ADDITIONAL SOUGHT-FOR FUNCTIONS AND LOCAL COORDINATE SYSTEMS APPLIED IN THE HEAT CONDUCTIVITY PROBLEMS FOR MULTILAYERED BUILDING STRUCTURES

Full Text

Трудности получения решений задач теплопроводности для многослойных конструкций заключаются в необходимости выполнения условий сопряжения между слоями, задаваемых в виде равенства температур и тепловых потоков. Классические аналитические методы в данном случае приводят к решению систем многопараметрических трансцендентных уравнений относительно собственных чисел краевой задачи, которая может быть решена лишь численными методами [1 - 5]. В работе [3] на основе использования асимметричной единичной функции (функции Хевисайда) многослойная конструкция приводится к однослойной с разрывными (кусочно-однородными) свойствами среды. Процесс получения решения задачи упрощается ввиду отсутствия необходимости выполнения условий сопряжения, которые в данном случае включаются в дифференциальное уравнение и оказываются выполненными в процессе нахождения его решения. Однако такие решения, даже при незначительном числе приближений (два-три приближения) выражаются сложными функциональными рядами. Получение решений при большем числе приближений затруднительно, и, следовательно, возникает проблема недостаточной точности. В работе [4] применительно к решению задач теплопроводности для многослойных конструкций приводится метод, основанный на совместном использовании классических точных аналитических методов (Фурье, интегральных преобразований и др.) и приближенных методов (Л.В. Канторовича, Бубнова - Галеркина и др.). В случаях, когда удается построить системы координатных функций, точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения, данный метод приводит к необходимости решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка относительно неизвестных функций времени. При большом числе приближений процесс получения решения в данном случае существенно усложняется, а сами решения выражаются громоздкими математическими выражениям. В настоящей работе с целью упрощения процесса получения решений и окончательных выражений для них используется интегральный метод теплового баланса с определением дополнительных искомых функций и дополнительных граничных условий. Основную его идею рассмотрим на примере решения следующей краевой задачи для двухслойной пластины, представленной в локальной (различ- DOI: 10.17673/Vestnik.2018.03.7 Градостроительство и архитектура | 2018 | Т. 8, № 3 30 ТЕПЛОСНАБЖЕНИЕ, ВЕНТИЛЯЦИЯ, КОНДИЦИОНИРОВАНИЕ ВОЗДУХА, ГАЗОСНАБЖЕНИЕ И ОСВЕЩЕНИЕ ной для каждого отдельного слоя) системе координат (рис. 1): (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) где , (i = 1, 2); ; ; ; ; ;  - безразмерная температура; F0 - число Фурье (безразмерное время); 1, 2 - безразмерные координаты первого и второго слоя; r1, r2 - безразмерные толщины слоев; Ti, xi, (i = 1, 2) - температура и координата первого и второго слоя; t - время; i, ai, i, (i = 1, 2) - толщины, коэффициенты температуропроводности и теплопроводности слоев; T0 - начальная температура; Tст - температура стенки при x2 = 2;  = 1  2 - суммарная толщина слоев. Введем дополнительную искомую функцию q(F0) = 1(0, F0), (9) характеризующую изменение температуры в точке 1 = 0 во времени. Решение задачи (1) - (8) соответственно для каждого слоя принимается в виде (10) (11) где bk(q) - неизвестные коэффициенты; 1k(1), 2k(2) - координатные функции соответственно для первого и второго слоя, которые находятся в таком виде, чтобы искомые решения (10) - (11) заранее точно удовлетворяли граничным условиям и условиям сопряжения в любом приближении. Формулы для координатных функций первого приближения принимаются в виде (12) (13) где A1k, B1k, B2k - неизвестные коэффициенты, определяемые из граничных условий (5), (8) и условий сопряжения (6), (7). Решение (10) с координатной функцией (12) точно удовлетворяет граничному условию (5), независимо от величины коэффициента A1k. Следовательно, для нахождения неизвестных коэффициентов A1k, B1k, B2k будем иметь условия (6) - (8). Подставляя (12), (13) в эти условия, получаем систему трех алгебраических линейных уравнений. Подставляя найденные из решения этой системы неизвестные коэффициенты A1k, B1k, B2k в соотношения (12), (13), получаем (14) (15) С учетом формул (14), (15) соотношения (10), (11) в любом приближении точно удовлетворяют граничным условиям (5), (8) и условиям сопряжения (6), (7). Неизвестные коэффициенты bk(q) рассчитываются из условия (9) и некоторых дополнительных граничных условий, определяемых таким образом, чтобы искомое решение вида (10) удовлетворяло уравнению (1) в граничной точке 1 = 0, а решение вида (11) - уравнению (2) в граничной точке 2 = r2. Общие формулы для дополнительных граничных условий имеют вид [3, 5]: (16) (17) (18) Для нахождения решения в первом приближении будем использовать условие (9) и дополнительные граничные условия, определяемые по формулам (17), (18) при i = 1. Отметим, что дополнительные граничные условия (16) решением (10) выполняются. Подставляя (10), (11), ограничиваясь тремя членами, в (9), (17), (18), для определения неизвестных коэффициентов bk(q), (k = 1, 2, 3) получаем систему трех алгебраических линейных уравнений. После определения из решения этой системы коэффициентов bk(q) соотношения (10), (11) принимают вид (19) (20) 1 a 2 a 2  1  1  2   0 1 0 x 2 x Рис. 1. Схема применения локальных систем координат для двухслойной пластины О. Ю. Курганова 31 Градостроительство и архитектура | 2018 | Т. 8, № 3 Потребуем, чтобы соотношения (19), (20) удовлетворяли не исходным уравнениям (1), (2), а некоторым осредненным по толщине соответствующего слоя уравнениям или интегралу теплового баланса вида (21) Подставляя (19), (20) в (21), находим (22) где K = r1r21(-420r1 6 r2 3 22r1 9 360r1 7 r2 4 490r15r2 4 300r12r2 7  165r2 9 672r14r2 5 ) r12r2 2 2(-98r1 3 r2 4 95r1 5 r2 2 105r1r2 6  40r17r2 320r12r2 5 112r14r2 3 240r27) 22(16r2 11 r1 11); L = a11r1 3 r2 3 (2100r2 3 1260r1 2 (r2 2r1)) 1680 a21r1r2 4 (r1 4 2r12r2 2 r2 6 )10a12(7r1 9   48r2 9  4220a11r14r2 5 ); M = 840r222(2a2r2 5  a1r1 3 (5r2 2 3r1 2 )). Интегрируя уравнение (22), получаем (23) где C1, C2 - постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий (3), (4). Составляя невязку начальных условий (3), (4) и требуя выполнения их ортогональности к координатным функциям 1k(1), 2k(2), (k = 1, 2), находим (24) Подставляя (19), (20) (с учетом (23)) в (24) и определяя интегралы, относительно C1 и C2 будем иметь систему двух алгебраических линейных уравнений. После их определения решение задачи (1) - (8) в первом приближении рассчитывается из (19), (20). Найдем решение конкретной задачи при следующих исходных данных: a1 = 12,510-6 м2/с; a2 = 610-6 м2/с; 1 = 45,24 Вт/(мК); 2 = 16,24 Вт/(мК); 1 = 0,002 м; 2 = 0,004 м. Анализ результатов расчетов по формулам (19), (20) (первое приближение) в сравнении с решением задачи (1) - (8) методом конечных разностей позволяет заключить, что в диапазоне 0,2 [1] F0 [1] их расхождение не превышает 4 %. Если положить 1 = 2, a1 = a2, то задача (1) - (8) сводится к однослойной. Соотношение (12) в данном случае приводится к виду (, F0) = 1,5exp(-2,5 F0). (25) Результаты расчетов по формуле (25) в диапазоне 0,1 [1] F0 [1] отличаются от точного решения [4] не более чем на 2,5 %. Для повышения точности решения необходимо увеличивать число членов ряда соотношений (10), (11). При получении решения во втором приближении для определения неизвестных коэффициентов bk(q) будем использовать условие (9) и дополнительные граничные условия, получаемые по формулам (17) (i = 1, 2), (18) при i = 2, 4. Следовательно, для определения коэффициентов bk(q), (k = 1,5) будем иметь систему пяти алгебраических линейных уравнений. Дальнейший процесс получения решения аналогичен приведенному выше. Расхождение решения во втором приближении с расчетом по методу конечных разностей составляет 5 %. В третьем приближении для определения неизвестных коэффициентов bk(q), (k = 1,7) будем иметь семь алгебраических линейных уравнений, получаемых из условия (9) и дополнительных граничных условий (17) (i = 1, 2, 3), (18) при i = 2, 4, 6. Расхождение с численным методом в диапазоне числа 0 0,1 0,2 0,3 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0  Fo 1,5 1,0 0,6 0,4 0,2 1 ξ 2 ξ 2  1  Рис. 2. Распределение температуры в двухслойной пластине: - по формулам (10), (11) в третьем приближении; - метод конечных разностей Градостроительство и архитектура | 2018 | Т. 8, № 3 32 ТЕПЛОСНАБЖЕНИЕ, ВЕНТИЛЯЦИЯ, КОНДИЦИОНИРОВАНИЕ ВОЗДУХА, ГАЗОСНАБЖЕНИЕ И ОСВЕЩЕНИЕ Фурье 0,2 [1] F0 [1] в данном случае снижается до 2 % (рис. 2). В случае, когда двухслойная пластина приведена к однослойной, т.е. 1 = 2, a1 = a2, то в диапазоне 0,1 [1] F0 [1] максимальное расхождение с точным решением [4] не превышает 1 %. Выводы. 1. Используя найденные в работе системы координатных функций, точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения, путем введения дополнительной искомой функции и дополнительных граничных условий в интегральном методе теплового баланса получено приближенное аналитическое решение нестационарной задачи теплопроводности для двухслойной пластины при симметричных граничных условиях первого рода. 2. С целью построения наиболее простого вида систем координатных функций, точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения, применяются локальные (различные для каждого слоя) системы координат. При их использовании координата в каждом слое изменяется от нуля до толщины соответствующего слоя, что позволяет существенно упростить как процесс построения координатных функций, так и окончательные выражения для них. 3. Дополнительная искомая функция характеризует изменение температуры во времени в центре симметрии двухслойной пластины. Ее использование в интегральном методе теплового баланса позволяет свести решение уравнения в частных производных к интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения. 4. Дополнительные граничные условия находятся в таком виде, чтобы их выполнение искомыми решениями было эквивалентно выполнению исходных дифференциальных уравнений в граничных точках. Показано, что выполнение уравнений в граничных точках приводит к их выполнению и внутри рассматриваемых областей с точностью, зависящей от числа приближений (числа дополнительных граничных условий). 5. Решение данной задачи может быть использовано для оценки температурного состояния многослойных строительных конструкций в условиях нестационарного нагрева или охлаждения.

About the authors

Ol’ga Yu. KURGANOVA

Samara State Technical University

Email: vestniksgasu@yandex.ru

References

Supplementary files