ANALYTICAL DESCRIPTION OF THE INCLINED CRACK TRAJECTORY BY THE METHOD OF NONLINEAR DEFORMATION MODEL

Full Text

Современная нормативная методика расчета прочности железобетонных элементов по наклонным сечениям, представленная в СП 63.13330.2012 «СНиП 52-01-2003 Бетонные и железобетонные конструкции. Основные положения», базируется на ряде эмпирических и полуэмпирических зависимостей, условно отражающих напряженно-деформированное состояние (НДС) конструкции в зоне поперечного изгиба. Актуальным направлением дальнейшего развития теории железобетона является использование нелинейных деформационных моделей для исследования НДС железобетонных конструкций [1-4]. Применение нелинейных деформационных моделей (НДМ) позволяет совершенствовать нормативные методы расчета [5, 6], обеспечивая требуемый уровень конструктивной безопасности, с одной стороны, и возможность рационального использования материалов - с другой [7-9]. При расчете нормального сечения по методике НДМ с использованием нормативных и предложенных авторами аналитических зависимостей были получены результаты, имеющие наилучшую сходимость с результатами эксперимента на железобетонном образце. Шагово-итерационный метод определения НДС, реализованный в общем ядре НДМ, позволил проследить пластические процессы механики железобетона, происходящие в нормальном сечении элемента под нагрузкой [10]. НДМ позволяет применить закон ползучести бетона, а также спрогнозировать изменение НДС элемента во времени благодаря внедрению в расчетные зависимости параметров нелинейных свойств материалов. Расчетная модель, представленная на рис. 1, состоит из двух блоков, разделенных наклонной трещиной. В нормальном сечении рассматриваются нормальные и касательные усилия в бетоне и осевое усилие в арматуре; в наклонном сечении, проходящем по наклонной трещине, дополнительно учитываются силы зацепления берегов наклонной трещины, осевое и тангенциальное усилия в арматуре, в точке ее пересечения с наклонной трещиной. Для формирования основной расчетной схемы принято нормальное сечение в вершине наклонной трещины (сечение 1-1). Затем были вычислены значения параметров, характеризующих НДС указанного нормального сечения под нагрузкой, которые в дальнейшем позволят рассчитать и оценить прочность наклонного сечения. Одним из главных параметров наклонного сечения, для оценки его НДС, является траектория наклонной трещины в этом сечении. Функциональная зависимость траектории наклонной трещины от длины и высоты балки позволяет проинтегрировать функцию напряжений по длине трещины и вычислить значения равнодействующих сил зацепления и величину нагельного эффекта в продольной растянутой арматуре. 15 Градостроительство и архитектура | 2017 | Т. 7, № 3 А.А. Суворов, В.Б. Филатов Алгоритм поиска координат траектории наклонной трещины по методике НДМ в среде компьютерной алгебры MathCAD. Основными результатами расчета нормального сечения с использованием алгоритма НДМ [11, 12] являются следующие параметры НДС: нормальные и касательные напряжения σ(Lc,i), τ(Lc,i), σLoc(Lc,i), равнодействующие усилия в сжатой Nb, Qb и растянутой Nbt, Qbt зонах бетона, определенные с учетом прогноза ползучести во времени; кроме того, определяются относительные деформации продольной арматуры εs и элементарных площадок бетонного сечения εb, Г(i), плечо внутренней пары сил в сечении Zs, высота сжатой зоны бетона Хb, координата вершины нормальной трещины и ее высота Xnorm, координата положения вершины наклонной трещины по высоте сжатой зоны бетона. Расчетный алгоритм реализован для однопролетной балки со следующими характеристиками: L×h×b - 2,0×0,45×0,2 (м); класс бетона - В40, продольное армирование в растянутой зоне - два стержня диаметром 28 мм класса А500С. Балка загружена сосредоточенной силой в середине пролета. Визуализация результатов расчета представлена на рис. 2-4, где i=0,1 мм…h/n - массив элементарных площадок сечения; n - количество элементарных площадок, устанавливаемых пользователем; h - координата крайнего сжатого волокна по высоте сечения; Lc - координата расчетного нормального сечения (сечение 1-1) по длине балки. На рис. 2 представлены распределения указанных напряжений и деформаций по высоте сечения. На участках, где деформации растяжения бетона достигли предельных значений, образуется нормальная трещина, в которой нормальные и касательные напряжения снижаются до нуля. Уточним, что величина и характер распределения касательных напряжений рассчитаны с учетом влияния на них нормальных и локальных напряжений. Заметим, что наличие локальных напряжений существенно меняет картину НДС расчетного нормального сечения, а именно увеличивает значения предельных деформаций сдвига и, следовательно, несущую способность сжатой зоны на сдвиг. Поскольку значения деформаций ε(i) вычисляются для всех элементарных площадок i по высоте балки, это позволяет определить деформации (напряжения) в растянутой и сжатой арматуре сечения балки. Деформации сдвига по высоте балки даны только для нетреснувшей части бетонного сечения. На рис. 3 показана уточненная нелинейная функция кривизны на последней итерации расчета по методике НДМ. Функция кривизны R(h,L) позволяет определить интенсивность и характер распределения нормальных напряжений σbx(h,L) на любой элементарной площадке i по высоте сечения с учетом влияния на НДС балки всех трещин по ее длине. Использование алгоритма трещинообразования по методике Eurocode 2 с функцией кривизны R(h,L) позволяет сформировать на дальнейших этапах расче- Рис. 1. Расчетная модель нормального и наклонного сечений Рис. 2. Эпюры нормальных ε(i), сдвиговых Г(i) деформаций, нормальных σ(Lc,i), касательных τ(Lc,i), локальных σLoc(Lc,i) напряжений в расчетном нормальном сечении Рис. 3. Эпюры нормальных сжимающих напряжений σbx(h,L) и кривизны R(h,L) в крайнем сжатом волокне, главных растягивающих напряжений σN1(х), предельных напряжений растяжения σN2(х)=Rbt, нормальных растягивающих напряжений σbx(x) по длине элемента Градостроительство и архитектура | 2017 | Т. 7, № 3 16 СТРОИТЕЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ, ЗДАНИЯ И СООРУЖЕНИЯ та деформированную схему элемента с зонами трещин и блоков между ними. Указанные выше параметры, полученные при расчете нормального сечения, используются в расчетной модели и аналитическом описании НДС наклонного сечения. В расчете принято допущение, что искомая наклонная трещина совпадает с наиболее напряженным наклонным сечением и имеет траекторию прямой. Началом данной прямой является точка пересечения функции σN2(х)=Rbt и функции главных растягивающих напряжений σN1(х) в крайнем растянутом волокне бетона сечения при одноосном напряжённом состоянии [13, 14]. Также рис.3 содержит три графика функций: кроме двух вышеперечисленных σN1(х) и σN2(х)=Rbt, присутствует график распределения нормальных напряжений по длине элемента σbx(x). Он необходим для оценки влияния касательных напряжений на НДС сечения в составе главных напряжений. Алгоритм поиска нулей функций σN1(х) и σN2(х) представлен в табл. 1. Дальнейший поиск точек прямой, определяющей положение наклонной трещины, производится на основе анализа функций напряженного состояния элемента [15]. Заметим, что вершина наклонной трещины, например, для однопролетной шарнирно опёртой балки, загруженной сосредоточенной силой с пролетом среза L/2, будет лежать в сечении с наименьшей несущей способностью на сдвиг Δ (рис. 4). При этом координата вершины наклонной трещины по высоте сечения находится в точке максимума эпюры касательных напряжений в сжатой зоне бетона (рис. 5). Алгоритм поиска вершины наклонной трещины по высоте сечения представлен в табл. 2. Таким образом, основная расчетная модель наклонного сечения сформирована двумя блоками над и под вершиной наклонной трещины (см. рис. 1). Более точно дать описание образования наклонной трещины можно на основе анализа внутренних усилий (напряжений), действующих на элементарных площадках бетонного сечения при двухосном напряженном состоянии. Результирующий график, показывающий расположение наклонных и нормальных трещин на боковой грани балки, представлен на рис. 6. Промежуточные значения координат траектории наклонной трещины найдены линейной интерполяцией графиков [16, 17], описанных выше. Функции, которые формируют данный график (рис. 6), в дальнейшем используются для определения целевых параметров расчета прочности наклонного сечения: сил зацепления по берегам наклонной трещины, нагельного эффекта от сопротивления изгибу продольной арматуры в наклонной трещине [18-20]. Использование разработанной методики расчета по нелинейной деформационной модели для определения положения наклонной трещины в зоне поперечного изгиба балки дает возможность вычислить прочность балки по наклонному сечению в нелинейного постановке, отражая действительное НДС конструкции. Сходимость результатов опреде- Рис. 4. К определению положения вершины наклонной трещины по длине элемента: Qu=Qb+Qsw - предельная несущая способность сечения на срез; Qb - несущая способность бетона на срез; Qsw - несущая способность поперечной арматуры на срез; c=c0 - проекция наклонной трещины; Q, Qmax - действующая и максимальная поперечные силы; F- действующая нагрузка; h0 - рабочая высота сечения Рис. 5. Эпюра нормальных напряжений σbx(i) в сжатой зоне бетона с положением вершины наклонной трещины ht Рис. 6. График расположения нормальных и наклонных трещин по высоте h и длине L балки 17 Градостроительство и архитектура | 2017 | Т. 7, № 3 А.А. Суворов, В.Б. Филатов Таблица 2 Алгоритм определения положения вершины наклонной трещины по высоте расчетного нормального сечения элемента (язык среды MathCAD) Формула Описание Функция распределения касательных напряжений в расчетном сечении вершины наклонной трещины Заголовок блока поиска нулей функций Начальное приближение в окрестности поиска координаты Оператор поиска координаты экстремума функции (вершины наклонной трещины) Максимальное значение функции касательного напряжения Значение нормального напряжения в вершине наклонной трещины Функция распределения главных растягивающих напряжений по длине элемента Блок программируемого выбора значения вершины наклонной трещины при условии ее образования Таблица 1 Алгоритм определения положения начала наклонной трещины по длине элемента (язык среды MathCAD) Формула Описание Определение главных растягивающих напряжений Определение нормальных напряжений по длине балки в растянутой зоне бетона Определение функции-прямой предельной растяжимости бетона в растянутой зоне Заголовок блока поиска нулей функций Начальное приближение в окрестности поиска нулей функции Разрешающее уравнение Оператор поиска нуля функций σN1(х) и σN2(х) (точки начала наклонной трещины) Оператор поиска экстремума функции главных растягивающих напряжений Определение проекции наклонной трещины Определение угла наклона наклонной трещины, град ления координат наклонной трещины по данному расчету и по эксперименту составила не менее 92 % . Полученная траектория наклонной трещины, а именно ее проекция, точка начала роста и вершина, угол наклона, позволили полностью переработать несколько эмпирических зависимостей из нормативной методики расчета наклонного сечения. Совершенствование и оптимизация разработанного алгоритма реализации НДМ позволит исследовать характер распределения внутренних усилий в зоне поперечного изгиба железобетонных элементов и определить их количественные значения.

About the authors

Alexandr A. SUVOROV

Samara State Technical University

Email: vestniksgasu@yandex.ru

Valery B. FILATOV

Samara State Technical University

Email: vestniksgasu@yandex.ru

References

Supplementary files