Method of statistical linearization of nonlinear dynamics in systems of mobile machines
- Authors: Gusev A.S1, Shcherbakov V.I2, Chukanin Y.P2, Starodubtseva S.A2
-
Affiliations:
- Bauman Moscow State Technical University
- Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)
- Issue: Vol 8, No 1-1 (2014)
- Pages: 84-86
- Section: Articles
- URL: https://journals.eco-vector.com/2074-0530/article/view/67734
- DOI: https://doi.org/10.17816/2074-0530-67734
- ID: 67734
Cite item
Full Text
Abstract
Full Text
Методы расчета линейных динамических систем мобильных машин на случайные воздействия к настоящему времени хорошо разработаны [1, 2, 3]. При аналитическом расчете же нелинейных систем часто возникают почти непреодолимые вычислительные трудности. Наиболее эффективным (приближенным) методом расчета таких систем является метод статистической линеаризации [2]. Рассмотрим использование этого метода для расчета нелинейных систем с конечным числом степеней свободы, функционирование которых описывается следующим матричным дифференциальным уравнением вида: (1) где: матрица линейных дифференциальных операторов вектор обобщенных координат; число степеней свободы системы; нелинейная вектор-функция сил сопротивления; вектор гауссовских стационарных процессов внешних воздействий с нулевыми средними значениями и заданными спектральными плотностями в виде матрицы: (2) Задача состоит в определении матрицы спектральных плотностей выходных процессов (3) Применим к уравнению (1) метод статистической линеаризации, суть которого состоит в замене нелинейной функции на линейную где матрица коэффициентов линеаризации подлежит определению по какому-либо критерию, определяющему близость векторов и Получаем линеаризованное уравнение вида: (4) Матрица передаточных функций от внешних воздействий к выходным процессам на основе уравнения (4) определяется как: (5) Тогда для определения искомой матрицы (3) имеем формулу в матричном виде: (6) или в скалярном виде: . (7) Корреляционные моменты компонент вектора будут определяться по формуле: (8) где: оператор усреднения. Для определения матрицы используем критерий минимума среднего квадрата отклонения, выраженного как: (9) При реализации этого критерия воспользуемся следующими формулами для вычисления производных произведения матриц по матрице: (10) (11) (12) Из условия получаем: (13) Заметим, что для систем с одной степенью свободы формула (13) принимает вид: Из соотношения (13) следует, что элементы матрицы выражаются через корреляционные моменты вектора т.е. имеем: (14) Подставив (13) в (8) с учетом зависимостей (5)-(7), получим следующую систему алгебраических уравнений для определения корреляционных моментов вектора : (15) Теперь по формуле (13) можно определить матрицу С и затем (путем решения уравнения (4)) - все вероятностные характеристики искомого процесса Для примера рассмотрим нелинейную механическую систему с двумя степенями свободы, показанную на рисунке 1. Упругие элементы, изображенные в виде пружин, имеют нелинейные характеристики вида (рисунок 2): где: усилия в упругих элементах; обобщенные координаты системы; деформации упругих элементов; параметры упругости; коэффициент линейного демпфирования. Рисунок 1. Общий вид нелинейной механической системы с двумя степенями свободы: m1, m2 - массы; F(t) - вынуждающая сила; линеаризированные параметры жесткостей упругих элементов а) б) Рисунок 2. Нелинейные характеристики упругих элементов и линеаризирующие прямые: а) - для элемента, соединяющего массы между собой; б) - для элемента, соединяющего массу m2 со стеной Нелинейные составляющие упругих характеристик линеаризуем по критерию минимума среднего квадратического отклонения и заменяем на линейные выражения: где: коэффициенты линеаризации; дисперсии и коэффициент корреляции процессов и которые должны быть определены по ходу решения задачи. После линеаризации упругие характеристики принимают вид: где: (16) (17) Линеаризированные дифференциальные уравнения движения рассматриваемой системы имеют вид: (18) где: Здесь в скобках указаны аргументы функций и Передаточные функции от к и от к определяются из системы уравнений (18) при После подстановки и решения получим: (19) (20) Спектральные плотности и взаимная спектральная плотность процессов и будут вычисляться по следующим формулам: (21) (22) (23) Дисперсии и коэффициент корреляции процессов и будут выражаться следующими интегралами: Теперь по формулам (16) и (17) определяем величины и а по формулам (19) и (20) - передаточные функции. После этого по формулам (21), (22) и (23) находим спектральные плотности и взаимную спектральную плотность выходных случайных процессов и . Рассматриваемую задачу можно считать решенной. Таким образом, показано, что метод статистической линеаризации в динамике нелинейных систем с конечным числом степеней свободы эффективен и вполне реализуем.About the authors
A. S Gusev
Bauman Moscow State Technical University
Email: sopr@mami.ru
Dr. Eng., Prof.; +7 495 223-05-23, ext. 1457
V. I Shcherbakov
Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)
Email: sopr@mami.ru
Ph.D.; +7 495 223-05-23, ext. 1457
Y. P Chukanin
Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)
Email: sopr@mami.ru
Ph.D.; +7 495 223-05-23, ext. 1457
S. A Starodubtseva
Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)
Email: sopr@mami.ru
Ph.D.; +7 495 223-05-23, ext. 1457
References
- Вибрации в технике: Справочник в 6 т. Т. 1. Колебания линейных систем /Под ред. В.В. Болотина. - М.: Машиностроение, 1999. - 504 с.
- Гусев А.С. Вероятностные методы в механике машин и конструкций. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. - 223 с.
- Гусев А.С. Расчет конструкций при случайных воздействиях /А.С. Гусев, В.А. Светлицкий. М.: Машиностроение, 1984. -240 с.
- Щербаков В.И. Избранные задачи по динамике механических систем и конструкций /В.И. Щербаков, И.С. Чабунин, С.А. Стародубцева. М.: МГТУ «МАМИ», 2010. - 288с.