Parametric synthesis of the optimal regulator on the basis of the calculus of variations for General mathematical model of the object

Full Text

Пусть математическая модель объекта регулирования описывается дифференциальным уравнением в операторной форме с правой частью, заданной номиналом переменной (1) при этом n>x; ; Математическую модель регулятора также возьмем в общем виде следующим образом. (2) В качестве функционала качества примем интегрально-квадратический критерий в обобщенном виде с учетом ограничения на затраты энергии на управления в виде (3) Требуется определить такую структуру регулятора (2) и такие настройки rj, что функционал (3) принял минимальное значение. Структура регулятора задана значениями rj не равными нулю или нулевыми значениями или близкими значениями к нулю. Для решения задачи оптимизации [1] т.е. нахождения переходного процесса от возмущения в виде неравенства нулю начальных условий … , с учетом краевых условий характеризующих асимптотическую устойчивость. Далее введем в рассмотрение функции Лагранжа [2]. Поскольку ограничения в данном случае представляет собой дифференциальное уравнение: , то вместо множителя Лагранжа в функцию Лагранжа должна входить переменная Лагранжа . Тогда функция Лагранжа выглядит следующим образом: (4) Составим уравнение Эйлера-Пуассона для функционала L(y,u) от двух функций y(t) и u(t) и получим систему двух уравнений: где . Исключая из этих уравнений переменные u и λ, получаем уравнение для экстремалей вариационной задачи. (5) Характеристический полином , (6) является уравнением степени 2β, . Пусть для простоты . Это полином четных степеней Р и его можно представить в факторизованном виде: , (7) где - полином степени β, содержащий корни полинома с отрицательной вещественной частью. С другой стороны характеристический полином замкнутой АСР имеет вид: . (8) Составляем тождества и сравниваем в этом тождестве коэффициенты при одинаковых степенях Р получаем уравнения для определения искомых настроек регулятора. Пример: Модель объекта регулирования. . (9) Модель регулятора . (10) Критерий оптимальности Составим функцию Лагранжа или Составим уравнение Эйлера-Пуассона (11) Запишем функцию Лагранжа в критерии оптимизации: (12) В соответствии с уравнениями Эйлера-Пуассона построим производные: (13) (14) Подставив производные (13) и (14) в уравнение (11), получим: (15) Преобразуем систему уравнений к операторному виду с переменной . В результате найдем: (16) что по форме соответствует уравнениям (5), записанным в общем виде. В соответствии с процедурой оптимизации исключим из системы (16) переменную : , (17) Затем подставим (17) в первое уравнение (16) , после преобразования получим . (18) Далее определим уравнение u(p) из математической модели объекта (10): . (19) Подставив (19) в (18), найдем: . . (20) Уравнение (20) представляет уравнение для экстремалей вариационной задачи. Из (20) определим характеристический полином. , (21) что представляет собой полином четной степени. Такой полином может быть факторизован. Обозначим коэффициенты уравнения => A => (22) В результате получим окончательно: . (23) Представим (23) в факторизованном виде: Примем устойчивое уравнение и определим корни Если , то корни будут действительными и наборот , то корни будут комплексными. Найдем устойчивый полином : Приведем к такому же уравнение исходного объекта. Для этого найдем управляющее воздействие и уравнение (10`) и подставим его в исходную модель объекта (10): Окончательный закон регулирования имеет вид: что соответствует ПД - регулятору: - ПД - регулятор .

About the authors

V. P Polianskiy

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Ph.D.

References

Supplementary files