Method of statistical linearization of nonlinear dynamics in systems of mobile machines

Abstract

The method of statistical linearization applied to nonlinear dynamical systems with several degrees of freedom is considered in the article.

Full Text

Методы расчета линейных динамических систем мобильных машин на случайные воздействия к настоящему времени хорошо разработаны [1, 2, 3]. При аналитическом расчете же нелинейных систем часто возникают почти непреодолимые вычислительные трудности. Наиболее эффективным (приближенным) методом расчета таких систем является метод статистической линеаризации [2]. Рассмотрим использование этого метода для расчета нелинейных систем с конечным числом степеней свободы, функционирование которых описывается следующим матричным дифференциальным уравнением вида: (1) где: матрица линейных дифференциальных операторов вектор обобщенных координат; число степеней свободы системы; нелинейная вектор-функция сил сопротивления; вектор гауссовских стационарных процессов внешних воздействий с нулевыми средними значениями и заданными спектральными плотностями в виде матрицы: (2) Задача состоит в определении матрицы спектральных плотностей выходных процессов (3) Применим к уравнению (1) метод статистической линеаризации, суть которого состоит в замене нелинейной функции на линейную где матрица коэффициентов линеаризации подлежит определению по какому-либо критерию, определяющему близость векторов и Получаем линеаризованное уравнение вида: (4) Матрица передаточных функций от внешних воздействий к выходным процессам на основе уравнения (4) определяется как: (5) Тогда для определения искомой матрицы (3) имеем формулу в матричном виде: (6) или в скалярном виде: . (7) Корреляционные моменты компонент вектора будут определяться по формуле: (8) где: оператор усреднения. Для определения матрицы используем критерий минимума среднего квадрата отклонения, выраженного как: (9) При реализации этого критерия воспользуемся следующими формулами для вычисления производных произведения матриц по матрице: (10) (11) (12) Из условия получаем: (13) Заметим, что для систем с одной степенью свободы формула (13) принимает вид: Из соотношения (13) следует, что элементы матрицы выражаются через корреляционные моменты вектора т.е. имеем: (14) Подставив (13) в (8) с учетом зависимостей (5)-(7), получим следующую систему алгебраических уравнений для определения корреляционных моментов вектора : (15) Теперь по формуле (13) можно определить матрицу С и затем (путем решения уравнения (4)) - все вероятностные характеристики искомого процесса Для примера рассмотрим нелинейную механическую систему с двумя степенями свободы, показанную на рисунке 1. Упругие элементы, изображенные в виде пружин, имеют нелинейные характеристики вида (рисунок 2): где: усилия в упругих элементах; обобщенные координаты системы; деформации упругих элементов; параметры упругости; коэффициент линейного демпфирования. Рисунок 1. Общий вид нелинейной механической системы с двумя степенями свободы: m1, m2 - массы; F(t) - вынуждающая сила; линеаризированные параметры жесткостей упругих элементов а) б) Рисунок 2. Нелинейные характеристики упругих элементов и линеаризирующие прямые: а) - для элемента, соединяющего массы между собой; б) - для элемента, соединяющего массу m2 со стеной Нелинейные составляющие упругих характеристик линеаризуем по критерию минимума среднего квадратического отклонения и заменяем на линейные выражения: где: коэффициенты линеаризации; дисперсии и коэффициент корреляции процессов и которые должны быть определены по ходу решения задачи. После линеаризации упругие характеристики принимают вид: где: (16) (17) Линеаризированные дифференциальные уравнения движения рассматриваемой системы имеют вид: (18) где: Здесь в скобках указаны аргументы функций и Передаточные функции от к и от к определяются из системы уравнений (18) при После подстановки и решения получим: (19) (20) Спектральные плотности и взаимная спектральная плотность процессов и будут вычисляться по следующим формулам: (21) (22) (23) Дисперсии и коэффициент корреляции процессов и будут выражаться следующими интегралами: Теперь по формулам (16) и (17) определяем величины и а по формулам (19) и (20) - передаточные функции. После этого по формулам (21), (22) и (23) находим спектральные плотности и взаимную спектральную плотность выходных случайных процессов и . Рассматриваемую задачу можно считать решенной. Таким образом, показано, что метод статистической линеаризации в динамике нелинейных систем с конечным числом степеней свободы эффективен и вполне реализуем.