает значения индивидным константам и предикатным символам:если - индивидная константа, то d;если Аk - k-местный предикатный символ, то k dk, где dk - декартова k-степень множества d, то есть функция приписывает каждому k-местному символу множество k-ток предметов, находящихся в отношении Аk.Семантика включает в себя также множество функций S1, S2, ... распределения значе- ний по свободным переменным формулы из той же области d. Если - свободная перемен- ная, то Si d.Введем функцию d , которая приписывает значения индивидным константам, преди- катным символам, а также сложным выражениям (индекс d иногда будем опускать):где - индивидная константа;k k где k - k-местный предикатный символ; вместо Si , где А - формула, будем писать S, тогдаAk(t1, ...,tk) S t, е. и т. е. (если и только если) ( t1 S,..., tk S k S; (t и f - соответствен- но значения “истина” и “ложь”);S t, е. и т. е. S f;S t, е. и т. е. S S t;S t, е. и т. е. S t или S t;S = t, е. и т. е. S = f или S = t;xA(x) S = t, е. и т. е. A(x) S = t для любого распределения S, приписывающего всем свободным переменным формулы A(x) то же значение, что и S, и, кроме того, приписываю- щего некоторое значение переменной x.xA(x) S = t, е. и т. е. A(x) S = tдля некоторого распределения S, приписывающего каждой свободной переменной формулы A(x) то же значение, что и S, и, кроме того, приписывающего некоторое значение переменной x.бxA(x) S = t, если и только если существуют непустые множества d1 и d2 такие, чтоd1 d, d2 d, d1 d2 = d, d1 d2 = и мощность d1 больше d2, и для любого распределения S (из соответствующей области) верноxA(x) d1 S = t, xA(x) d2 S = f;мA(x) S = t, если и только если существуют непустые множества d1, d2 такие, что d1 d, d2 d, d1 d2 = d, d1 d2 = и мощность d1 меньше мощности d2, иxA(x) d1 S = t, xA(x) d2 S = f;пxA(x) S = t, если и только если существуют непустые множества d1 и d2 такие, чтоd1 d, d2 d, d1 d2 = d, d1 d2 = и мощность d1 равно мощности d2, иxA(x) d1 S = t, xA(x) d2 S = f.Определения выполнимости и общезначимости формул обычные.Схемы общезначимых формул:бxA(x) пxA(x) мxA(x) xA(x);пxA(x) бxA(x) мxA(x) xA(x);мxA(x) пxA(x) бxA(x) xA(x);бA(x) xA(x);мxA(x) xA(x);пA(x) xA(x);бxA(x) бxB(x) x(A(x) B(x));пxA(x) бxB(x) x(A(x) B(x));пxA(x) пxA(x);пxA(x) xA(x);бxA(x) x A(x);мxA(x) x A(x);мxA(x) бx A(x);бxA(x) мx A(x).Применение средств символической логики позволяет яснее представить отношения между категориями необходимости, случайности и возможности, однако “природу” этих ка- тегорий следует выявлять на содержательном уровне.