Parametric synthesis of the optimal regulator on the basis of the calculus of variations for General mathematical model of the object

全文:

Пусть математическая модель объекта регулирования описывается дифференциальным уравнением в операторной форме с правой частью, заданной номиналом переменной (1) при этом n>x; ; Математическую модель регулятора также возьмем в общем виде следующим образом. (2) В качестве функционала качества примем интегрально-квадратический критерий в обобщенном виде с учетом ограничения на затраты энергии на управления в виде (3) Требуется определить такую структуру регулятора (2) и такие настройки rj, что функционал (3) принял минимальное значение. Структура регулятора задана значениями rj не равными нулю или нулевыми значениями или близкими значениями к нулю. Для решения задачи оптимизации [1] т.е. нахождения переходного процесса от возмущения в виде неравенства нулю начальных условий … , с учетом краевых условий характеризующих асимптотическую устойчивость. Далее введем в рассмотрение функции Лагранжа [2]. Поскольку ограничения в данном случае представляет собой дифференциальное уравнение: , то вместо множителя Лагранжа в функцию Лагранжа должна входить переменная Лагранжа . Тогда функция Лагранжа выглядит следующим образом: (4) Составим уравнение Эйлера-Пуассона для функционала L(y,u) от двух функций y(t) и u(t) и получим систему двух уравнений: где . Исключая из этих уравнений переменные u и λ, получаем уравнение для экстремалей вариационной задачи. (5) Характеристический полином , (6) является уравнением степени 2β, . Пусть для простоты . Это полином четных степеней Р и его можно представить в факторизованном виде: , (7) где - полином степени β, содержащий корни полинома с отрицательной вещественной частью. С другой стороны характеристический полином замкнутой АСР имеет вид: . (8) Составляем тождества и сравниваем в этом тождестве коэффициенты при одинаковых степенях Р получаем уравнения для определения искомых настроек регулятора. Пример: Модель объекта регулирования. . (9) Модель регулятора . (10) Критерий оптимальности Составим функцию Лагранжа или Составим уравнение Эйлера-Пуассона (11) Запишем функцию Лагранжа в критерии оптимизации: (12) В соответствии с уравнениями Эйлера-Пуассона построим производные: (13) (14) Подставив производные (13) и (14) в уравнение (11), получим: (15) Преобразуем систему уравнений к операторному виду с переменной . В результате найдем: (16) что по форме соответствует уравнениям (5), записанным в общем виде. В соответствии с процедурой оптимизации исключим из системы (16) переменную : , (17) Затем подставим (17) в первое уравнение (16) , после преобразования получим . (18) Далее определим уравнение u(p) из математической модели объекта (10): . (19) Подставив (19) в (18), найдем: . . (20) Уравнение (20) представляет уравнение для экстремалей вариационной задачи. Из (20) определим характеристический полином. , (21) что представляет собой полином четной степени. Такой полином может быть факторизован. Обозначим коэффициенты уравнения => A => (22) В результате получим окончательно: . (23) Представим (23) в факторизованном виде: Примем устойчивое уравнение и определим корни Если , то корни будут действительными и наборот , то корни будут комплексными. Найдем устойчивый полином : Приведем к такому же уравнение исходного объекта. Для этого найдем управляющее воздействие и уравнение (10`) и подставим его в исходную модель объекта (10): Окончательный закон регулирования имеет вид: что соответствует ПД - регулятору: - ПД - регулятор .

作者简介

V. Polianskiy

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Ph.D.

参考

补充文件