ON THE PROBLEM OF VISCOUS INCOMPRESSIBLE FLUID FLOW IN A FLAT CONICAL SLOTTED CHANNEL

Full Text

Как известно, плунжеру в обойме обычно ничто не препятствует перемещаться в радиальном направлении. При этом прецизионная пара может работать в условиях несоосности, т.е. при перекосе подвижных элементов. Поэтому с точки зрения эксплуатации и проектирования подвижных соединений систем гидроприводов актуальной задачей является определение гидродинамических параметров рабочей среды в щелевых зазорах. Найдем общее решение течения вязкой несжимаемой жидкости в плоском коническом щелевом канале [1-7]. Из уравнения неразрывности движения вязкой жидкости имеем (1) Для радиальной скорости движения жидкости в зазоре и изменения давления получим следующие уравнения: (2) (3) Заметим, что функции и в формулах (2) и (3) являются медленно меняющимися (почти постоянными) функциями радиуса в интервале . Путем рассуждений легко показать, что и на интервале относительно слабо уклоняются соответственно от . Поэтому вместо функций (2) и (3) приближенно запишем: (4) (5) Из выражений (4) и (5) видно, что продольный градиент давления пропорционален , а поперечный пропорционален . Поскольку , при то можно отбросить уравнение (5), взяв в расчет лишь единственное следствие из него: p = р(r), т.е. что давление зависит только от радиуса r и не зависит от угла . Иными словами, поперек зазора давление не меняется, оставаясь постоянным. Если же на концах канала перепад давления является заданной периодической функцией времени, то можно предположить, что Градостроительство и архитектура | 2018 | Т. 8, № 3 52 ВОДОСНАБЖЕНИЕ, КАНАЛИЗАЦИЯ, СТРОИТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОХРАНЫ ВОДНЫХ РЕСУРСОВ (6) где f(t) - заданная периодическая функция времени. Тогда p  p0 f(t). (7) Неоднородное уравнение (4) будем решать относительно : (8) где (9) или в безразмерном виде: (10) (11) Граничные условия для скорости имеют следующий вид: (12) (13) Таким образом, необходимо решить уравнение (10) с граничными условиями (12) и (13). Решение будем искать в виде (14) где - безразмерное время. В силу вещественности . Тогда разложим в ряд Фурье функции и : (15) (16) Подставив (14)-(16) в краевую задачу (10), (12) и (13), в результате найдем (17) (18) (19) Далее необходимо определить частоту колебаний . Пусть две различные заданные частоты 1 и 2 относятся друг к другу как некоторые рациональные числа или m1  n2. Уравнениям (17) - (19) можно удовлетворить, если положить   m1  n2. (20) Тогда (21) В этом случае уравнения (17) - (19) примут вид: (22) (23) (24) Поскольку и - периодические функции времени , то суммирование по в (22) должно происходить по номерам, кратным n, а суммирование по l в (24) - по номерам, кратным m: (25) Тогда из (22) и (24) найдем (26) (27) Теперь от угла  необходимо перейти к поперечной координате S  R*. Учитывая, что R*  h, то уравнения (26), (27) принимают вид: (28) (29) Решение краевой задачи (28), (29) следует построить в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: при к  0 (30) при к  0 (31) Так как осциллирующая в своей плоскости наклонная верхняя стенка не имеет средней постоянной составляющей скорости, то следует считать, что v0  0. В этом случае решение при к  0 упрощается до выражения (32) Окончательно получим следующее приближенное решение гидродинамической задачи: (33) (34) (35) При этом изменение давления в зазоре подчиняется следующему периодическому закону: (36) Следует отметить, что первое слагаемое в уравнении (33) описывает стационарное напорное течение в канале с углом конусности . Е. А. Крестин 53 Градостроительство и архитектура | 2018 | Т. 8, № 3 На рис. 1 и 2 приведены графики распределения местных скоростей рабочей жидкости в щелевых зазорах при гармонических осцилляциях стенки и пульсациях давления при различной безразмерной частоте  24100 в случае  0. Эти графики построены на основании формул (33) - (35). Как видно из рис. 1 и 2, увеличение безразмерной частоты колебаний приводит к значительному отличию характера течения от квазистационарного. Так как в различных фазах колебаний действие сил давления и трения на различных расстояниях от стенки проявляется в разной степени, то и направление действия сил давления и трения также изменяется по высоте канала. Как следствие всего этого, и распределение скоростей по высоте канала носит достаточно сложный характер. Для нахождения причин, влияющих на распределение скоростей в каждый момент времени на динамику рабочей среды, должен проводиться анализ и сравнение всех факторов, влияющих на движение жидкости в щелевом канале при различной частоте колебания [8-14]. Выводы. Рассмотрено течение вязкой несжимаемой жидкости в плоском коническом щелевом зазоре. Для определения гидродинамических параметров при движении рабочей жидкости через конический щелевой зазор уравнения гидродинамики решены в форме Навье-Стокса методом малых возмущений. Общее решение получено в виде суммы Рис. 1. Распределение местных скоростей в зазоре от совместного колебания стенки и давления при безразмерной частоте  2 Рис. 2. Распределение местных скоростей в зазоре от совместного колебания стенки и давления при безразмерной частоте  100 Градостроительство и архитектура | 2018 | Т. 8, № 3 54 ВОДОСНАБЖЕНИЕ, КАНАЛИЗАЦИЯ, СТРОИТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОХРАНЫ ВОДНЫХ РЕСУРСОВ частных решений, причем первое слагаемое описывает стационарное напорное течение в конусном канале, а второе слагаемое вносит аддитивный вклад от пульсаций давления и осцилляций стенки.

About the authors

Evgeny A. KRESTIN

Samara State Technical University

Email: vestniksgasu@yandex.ru

References

Supplementary files