Метод статистической линеаризации в динамике нелинейных систем мобильных машин

Полный текст

Методы расчета линейных динамических систем мобильных машин на случайные воздействия к настоящему времени хорошо разработаны [1, 2, 3]. При аналитическом расчете же нелинейных систем часто возникают почти непреодолимые вычислительные трудности. Наиболее эффективным (приближенным) методом расчета таких систем является метод статистической линеаризации [2]. Рассмотрим использование этого метода для расчета нелинейных систем с конечным числом степеней свободы, функционирование которых описывается следующим матричным дифференциальным уравнением вида: (1) где: матрица линейных дифференциальных операторов вектор обобщенных координат; число степеней свободы системы; нелинейная вектор-функция сил сопротивления; вектор гауссовских стационарных процессов внешних воздействий с нулевыми средними значениями и заданными спектральными плотностями в виде матрицы: (2) Задача состоит в определении матрицы спектральных плотностей выходных процессов (3) Применим к уравнению (1) метод статистической линеаризации, суть которого состоит в замене нелинейной функции на линейную где матрица коэффициентов линеаризации подлежит определению по какому-либо критерию, определяющему близость векторов и Получаем линеаризованное уравнение вида: (4) Матрица передаточных функций от внешних воздействий к выходным процессам на основе уравнения (4) определяется как: (5) Тогда для определения искомой матрицы (3) имеем формулу в матричном виде: (6) или в скалярном виде: . (7) Корреляционные моменты компонент вектора будут определяться по формуле: (8) где: оператор усреднения. Для определения матрицы используем критерий минимума среднего квадрата отклонения, выраженного как: (9) При реализации этого критерия воспользуемся следующими формулами для вычисления производных произведения матриц по матрице: (10) (11) (12) Из условия получаем: (13) Заметим, что для систем с одной степенью свободы формула (13) принимает вид: Из соотношения (13) следует, что элементы матрицы выражаются через корреляционные моменты вектора т.е. имеем: (14) Подставив (13) в (8) с учетом зависимостей (5)-(7), получим следующую систему алгебраических уравнений для определения корреляционных моментов вектора : (15) Теперь по формуле (13) можно определить матрицу С и затем (путем решения уравнения (4)) - все вероятностные характеристики искомого процесса Для примера рассмотрим нелинейную механическую систему с двумя степенями свободы, показанную на рисунке 1. Упругие элементы, изображенные в виде пружин, имеют нелинейные характеристики вида (рисунок 2): где: усилия в упругих элементах; обобщенные координаты системы; деформации упругих элементов; параметры упругости; коэффициент линейного демпфирования. Рисунок 1. Общий вид нелинейной механической системы с двумя степенями свободы: m1, m2 - массы; F(t) - вынуждающая сила; линеаризированные параметры жесткостей упругих элементов а) б) Рисунок 2. Нелинейные характеристики упругих элементов и линеаризирующие прямые: а) - для элемента, соединяющего массы между собой; б) - для элемента, соединяющего массу m2 со стеной Нелинейные составляющие упругих характеристик линеаризуем по критерию минимума среднего квадратического отклонения и заменяем на линейные выражения: где: коэффициенты линеаризации; дисперсии и коэффициент корреляции процессов и которые должны быть определены по ходу решения задачи. После линеаризации упругие характеристики принимают вид: где: (16) (17) Линеаризированные дифференциальные уравнения движения рассматриваемой системы имеют вид: (18) где: Здесь в скобках указаны аргументы функций и Передаточные функции от к и от к определяются из системы уравнений (18) при После подстановки и решения получим: (19) (20) Спектральные плотности и взаимная спектральная плотность процессов и будут вычисляться по следующим формулам: (21) (22) (23) Дисперсии и коэффициент корреляции процессов и будут выражаться следующими интегралами: Теперь по формулам (16) и (17) определяем величины и а по формулам (19) и (20) - передаточные функции. После этого по формулам (21), (22) и (23) находим спектральные плотности и взаимную спектральную плотность выходных случайных процессов и . Рассматриваемую задачу можно считать решенной. Таким образом, показано, что метод статистической линеаризации в динамике нелинейных систем с конечным числом степеней свободы эффективен и вполне реализуем.

Об авторах

А. С Гусев

МГТУ им. Н.Э. Баумана

Email: sopr@mami.ru
д.т.н. проф.; 8(499)-223-05-23, доб. 14-57

В. И Щербаков

Университет машиностроения

Email: sopr@mami.ru
к.т.н. проф.; 8(499)-223-05-23, доб. 14-57

Ю. П Чуканин

Университет машиностроения

Email: sopr@mami.ru
доц.; 8(499)-223-05-23, доб. 14-57

С. А Стародубцева

Университет машиностроения

Email: sopr@mami.ru
к.т.н. доц.; 8(499)-223-05-23, доб. 14-57

Список литературы

Дополнительные файлы