Representation of symmetric second-rank III tensor in the space of resultant eigenvectors

Full Text

Симметричный III тензор второго ранга aij , отнесенный к декартовой системе координат xi (i 1, 2,3) , характеризуется шестью компонентами  aij  a ji или собственными векторами ai и ортом их направлений aij . Если известны компоненты тензора aij , то собственные значения находятся посредством решения характеристического уравнения 3 2 à  A1à  A2à  A3  0 , (1.1) где: À1  àijij , À2  (àij àij  àii à jj )/ 2 , À3  àij - инварианты тензора aij . Решение кубического уравнения (1.1) дает три ранжированных собственных значения àmax , àint , àmin - максимальное, промежуточное и минимальное собственное значение. Неравенство àmax  àint  àmin является условием ранжирования собственных значений.  Введем векторное пространство неупорядоченных собственных векторов ai . Трем ранжированным собственным значениям àmax , àint , àmin соответствует шесть различных сочетаний неупорядоченных собственных значений ai à1  à2  à3 , à2  à1  à3 , à2  à3  à1 , à3  à2  à1 , à3  à1  à2 , à1  à3  à2 . (1.2)  Поэтому вектор тензора aij имеет шесть вариантов представления в пространстве ai  (n) (n) (n) An  a1  a2  a3 . (1.3) Индекс n изменяется от 1 до 6 в соответствии с номером сочетания неупорядоченных значений ai в неравенствах (1.2).  В трехмерном пространстве ai выделим плоскость Pd , проходящую через начало ко-  ординат и имеющую одинаковые наклоны к координатным осям ai , à1  à2  à3  0 . (2.1)  Единичный вектор, являющийся нормалью к плоскости  Pd , обозначим как m0 . Направляющие косинусы вектора m0       å1  m0  å2  m0  å3  m0  1/ 3 . Следовательно, по отношению к координатным осям одинаковы     m0  (å1  å2  å3 )/ 3 . ' Проекции главных значений на плоскость Pd обозначим ài  2/ 3ài . Положительно направленные проекции главных осей oà' расположены на плоскости P под углом 2 /3 .   i d Если через направления m0 и åi провести три плоскости, то векторное пространство неупорядоченных собственных значений разделится на шесть равных сегментов с раствором угла  /3 , а плоскость Pd , соответственно, на шесть секторов. Арабскими цифрами (n  1,..., 6) введем нумерацию секторов (сегментов). Отсчет сек- 1 торов будем проводить против хода часовой стрелки от оси oà' . Для каждого из секторов зависимость между неупорядоченными собственными значе- ниями и ранжированными собственными значениями представлена в виде таблицы 2.1. Таблица 2.1 Таким образом, вектор тензора aij n неравенства àmax àint àmin 1 à1  à2  à3 à1 à2 à3 2 à2  à1  à3 à2 à1 à3 3 à2  à3  à1 à2 à3 à1 4 à3  à2  à1 à3 à2 à1 5 à3  à1  à2 à3 à1 à2 6 à1  à3  à2 à1 à3 à2  можно представить в трехмерном пространстве ai независимым образом в любом из шести сегментов.  В каждом из сегментов разложим вектор    Àn на две составляющие: (n) Àn  À0  Ad   . (2.2)  Вектор À0 является проекцией вектора   Àn на нормаль к девиаторной плоскости m0 : À0  À0m0 ,  À0  (à1  à2  à3 )/ 3 . (2.3)  Вектор À0 не зависит от выбора номера сегмента, в котором представлен вектор   Àn . Вектор d A(n) является проекцией вектора Àn на плоскость Pd , причем: (n) 2 2 2 Àd   À  À0  À2  À1 /3 , (2.4) т.е. модуль вектора A(n) является инвариантной характеристикой тензора a . d Направление вектора  A(n) в каждом из секторов плоскости ij P определяется углом  . d d n Положительное направление отсчета угла n примем в направлении против часовой стрелки от оси oà' . Угол  называется фазой тензора a . 1 n ij Значение фазы n вычисляется через фазовый инвариант cos 3* , который в свою очередь вычисляется через инварианты тензора aij 2 À3  9 À À  27 À cos 3*  1 1 2 3 . 1 2 2( À2  3À )3/2 Для вычисления значений фазы n 3 следует воспользоваться тождеством cos   0, 75 cos  0, 25 cos 3*  0 . (2.5) Решением уравнения (2.5) являются три действительных значения функции cos : (cos)1 , (cos)2 , (cos)3 . Поскольку функция cos является четной, то результатом решения уравнения (2.5) будет шесть значений фазы: 1  ...  6 . Каждое значение фазы n  соответствует сектору, в котором представляется вектор Àn . Поскольку угол раствора сектора равен  /3 , то для фазы  (n)  в зависимости от номера сектора существуют ограничения  (n 1) /3   (n)  n /3 . В каждом из сегментов неупорядоченные собственные значения вычисляются по фор- мулам: à(n)  1 ( À  2 À cos ) , 1 3 0 d n (2.6) à(n)  1 a  2 À cos   2   . 2,3 3  0 d  n 3      Проведем плоскости Pñ , которые проходят через ось m0 и делят каждый из сегментов на две равные части. След от пересечения плоскостей Pñ и плоскости Pd обозначим линией ln . Положения линий ln определяются углами n  (2n 1) / 6 , отсчитываемыми от 1 проекции oà' в направлении против хода часовой стрелки. На плоскости Pd в каждый из секторов введем два единичных ортогональных вектора,  (n) mI mII и  (n) mI . Вектор  (n) направим от начала координат вдоль линии ln . Проекции вектора A  (n) d на направления орта  (n) m1I  (n) и mII удобно записать через собственные ранжированные значения [2] À  1 (à  à ) , I 2 max min (3.1) À  1 (2à  à  à ) . II 6 int max min Значения À0 , ÀI , ÀII будем называть линейными инвариантами ранжированных собственных значений. В таблице 3.1 для каждого из секторов плоскости Pd приведены выражения линейных инвариантов À(n) , À(n) через неупорядоченные собственные значения a . I II i n 1, 4 2, 5 3, 6 À(n) (à1  à3 )/ 2 (à2  à3 )/ 2 (à2  à1)/ 2 À(n) (2à2  à1  à3 ) / 6 (2à1  à2  à3 ) / 6 à3  à1  à2 )/ 6 Таблица 3.1 Направление вектора d À(n) на плоскости Pd так же можно определить параметром m  tg  AII AI  2àint  àmax  àmin , (3.2) 3(àmax  àmin ) (n) где:  - угол между линией ln и вектором Àd . В соответствии с таблицей 3.1, условимся положительное направление отсчета угла  принимать в каждом из секторов от линии ln ному собственному значению àmin . по направлению к минимальному ранжирован- Параметр m изменяется в диапазоне меняется в пределах  /6  m   /6 . 1/ 3  m 1/ 3 . Следовательно, угол  из- Нормированное 1  1 значение параметра m вычисляется по формуле:   m 3  2àint  àmax  àmin . (3.3) àmax  àmin Зависимость между фазами n отношениями: и углом  в каждом из n секторов устанавливается соили n  n  (1)n   (2n 1) / 6  (1)n  (3.4)   (   )(1)n  [(2n 1) / 6   ](1)n . (3.5) n n n Зависимость инвариантов ÀI , ÀII от неупорядоченных собственных значений в каждом из n секторов можно определять тригонометрическими формулами: (n) 2  (n) sin    (n) cos 2  (n) sin  5        AI  3 a1 n  2  a2  3 n   a 3 n  6  ,        (3.6) An  (1)n  2  (n) a cos     a(n) sin   2  a(n) cos  5  .           II 3  1  n 2  2  n 3  3  n 6  Локальные векторные базисы для тензора напряжений ранее вводились А.А. Ильюшиным [1]: I  1 (a  a ) , I  1 (2a  a  a ) (3.7) 1 и К.Ф. Черных [3]: 2 2 3 2 6 1 2 3 G  1 (a  a ) , G  1 (2a  a  a ) . (3.8) 2 2 2 1 2 6 3 1 2 Из таблицы 3.1 следует, что компоненты векторного базиса, предложенного А.А. Иль-  юшиным, относятся ко второму сегменту пространства ai , а предложение К.Ф. Черных к третьему сектору. Таким образом, векторные базисы А.А. Ильюшина и К.Ф. Черных являют- ся частными случаями представления (3.6).

About the authors

E. E. Kuznetsov

Tula State University; Chuvash State Pedagogical University

Email: SmitheE71@yandex.ru; ekc_05@mail.ru
Ph.D.

I. N. Matchenko

Tula State University; Chuvash State Pedagogical University

Email: SmitheE71@yandex.ru; ekc_05@mail.ru
Dr.Sc.

N. M. Matchenko

Tula State University; Chuvash State Pedagogical University

Email: SmitheE71@yandex.ru; ekc_05@mail.ru
Dr.Sc., Prof.

References

Supplementary files