DYNAMIC CALCULATION OF PRISMATIC SYSTEMS TAKING INTO ACCOUNT INTERNAL FRICTION

Full Text

Такое важное свойство материала конструкций, как внутреннее сопротивление (трение) существенно влияет на напряженно-деформированное состояние сооружения при динамическом нагружении и становится доминирующим в околорезонансных и резонансных зонах. Используя алгоритм расчета призматических оболочек с применением топологических матриц, предложено решение стационарных и нестационарных задач динамики с учетом внутреннего трения. Одной из наиболее экспериментально обоснованных является комплексная теория внутреннего трения Е.С. Соро кина [1]. Однако применение этой теории возможно лишь в случае гармониче ских воздействий и не всегда обеспечивает выполнение принципа причин ности. Указанные противоречия могут быть устранены путем введения мо дели частотно-независимого упруговязкого сопротивления по методике А.И. Цейтлина [2]. В предлагаемой работе показана возможность включения этой теории в расчетные модели, представляющие собой составные конструкции с рас пределенными параметрами. Дифференциальные уравнения движения системы включают параметры комплексной жесткости, зависящие в общем случае от частоты изменения внешнего воздействия, что усложняет решение задачи. Однако известно, что диссипативные силы в слабодемпфированных системах влияют на амплитуду колебаний лишь в весьма узком диапазоне частот в резонансной области, а на частоту свобод ных колебаний практически не воздействуют. В связи с этим представляется целе сообразным учитывать внутреннее трение при частотах возмущения, совпадающих на каждом тоне с частотами свободных колебаний конструкции. Такой подход приводит в процессе разделения переменных к дифференциальному уравнению движения линейного осциллятора с частотно-независимым упруговязким сопротивлением, для которого декремент коле баний системы оказывается независимым от частот ее свободных колебаний. В статье исследуются свободные колебания призматических систем с распределенными жесткостными и инерционными параметрами без применения кинематических и статических гипотез полумоментной теории. При этом алгоритм расчета включает элементы теории графов, что обеспечивает формирование условий сопряжения прямоугольных пластин призматической оболочки в простой и удобной форме. Аналогичный подход может быть использован для решения нестационарных задач динамики составных конструкций, как это сделано в работе [3] применительно к плоским рамам. Однако в отме- 25 Градостроительство и архитектура | 2017 | Т. 7, № 3 Е.С. Вронская ченных расчетных моделях не учитывались силы внутреннего сопротивления, которые, как известно, играют доминирующую роль в условиях резонанса. Одной из наиболее обоснованных является модель частотно-независимого упруговязкого сопротивления [1], позволяющая учитывать трение материала конструкции в процессе ее нестационарного динамического нагружения. Различные теории внутреннего трения применялись как для дискретных расчетных схем, так и для тел с бесконечным числом степеней свободы. В последнем случае исследовались отдельные тела канонической формы, математические модели которых содержат несвязанные [4] или связанные [5] дифференциальные уравнения движения. В настоящей работе предложено замкнутое решение, позволяющее исследовать свободные и вынужденные колебания составных призматических оболочек различной конфигурации с распределенными жесткостными и инерционными параметрами на основе расчетных моделей, образованных без применения кинематических и статических гипотез полумоментной теории В.З. Власова [6]. Эффективность предлагаемого решения обеспечивается значительно меньшим, по сравнению с численными методами, порядком разрешающей системы уравнений и высокой точностью полученных результатов. Рассмотрим вынужденные нестационарные колебания призматической оболочки из однородного вязкоупругого материала. В работе показана возможность включения модели частотно-независимого упруговязкого сопротивления в методику нестационарного динамического расчета составных призматических систем с распределенными параметрами. Рассмотрим складчатую конструкцию, образованную путем жесткого соединения тонких прямоугольных пластин и нагруженную продольно-поперечной динамической нагрузкой. Призматическая оболочка длиной L имеет шарнирное опирание торцевых сечений [4] и содержит п граней и t ребер. Математическая формулировка задачи включает дифференциальные уравнения движения е-го элемента системы: (1) и нулевые начальные условия: . (2) Здесь модуль упругости Е заменили комплексным модулем упругости Е*, зависящим от коэффициента потерь ε: где . (3) В уравнении (1) - матрица дифференциальных операторов, соответствующих мембранному и изгибаемому состоянию пластины; , - соответственно диагональная матрица инерционных коэффициентов и вектор-функция динамической нагрузки. Соотношения (1) содержат два уравнения движения е-й пластины в своей плоскости (плоская задача теории упругости) и одно уравнение ее поперечных колебаний (моментная техническая теория Кирхгоффа-Лява). Неизвестными являются функции продольных перемещений элемента Uе, Vе и его прогибов We, объединенных вектор-функцией . (4) Граничные условия задачи содержат уравнения равновесия в каждом k-м продольном ребре сооружения (5) и условия совместности перемещений соединяемых пластин (6) . , (5) . (6) В этих равенствах вектор-функции Dе, Sе - соответственно перемещения и усилия в срединной плоскости элемента: . (7) Квадратная матрица направляющих косинусов he обеспечивает преобразование векторов из локальных в глобальную систему координат в сечениях х=0, (bek= 1, ξ= 0) и x=l (bek= -1, ξ= 1). Как показано в работе [7], общее число условий (5), (6) составляет 8n. Наличие в этих соотношениях коэффициентов , , представляющих элементы матриц инциденций ориентированных графов В и В’, обеспечивает математически примыкание к k-й узловой линии только тех элементов, которые соответствуют заданной конфигурации системы. При этом знаки плюс и минус в формуле (6) относятся к первому и второму ненулевым элементам матрицы В’. Уравнения совместности перемещений (6) записаны в форме попарных равенств перемещений всех элементов, примыкающих к k-му ребру оболочки. Такой порядок составления условий (6) достигается соответствую щей процедурой формирования матрицы В’, содержащей в каждой строке не более двух ненулевых элементов [7]. Соотношения (1) - (7), в отличие от аналогичной задачи, приве денной в работе [7], включают нестационарную нагрузку и содержат комплексные величины, обозначенные индексом со звездой. Такой подход в соответствии с предложением А. И. Цейтлина [1, 8] предполагает введение в расчетную модель комплексного модуля упругости Е*, приводящего к зависимостям ( , , ) 0, ( 1,2,..., ) 1 b h S l y t k m e e n e ek e

About the authors

Elena S. VRONSKAYA

Samara State Technical University

Email: vestniksgasu@yandex.ru

References

Supplementary files