Динамический анализ зубчатой передачи

Аннотация

Представлены результаты применения метода конечных элементов для оценки динамических напряжений в зубчатых передачах. С помощью численного моделирования зацепления различных типов зубчатых колес получено подробное распределение контактных и изгибных напряжений, функции жесткости зацепления в зависимости в течение фазы зацепления, статической и динамической кинематических погрешностей. Исследовано поведение передачи, имеющей дефекты, а именно, зарождающуюся трещину у ножки зуба. Результаты исследования могут быть использованы для разработки диагностических признаков трансмиссий в обеспечении эксплуатации ответственных изделий по техническому состоянию.

Полный текст

Введение Определение динамических нагрузок в зубчатых передачах необходимо при создании высокомощных планетарных редукторов привода вентилятора в авиационных двигателях. Для качественной оценки динамического состояния зубчатых передач требуется разработка математических моделей зацепления колес, позволяющих оценивать динамические процессы в зацеплении с учетом геометрических параметров профиля, погрешности монтажа деталей, податливости опор и элементов конструкции и других факторов, влияющих на возбуждение крутильных колебаний в трансмиссиях. В аналитических моделях зубчатые колеса обычно рассматриваются как жесткие тела, соединенные упруго-демпфирующей связью, эквивалентной жесткости зубьев в зацеплении. В качестве источников возбуждения колебаний в системе рассматриваются ударные процес- сы при входе зубьев в зацепление, погрешность зацепления, переменная жесткость зубьев. В ударном методе оценки динамических нагрузок, предложенном А.И. Петрусевичем и М.Д. Генкиным [1, 4] и далее развитым Б.Ф. Шорром [2, 5], а также используемым в нормативных документах, процесс зацепления рассматривается как два независимых явления - кромочный и срединный удары, что характерно для передач с относительно небольшими скоростями вращения. Вибрационный метод расчета динамических нагрузок в зацеплении, развитый в работах Н.А. Ковалева [3], предполагает в качестве основного источника возбуждения пери- одическое изменение жесткости зацепления в процессе пересопряжения зубьев и вследствие наличия кинематической погрешности зубьев шестерен. В зарубежных работах рассматри- ваются динамические модели с сосредоточенными параметрами и описанием периодической функции жесткости зацепления в виде пульсирующего сигнала [6-9]. Экспериментальная оценка динамического состояния обычно проводится на основе анализа записи вибраций опор редуктора или проведении тензометрирования зубчатых ко- лес. Экспериментальных данных с тензометрированием зубчатых колес в настоящее время недостаточно для верификации моделей. При этом контактные напряжения в течение фазы зацепления, воздействие нерасчетного входа в зацепление вершины зуба и другие процессы в зацеплении не могут быть определены экспериментально, либо оцениваются косвенным путем. В результате уровень точности аналитических моделей динамики зацепления и их ве- рификация являются ограниченными и зависящими от ряда факторов, требующих более точ- ного описания. Для подробного моделирования динамических процессов в зацеплении пред- лагается использовать численные методы решения задач теории упругости, например, метод конечных элементов в динамической постановке. Динамическая модель Применение метода конечных элементов (МКЭ) для оценки динамического состояния зубатых колес актуально как для подробной оценки изменения напряженного состояния на различных режимах работы передачи, так и для верификации аналитических моделей зацеп- ления в качестве численного эксперимента. В настоящей работе динамическая модель зацеп- ления создана с помощью конечно-элементного программного комплекса в модуле динами- ческого анализа, использующем метод Ньюмарка. Рассматривалась трехмерная модель двух цилиндрических зубчатых колес в объемной постановке (рисунок 1). Конечно-элементная модель построена с использованием объемных 20-узловых элементов и контактных элемен- тов [12] с размером грани 0,8 мм. Для зубчатых колес разрешены только угловые перемеще- ния, путем задания на внутренних цилиндрических поверхностях шарниров вращения. Нагрузка задается в виде крутящего момента, приложенного к внутренней цилиндрической поверхности ведомой шестерни. На ведущую шестерню нагрузка передается через зацепле- ние в зубьях. Контактирующими поверхностями объявляются все боковые поверхности зубьев, тип контактного взаимодействия - контакт с трением (коэффициент трения fтр 0, 02 ). Для ведущей шестерни задается закон движения путем установления значения частоты вращения для каждого момента времени. Система приводится в движение с плав- ным нагружением и разгоном ведущей шестерни для устранения влияния динамических факторов при разгоне из положения покоя. Временной шаг интегрирования выбирался в диапазоне 1 10 5...5 10 5 с. Рисунок 1. Конечно-элементная модель зацепления пары зубчатых колес: I - ведомая шестерня; II - ведущая шестерня Частота вращения шестерен зависит от типа исследуемой задачи. При исследовании распределения изгибных и контактных напряжений в зубьях колес используется квазистати- ческая постановка, при которой скорость вращения колес выбирается малой, для устранения влияния динамической составляющей сил в зацеплении. При оценке динамического поведе- ния системы частота вращения плавно увеличивается с проходом через резонансную и крат- ные ей частоты. Рассматриваются как крутильные колебания тел колес, так и динамические процессы, связанные непосредственно с контактом рабочих поверхностей зубьев, входом и выходом зубьев из зацепления. Результаты моделирования. Жесткость зацепления На основе решения контактной задачи зацепления зубьев методом конечных элементов определены распределения контактных и изгибных напряжений в течение фазы зацепления, а также функции жесткости и статической кинематической погрешности. На рисунке 2 пока- зана картина распределения эквивалентных напряжений, выполненная для наглядности в масштабе деформаций 400:1 (показано только одно колесо). Угловое перемещение точек ко- леса зависит от деформации в площадке контакта зубьев, изгиба зуба под действием силы в зацеплении и частичной деформации тела шестерни. Как видно из рисунка 2, отношение ве- личин изгибной и контактной деформации зависит от точки приложения усилия к зубу, а также от присутствия кромочного контакта (в данном случае напряженное состояние в зоне контакта не определяется с помощью формулы Герца). В результате этого на двух соседних зубьях имеем различное соотношение kzB / kzC , в то время как податливость диафрагмы практически постоянна по углу поворота колеса. Рисунок 2. Деформация зубьев в зацеплении: I - деформации тела шестерни; II - деформация изгиба зуба; III - контактная деформация Таким образом, общая жесткость kz зацепления может быть представлена через компоненты: изгибную жесткость зубьев кость диафрагмы и венца kzT : kzB , контактную жесткость kzC и крутильную жест- 1 1 1 1 . (1) kz kzT kzC kzB В зависимости от фазы зацепления в каждой точке соотношение компонент жесткостей kzT , kzC и kzB будет различным. Для оценки влияния параметров геометрии зацепления на динамические нагрузки необходимо вычисление характеристик жесткости или статической кинематической погрешности, например, для различных вариантов профильной модифика- ции зубьев или коэффициентов перекрытия передачи. Полученные результаты в дальнейшем могут быть использованы в аналитических моделях динамики зацепления [10]. На рисунке 3 показаны графики зависимости жесткости зацепления от угла поворота для зубчатых передач с коэффициентами перекрытия ε=1,68 (стандартный профиль) и ε=2,07 (HCR), полученные моделированием зацепления двух зубчатых колес с частотой вращения ведущей шестерни 5 об/мин. Как видно из рисунка 3, передачи с высоким коэффициентом перекрытия ε>2 имеют меньший размах колебаний функции жесткости, а закон изменения - близкий к гармониче- скому, в отличие от пульсирующего у передач с ε<2. Переменная составляющая жесткости зацепления для передач с коэффициентом перекрытия ε<2 составляет 22-38%, для передач HCR 9-17%, что определяет снижение уровня динамических нагрузок в зацеплении на 30- 45%, подтвержденное экспериментом [1, 11]. Другим способом снижения динамических нагрузок и уровней вибраций в прямозубых цилиндрических передачах является применение профильной модификации зубьев, которая представляет собой преднамеренное отклонение от эвольвенты профиля у вершин или ножки зубьев и уменьшает силы удара, связанные с деформацией зубьев и ошибками основного ша- га. Для оценки влияния профильной модификации зубьев на динамическое состояние пере- дачи необходимо определить ее влияние на характеристику жесткости зацепления (харак- терный пример показан на рисунке 4). Рисунок 3. Характеристики жесткости зацепления для передач с различными коэффициентами перекрытия Рисунок 4. Характеристики жесткости зацепления для передач без модификации и с модификацией профиля зуба Как видно из рисунка 4, вход и выход из зацепления зубьев сопровождается более плавным изменением жесткости с однопарного зацепления на двухпарное, т.е. зацепление с фланкированными зубьями (рассматривался вариант модификации только вершины зуба) имеет меньшее значение первой и второй производных от функции статической кинематиче- ской погрешности (рисунок 5). Максимальное значение амплитуды второй производной от статической кинематической погрешности является объективным критерием оценки возбуж- дающего воздействия в зацеплении. Таким образом, решение задачи зацепления в квазиста- тической постановке может служить инструментом для оценки динамического состояния зубчатой передачи на основе вычисления функции статической кинематической погрешно- сти и ее второй производной. Анализ характера кинематической погрешности в зависимости от геометрии профильной части зубьев позволяет выбирать оптимальные параметры моди- фикации для снижения динамических нагрузок и вибраций в передаче. Рисунок 5. Вторые производные от функции статической кинематической погрешности зацепления для передач без модификации и с модификацией профиля зуба Однако прямая связь между динамическими напряжениями в зубьях колес и вибрация- ми, обуславливаемыми кинематической погрешностью в зацеплении, отсутствует. Сравнение амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) двух передач - без модификации профиля и с модификацией, показывает незначительное различие в уровне динамических напряжений в ножке зуба на всем диапазоне частот вращения. На рисунке 6 показано сравнение коэффици- ентов динамичности для двух передач с идентичными геометрическими параметрами за ис- ключением профильной модификации зуба, полученные с помощью аналитической модели с сосредоточенными параметрами [10] на основе зависимостей жесткости от фазы зацепления (рисунок 4). Рисунок 6. АЧХ зубчатых передач без модификации и с модификацией профиля зуба Как видно из рисунка 6, уровни максимальных динамических напряжений на резонансе для двух передач идентичны. Однако на субрезонансах по гармоникам, кратным зубцовой, динамические напряжения для передач с модификацией профиля значительно ниже. Факти- чески, представленная АЧХ отражает изменение спектрального состава вибраций в передачах с модификацией, для которых уровень динамического возбуждения по основной зубцо- вой гармонике остается неизменным, но снижаются уровни кратных гармоник. Такие пере- дачи являются менее виброактивными и более тихими в сравнении с передачами без моди- фикации, однако максимальный уровень динамических напряжений в зоне основного резо- нанса остается схожим. Результаты моделирования. Динамические напряжения Для более точного расчета усталостной прочности зубчатых передач на всех режимах работы необходимо знать распределение контактных и изгибных напряжений в зубьях в те- чение всей фазы зацепления. Результаты решения динамической задачи зацепления МКЭ представлены на рисунке 7 и рисунке 8 для малой частоты вращения (5 об/мин). Рисунок 7. Распределение изгибных напряжений во впадине зубьев в течение фазы зацепления при частоте вращения шестерни 5 об/мин Рисунок 8. Распределение контактных напряжений во впадине зубьев в течение фазы зацепления при частоте вращения шестерни 5 об/мин На рисунке 7 показаны графики изменения изгибных напряжений по впадинам сосед- них пяти зубьев в реальном времени. Данный результат представляет интерес при оценке как статической, так и усталостной прочности зубьев, поскольку существующие методы оценки напряжений позволяют получить только усредненное значение за цикл зацепления зуба, а результаты тензометрирования не дают высокой точности при высоких частотах вращения. На графиках хорошо видны зоны однопарного зацепления, соответствующие пиковым площадкам, и зоны двухпарного зацепления с нарастанием напряжения при входе в зацепление и убыванием при выходе в результате перераспределения нагрузки между зубьями. Кроме того, даже при небольшой скорости зубьев заметны пики на графиках напряжений, соответ- ствующие входу новых зубьев в зацепление с ударом в результате отклонения профиля зуба от теоретического под действием нагрузки. Рисунок 9. Распределение изгибных напряжений во впадине зубьев в течение фазы зацепления при частоте вращения шестерни 400 об/мин На рисунке 9 показано изменение распределения изгибных напряжений при добавле- нии динамической составляющей нагрузки в зацеплении с увеличением частоты вращения передачи до 400 об/мин. Как видно, общий вид кривой изгибных напряжений представляет собой наложение графика изгибных напряжений (рисунок 7) во впадине зуба при статиче- ском нагружении и динамической составляющей напряжений, определяемой присутствием крутильных колебаний в системе. Рисунок 10. Результаты моделирования: изгибные напряжения во впадине зубьев при проходе системы через резонанс с нарастанием скорости Более универсальное и информативное решение задачи динамики зацепления может быть получено за счет моделирования зацепления на всем рабочем диапазоне частот с получением амплитудно-частотных характеристик. Моделирование зацепления двух зубчатых колес проводится с разгоном из положения равновесия до рабочих частот вращения, после- дующим остановом и проходом в обратную сторону со снижением частоты вращения. Пер- воначально задается преднагрузка крутящим моментом для ведомой шестерни и далее ис- пользуется плавное увеличение частоты вращения, обеспечивающее исключение динамиче- ской составляющей инерционной нагрузки от разгона. Важно отметить, что процесс выхода на рабочую частоту вращения модели зубчатой передачи требует значительного времени мо- делирования, т.е. данный тип расчета следует применять при поверочных расчетах, но не на этапе проектирования и выбора оптимальных параметров передачи. На рисунке 10 представлены результаты моделирования изгибных напряжений для ци- линдрической прямозубой передачи с проходом через резонансные частоты. Как видно, ре- зультаты моделирования зацепления методом конечных элементов в динамической поста- новке согласуются с АЧХ для коэффициента динамичности передачи Kfv, полученной полу- аналитическим методом и представленной на рисунке 6. Моделирование зацепления зубьев с дефектом Важным преимуществом моделирования зацепления МКЭ является возможность наглядной оценки нестационарных процессов в зацеплении, например, контакт зубьев, в од- ном из которых присутствует трещина в ножке зуба (наиболее распространенный и опасный дефект), на высокой окружной скорости. Проход в зацеплении зуба с трещиной представляет собой процесс резкого снижения жесткости в зацеплении с нерасчетным ударом при входе в зацепление следующей пары зубьев с нормальной жесткостью. Интерес представляет оценка уровня динамических напряжений во впадине в момент прохода в зацеплении зубьев с трещиной, которая позволит спрогнозировать время от начала развития трещины до поломки колеса и выявить косвенные признаки зарождения дефекта. С помощью МКЭ смоделирован процесс зацепления таких зубчатых колес при частоте вращения ведущей шестерни 500 об/мин. Результаты вычисле- ния максимальных растягивающих напряжений в колесе, имеющем введенную трещину в одном из зубьев, показаны на рисунке 11. Рисунок 11. Запись максимальных первых главных напряжений в колесе с трещиной у ножки зуба при частоте вращения 500 об/мин Как видно из рисунка 11, максимальный уровень напряжений имеет впадина зуба, сле- дующего за зубом с трещиной у ножки, и значение изгибных напряжений близко к пределу прочности для сталей зубчатых колес. То есть после начала зарождения трещины в одном из зубьев, с каждым следующим оборотом соседние зубья будут испытывать предельные дина- мические нагрузки, которые могут привести к их разрушению. Данный результат довольно близко описывает картину разрушения зубьев на экспериментальных колесах [11], при по- ломках которых за короткий промежуток времени разрушались все зубья. При этом всего несколько изломов зубьев имели чисто усталостный характер поломки, а остальные разру- шились от высоких ударных нагрузок со значительными пластическими деформациями. Рисунок 12. Кинематическая погрешность передачи с проходом через зацепление зуба с трещиной у ножки На рисунке 12 показана запись сигнала кинематической погрешности передачи при проходе через зацепление зуба с внесенной трещиной. Как видно из записи, амплитуда ки- нематической погрешности возрастает в 4 раза. Фактически такой уровень изменения сигна- ла кинематической погрешности может быть успешно диагностирован на работающей зуб- чатой передаче с помощью датчиков угла поворота и соответствующей аппаратуры. Выводы Применение метода конечных элементов для моделирования динамических процессов в зацеплении зубчатых колес позволяет эффективно определять точные зависимости харак- теристик жесткости и статической кинематической погрешности с подробной оценкой влия- ния геометрии профиля зубьев и выбора оптимальных параметров модификации. Примене- ние полученных характеристик жесткости зубчатых передач с различными геометрическими параметрами в составе аналитических моделей динамки зацепления позволяет оценивать из- менение динамических нагрузок в зацеплении, а также распределение изгибных и контакт- ных напряжений в течение фазы зацепления. Показано влияние модификации профиля пря- мозубых передач на уровни динамических нагрузок во всем диапазоне частот. Возможности моделирования процесса зацепления на рабочих частотах вращения неявными методами ди- намики позволяют оценить реальное поведение передачи при возникновении дефектов или проходе через резонансные режимы, что затруднительно оценить экспериментальным путем. Показано, что при зарождении трещины у ножки зуба, максимальные динамические напря- жения испытывают зубья, соседние к дефектному, из-за ударного входа в контакт, обуслов- ленного резким снижением жесткости пары зубьев с трещиной.