Анализ и синтез робастного управления для линейных систем двойного демпфирования

Аннотация

В статье изложен способ построения робастного управления подвеской автомобиля при наличии интервальной неопределенности массы груза автомобиля и массы водителя, а так же невозможности измерения отклонения кузова автомобиля и кресла водителя от своих состояний покоя. Приведено наглядное обоснование актуальности применения синтезированного робастного управления по сравнению с другими по качеству переходных процессов.

Полный текст

Робастные системы и робастные устройства значительно увеличивают надежность и устойчивость технических комплексов. Одним из подходов к созданию живучих функциональных узлов может стать поиск решений, обладающих нулевой чувствительностью выходных характеристик к изменению величин мешающих факторов, в качестве которых может выступать температура, давление, радиоактивность, рассогласование импедансов, влажность, вибрация и т.д. [4]. Сформировав функцию чувствительности некоторых выходных характеристик α к изменению некоторых величин: можно попытаться найти набор характеристик, при которых возможно достижение нулевой чувствительности: при определенном γ или минимальной чувствительности в некоторой δ-окрестности параметра γ. Тогда даже большое изменение параметра γ под воздействием мешающих факторов, в том числе катастрофический отказ, не повлияют значительно на работу системы. Рассмотрим применение этой идеи к системе двойного демпфирования. Рассмотрим двухдемпферную модель объекта, а именно: колеса и водительского сиденья (рисунок 1), которая описывает особенности реальной системы. Рисунок 1 – Двухдепферная модель ¼ автомобиля Здесь большим прямоугольником с подписью Мс обозначен автомобиль со своей массой, а меньший прямоугольник ms – водитель, сидящий на кресле. Вертикальные колебания от колеса поглощаются гасителем ударов, который состоит из пружины k1 и демпфера b1. Для более качественного снижения нежелательной вибрации под креслом водителя вмонтирована еще одна пружина k2 и демпфер b2. Компенсация колебаний как автомобиля, так и сиденья ускоряется с помощью входных управляющих воздействий u1(t) и u2(t). Применяя знания из курса физики (механики), по второму закону Ньютона можно описать нашу модель системой дифференциальных физических уравнений: - для автомобиля , - для кресла . Зададим переменные пространства состояний: (1) где: - вертикальное смещение кузова автомобиля от своего положения равновесия, м; - вертикальное смещение кресла водителя от своего положения равновесия, м; - вертикальная скорость кузова автомобиля, м/с; - вертикальная скорость кресла водителя, м/с. Тогда можно переписать физические дифференциальные уравнения, описывающие объект, в виде динамической системы в пространстве координат (2): (2) Значения параметров модели указаны в таблице 1. Таблица 1. Значения параметров модели Введем обозначения: , , , , , . Тогда система (2) перепишется в виде (3): (3) Наша задача состоит в конструировании оптимального управления при отсутствии информации о массе груза автомобиля и массе водителя в конкретный момент времени, причем к управлению предъявляется требование, чтобы оно качественно отрабатывало любую ситуацию из заданных диапазонов изменения параметров, т.е. на управление накладывается требование робастности [1, 2]. Диапазоны изменения масс выбраны эмпирически так, чтобы они адекватно отражали реальное положение дел. Возмущениями назовем отклонения масс автомобиля и сиденья с водителем от своих средних значений. Оптимальность синтезированного управления будем оценивать по качеству переходных процессов (амплитуда и скорость затухания колебаний) и квадратичному функционалу качества: (4) где: S – решение стационарного уравнения Риккати-Лурье для случая наихудших значений параметров возмущения: (5) где: матрицы и - наихудшие с точки зрения качества переходных процессов при заданных диапазонах изменения масс, т.е. робастная модель объекта имеет вид: (6) Матрицы Q и R возьмем для простоты единичными. В данной статье для упрощения изложения мы опускаем изложение способа нахождения матриц A* и B*, а сразу воспользуемся его результатами: По этим матрицам строим оптимальное робастное управление (рисунок 2). Можно сравнить его по качеству с другими следующим образом: подставить робастное управление в любую другую систему, а управление этой системы подставить в робастную систему и сравнить качество переходных процессов (рисунок 3). Рисунок 2 – Схема построения оптимального робастного управления Рисунок 3 – Сравнение различных управлений Однако следует заметить, что в жизни мы не можем реализовать полученное управление, т.к. не все координаты состояния объекта доступны для измерения. Введем специальный измеритель: (7) где: В этом случае нам сначала нужно построить наблюдатель. Тогда оптимальное управление будет искаться в той же форме, только через оценку для неизвестных координат состояния: (8) Построим наблюдатель сокращенной размерности, т.е. наблюдатель Луинбергера. В этом случае: (9) и назначим: (10) Тогда . (11) Так как в нашем случае – единичная матрица, то найти V и P не составляет труда: Будем строить оценку состояния так: (12) при (13) причем если x(t0) – известно, то z(t0) = T(t0)·x(t0) и тогда . Рисунок 4 – Схема синтеза оптимального робастного управления с помощью наблюдателя Луинбергера Изложенный подход к решению задачи о нахождении оптимального робастного управления при недоступности измерения некоторых координат реализует схема в среде Matlab, приведенная на рисунке 4. Как отмечалось ранее, если известно , то наша оценка координаты равна в точности исходной координате. Если же мы выбирали начальные условия наугад, то погрешности не избежать, но она будет со временем стремиться к нулю (рисунок 5). Рисунок 5 – Графики погрешностей оценки третьей и четвертой координат объекта Проиллюстрируем отличие графиков колебаний двух первых координат состояния объекта при известных начальных условиях и при выбранных случайным образом (рисунки 6 и 7). Рисунок 6 – График колебания двух первых координат состояния объекта при наличии известного начального состояния Тем самым мы решили поставленную задачу о нахождении оптимального робастного управления в случае интервальной неопределенности параметров при невозможности измерения нескольких координат состояния объекта. Рисунок 7 – График колебания двух первых координат состояния объекта при отсутствии информации о двух начальных координатах