The conclusion of the Dirac matrices in the real, complex and quaternionic representations

Full Text

В основе этой статьи лежит предположение о том, что структурные матрицы алгебры Клиффорда как-то связаны с матрицами Дирака. Но сами структурные матрицы определяются законами умножения алгебры (в нашем случае законам умножения векторов в алгебре Клиффорда). Следовательно, между этими законами и матрицами Дирака должна существовать взаимосвязь [1]. Если нам удастся вывести матрицы Дирака, исходя из законов умножения алгебры Клиффорда, то это будет свидетельством в пользу выдвинутого предположения. А если учесть, что строгий вывод матриц Дирака в настоящее время отсутствует, то получение такого вывода само по себе представляет интерес [2]. Матрицы Дирака мы свяжем с присоединенным представлением ковариантной алгебры Клиффорда. 1. Присоединенное представление базисных векторов Введем в рассмотрение ковариантную ассоциативную алгебру . Ее векторы запишем в следующем виде: , где: – координаты ковариантного вектора, – базисные векторы. Запишем закон умножения базисных векторов в алгебре C следующим образом: . (1) Здесь – структурные постоянные алгебры. Они рассматриваются в виде матриц, называемых структурными. Индекс I нумерует сами матрицы. Номер матрицы совпадает с номером левого базисного вектора. Индекс K нумерует строки, а индекс L – столбцы структурных матриц. Запишем условие ассоциативности для произведения трех базисных векторов: . Отсюда, используя закон умножения базисных векторов (1), получим: . Откуда . (2) Сравнивая это выражение с самим законом умножения базисных векторов (1), заключаем, что базисным векторам можно поставить в соответствие структурные матрицы . При этом умножению базисных векторов ставится в соответствие обычное умножение матриц в обратном порядке. Это соответствие составляет присоединенное или регулярное представление алгебры и обозначается здесь следующим образом: . В регулярном представлении произвольному вектору алгебры соответствует матрица: . В соответствии с нашей программой будем рассматривать ковариантную алгебру как алгебру Клиффорда над четырехмерным пространством–временем специальной теории относительности. Итак, мы имеем алгебру Клиффорда, построенную на шестнадцати базисных векторах , где индекс I пробегает значения от 0 до 15 [3]. Укажем эти базисные векторы и законы умножения, которым они подчиняются. · Вектор . Для него справедлив закон умножения: . · Векторы , где индекс i принимает значения от 1 до 4. Эти векторы называются образующими. Для образующих вкторов имеют место следующие законы умножения: , , причем . Пространство, построенное на образующих векторах, представляет собой пространство-время специальной теории относительности. Это пространство является образующим для рассматриваемой алгебры Клиффорда. (Далее все индексы, обозначаемые малыми латинскими буквами, начиная с i, пробегают значения от 1 до 4.) · Векторы , (i ≠ k), для которых выполняется правило перестановки индексов и, соответственно, сомножителей – условие антикоммутативности произведения: . Остальные законы умножения, в которых участвуют эти векторы, следуют из условий ассоциативности и антикоммутативности. В частности, . · Векторы , (i ≠ k, i ≠ l, k ≠ l), для которых выполняются следующие правила перестановки индексов, вытекающие из условий ассоциативности и атикоммутативности: . Остальные законы умножения этих векторов также следуют из из условий ассоциативности и антикоммутативности. В частности, . · Вектор , (i ≠ k, i ≠ l, i ≠ m, k ≠ l, k ≠ m, l ≠ m). Для этого вектора выполняются следующие правила перестановки индексов, вытекающие из условий ассоциативности и антикоммутативности Остальные законы умножения, в которых участвует этот вектор, также следуют из условий ассоциативности и антикоммутативности. В частности, . В соответствии с нашим общим замыслом необходимо для указанных базисных векторов найти структурные матрицы , пользуясь (1) и правилами умножения векторов в алгебре Клиффорда, и сравнить их с матрицами Дирака. Из (1) следует алгоритм вычисления структурных матриц, соответствующих базисным векторам. Сначала нужно установить номер структурной матрицы в соответствии с номером базисного вектора. Затем для вычисления элемента структурной матрицы с номером I, расположенного в строке с номером K и в столбце с номером L, необходимо базисный вектор, номер которого совпадает с номером строки матрицы, умножить слева на базисный вектор, номер которого совпадает с номером структурной матрицы. Далее нужно определить базисный вектор, на который проецируется это произведение, и численное значение проекции. Тогда номер L указанного базисного вектора определит номер столбца, на пересечении которого с рассматриваемой строкой необходимо поставить указанное численное значение проекции. В том случае, когда необходимо подчеркнуть размерность образующего пространства алгебры Клиффорда, используется обозначение вместо обозначения . Это особенно полезно при выделении подалгебры алгебры Клиффорда. Например, подалгебру алгебры с тремя образующими базисными векторами (например, ) удобно обозначать . Теперь вычислим структурные матрицы по приведенному алгоритму для двух случаев: 1) алгебра с тремя образующими базисными векторами ; 2) алгебра с четырьмя образующими базисными векторами . 2. Ковариантная алгебра Клиффорда 2.1. Действительное представление Для алгебры структурные матрицы будем вычислять для особого порядка индексов (32, 13, 21, 0, 1, 2, 3, 123). Приведенный порядок индексов оправдан тем, что, как будет показано далее, для него структурные матрицы алгебры Клиффорда в комплексном представлении совпадают с матрицами Дирака. С математической точки зрения порядок индексов несущественен вследствие аддитивности сложения компонент вектора, но с физической точки зрения указанному порядку индексов нужно придавать определенное значение. Таким образом, будем записывать слагаемые вектора в следующей последовательности . (3) В результате получим действительные матрицы 8×8 присоединенного представления базисных векторов . Они приведены в разделе 2.4. Помимо действительного представления рассмотрим комплексное и кватернионное представления базисных векторов алгебры Клиффорда, удобные в силу своей компактности. 2.2. Комплексное представление Остановимся на вопросе о представлении произведения алгебр Клиффорда. Алгебру Клиффорда можно записать в виде произведения . И затем представить алгебру как алгебру гиперчисел. Например, вектор (3) алгебры можно записать в следующем виде: . Эта запись соответствует записи алгебры в виде произведения . Базисными векторами алгебры являются , , , ; базисными векторами алгебры являются , . Пространство можно рассматривать как пространство комплексных чисел. Для этого базисному вектору алгебры поставим в соответствие мнимую единицу i с обратным знаком, имея в виду, что , а базисному вектору алгебры поставим в соответствие действительную единицу. В результате получим вектор алгебры в комплексном представлении . Комплексное представление дается матрицами 4×4, в которых блоки заменены базисными единицами 1 и i. Они приведены в раздел 2.4. 2.3. Кватернионное представление Напомним, что кватернионы это числа вида , где: – действительные числа; – базисные кватернионы, для которых выполняются следующие правила умножения: , . Кватернионное представление базисных векторов основано на следующем разложении вектора: . (4) Эта запись соответствует записи алгебры в виде произведения . Базисными векторами алгебры являются , ; базисными векторами алгебры являются , , , . Так как , то пространство можно рассматривать как пространство кватернионов. Для этого указанным базисным векторам ставятся в соответствие базисные кватернионы, которые обозначим соответственно 1, , , . Заменяя в (4) базисные векторы , , , базисными кватернионами, получим вектор алгебры в кватернионном представлении: . Кватернионное представление базисных векторов дается структурными матрицами 2×2, в которых соответствующие блоки обозначены 1, , , . Эти матрицы приведены в следующем разделе. 2.4. Структурные матрицы ковариантной алгебры Клиффорда В этом разделе приведем структурные матрицы ковариантной алгебры Клиффорда При преобразовании матриц от действительного представления к комплексному использованы следующие обозначения для блоков 2×2 При преобразовании матриц от комплексного представления к кватернионному использованы следующие обозначения для блоков 2×2 Матрицы , , представляют собой матрицы Паули (с той разницей, что по соображениям симметрии в качестве взята матрица с противоположным знаком). 3. Ковариантная алгебра Клиффорда 3.1. Действительное представление Структурные матрицы алгебры будем вычислять для особого порядка индексов, обобщающего порядок индексов, указанный в разделе 2.1: (32, 13, 21, 0, 42, 14, 1324, 34, 1, 2, 3, 123, 134, 234, 4, 124) . То есть, будем записывать слагаемые вектора в следующей последовательности: . В результате получим матрицы 16×16 действительного представления базисных векторов . Они приведены в разделе 3.4. 3.2. Комплексное представление Комплексное представление основано на следующем разложении вектора: . Это представление соответствует записи в виде произведения . Базисными векторами алгебры являются: , , , , , , , ; базисными векторами алгебры являются , . Заменяя базисный вектор мнимой единицей с обратным знаком, а базисный вектор действительной единицей, получим вектор алгебры в комплексном представлении: . Комплексное представление базисных векторов дается структурными матрицами 8×8, в которых соответствующие блоки заменены базисными единицами 1 и i. Эти матрицы приведены в разделе 3.4. 3.3. Кватернионное представление Кватернионное представление базисных векторов основано на разложении вектора: . Это представление соответствует записи алгебры в виде произведения . Базисными векторами одной алгебры являются , , , ; базисными векторами другой алгебры являются , , , . Как и прежде, заменяя последнюю группу базисных векторов базисными кватернионами, получим вектор алгебры в кватернионном представлении: . Кватернионное представление базисных векторов дается структурными матрицами 2×2, в которых соответствующие блоки обозначены 1, , , . Эти матрицы приведены в следующем разделе. 3.4. Структурные матрицы ковариантной алгебры Клиффорда В этом разделе приведем структурные матрицы ковариантной алгебры Клиффорда Обозначения для блоков 2×2, использованых при преобразовании матриц от действительного представления к комплексному и при преобразовании матриц от комплексного представления к кватернионному, приведены в разделе 2.4. Выводы Восемь структурных матриц ковариантной алгебры в комплексном представлении совпадают с восьмью пространственными матрицами Дирака. К мнимой единице и комплексным числам мы приходим после обозначения ими блочных матриц. Таким образом, загадочная роль мнимой единицы, комплексных величин и пространства Гильберта в квантовой механике объясняется правилами умножения базисных векторов в алгебре Клиффорда. Шестнадцать структурных матриц ковариантной алгебры Клиффорда обобщают шестнадцать матриц Дирака, отличаясь от них, прежде всего, размерностью. Так, в комплексном представлении эти матрицы имеют размерность 8×8, в то время как матрицы Дирака имеют размерность 4×4. Если предположить вырождение части компонент вектора ковариантной алгебры , то структурные матрицы вырожденной алгебры сводятся к полному набору матриц Дирака.

About the authors

A. A Ketsaris

Moscow State University of Mechanical Engineering(MAMI)

Ph.D.

References

Supplementary files