HYDRODYNAMIC CALCULATION OF CONTACTLESS SEALS WITH PLANE SLOTS IN DRIVES OF ELECTRIC POWER SYSTEMS

Full Text

Бесконтактные уплотнения в виде плоских щелей используются в гидравлических системах, например в распределительных устройствах гидроагрегатов, а также в насосах Градостроительство и архитектура | 2021 | Т. 11, № 2 172 ПРОМЫШЛЕННАЯ ТЕПЛОЭНЕРГЕТИКА и гидромоторах приводов электроэнергетических систем [1]. Щелевой зазор может иметь постоянную высоту, но может быть и конусным. Конусность щели обычно является следствием несовершенства изготовления и неравномерного износа деталей при эксплуатации. Расход жидкости через конусную щель можно определить по формуле (1) в которой за величину зазора принимают некоторую среднюю величину, определяемую соотношением hср = (h1 + h2)/2, где h1 и h2 - соответственно величина зазора на входе и на выходе из щели. Опыты показали, что расчет уплотнений по hср соответствует для конусных зазоров с небольшими углами конусности, не превышающими угол 0°20'. При больших значениях угла конусности расчет утечки по hcp оказывается существенно завышенным, если щель расширяется, и заниженным, если щель сужается. Причем расхождения возрастают по мере увеличения угла конусности. Так, например, у расширяющегося в направлении утечки зазора с углом конусности порядка 2° фактический расход будет меньше расчетного по hср в 8-10 раз. Рассмотрим движение жидкости в плоской конусной щели, образованной двумя непроницаемыми стенками (рис. 1). Нижняя стенка неограниченной длины перемещается с постоянной скоростью ±ϑ. Необходимо определить закономерность распределения давления и скорости потока в зазоре плоской конусной щели, а также получить формулы для расхода (утечки) и сил трения, действующих на стенки, образующие щелевой зазор. Движение рабочей жидкости в зазоре обусловлено действием градиента давления и силы вязкого трения на подвижной стенке. В прямоугольной системе координат ось Ох направим по течению, совместив её с одной из стенок зазора, ось Оy - вертикально, а ось Oz - перпендикулярно потоку (см. рис. 1). Введем обозначения: W, l - ширина и длина щели; ϑx, ϑy, ϑz - проекция скорости потока на соответствующие оси координат; h(x) - переменный зазор; h0, hi, p0, p1 - соответственно размеры зазора и давление жидкости на входе и выходе из щели; Δp = p0 - p1 - перепад давления; p- = p/Δp, p- 0 = p0/Δp, p- 1 = p1/Δp - относительная величина давления по концам зазора; tgα = m = (h1 - h0)/l - конусность щели; k = (h1 - h0)/h0 - некоторый параметр, определяющий конусность щели и который с конусностью m связан соотношением (2) Направление конусности по течению жидкости определяется знаком параметров k и m. Для расширяющихся щелей m > 0 и k > 0 для сужающихся - m < 0 и k < 0. Значение параметра k может меняться в пределах -1 ≤ k ≤ ∞. При k = -1 границы сужающейся щели смыкаются и течение жидкости прекращается, а при k = ∞ имеет место течение жидкости как через отверстие в тонкой стенке. Движение жидкости в щели предполагаем изотермическим, ламинарным и установившимся, а жидкость несжимаемой с постоянной вязкостью. Будем считать, что размер щели, а также очистка жидкости от частиц загрязнений таковы, что облитерация каналов отсутствует. Решение будем искать для малых углов конусности и небольших зазоров. Длина и ширина канала много больше высоты зазора, т. е. l >> W и l >> h, причем размеры зазора не изменяются от действия перепада давления. Для определения искомых закономерностей воспользуемся приближенными уравнениями Навье-Стокса и неразрывности потока, записанными в виде [2]: (3) Граничными условиями для скоростей являются равенства скорости частиц жид- Рис. 1. Схема плоской конусной щели Е. А. Крестин, Г. В. Серебряков 173 Градостроительство и архитектура | 2021 | Т. 11, № 2 кости и поверхностей, ограничивающих поток жидкости. При у = 0, ϑx = ±U, ϑy = 0, при , ϑx = 0, ϑy = 0. Граничные условия для давлений : при x = 0, p = p0 при x = l, p = pl. Проинтегрировав первое уравнение (3) дважды по у, получим значение скорости в виде функции Определим произвольные функции A1(x), A2(x) из значений скоростей на границах. В результате закономерность распределения скорости по зазору приобретает вид: (4) Для определения p(x) обратимся к уравнению неразрывности (3). Интегрируя это уравнение по у в пределах h1(x) ≤ y ≤ h2(x) получим (5) где h - переменный зазор, равный (6) Здесь x- = x/l, x- = 0 - на входе в щель, x- = 1 - на выходе из щели. Определим закономерность изменения давления в щелевых зазорах. Эту закономерность можно получить, интегрируя уравнение (5). Используем граничные условия для случая, когда x′ = 0, то p(x′) = p0. Опуская элементарные выкладки для определения постоянных интегрирования C1 и C2 получим (7) где Анализ работы гидравлических систем показал, что в бесконтактных уплотнениях, образованных щелевыми зазорами, при рабочих давлении и скоростях передвижения стенок величина безразмерного параметра qϑ может изменяться в следующем диапазоне: qϑ = ±10. Рассмотрим несколько частных случаев течения рабочей жидкости в зазорах. 1. Пусть щелевой зазор образован параллельными стенками (h = const, k = 0), причем одна из стенок канала движется со скоростью ϑст ≠ 0, а рабочая жидкость находится под действием перепада давления, т. е. Δp ≠ 0. В этом случае закономерность изменения давления (7) запишется в виде соотношений: (8) Из (8) следует, что изменение давления в щели происходит по линейному закону, т. е. давление изменяется от p0, которое подводится к щели, до давления p1 - на выходе из зазора, причем независимо от того, движется стенка щелевого зазора или нет. Величина давления в произвольной точке щели зависит лишь от давления p0 и p1 и относительной координаты точки x- = x/l и не зависит от размера самого зазора h. 2. Рассмотрим фрикционное течение. Щелевой зазор образован параллельными стенками h = const. Одна из стенок канала движется со скоростью ϑст ≠ 0 однако в зазоре отсутствует напорное течение, т. е. Δp = p0 - p1 = 0. В этом случае давление в любом сечении зазора бесконтактного уплотнения равно давлению на границах канала p(x) = p0 = p1. 3. Рассмотрим конусную щель k ≠ 0, образованную неподвижными стенками ϑст = 0, qϑ = 0, а течение жидкости происходит под действием перепада давления. Подставив эти заданные значения в формулу (7), получим изменение давления в виде: (9) Из (9) следует, что давление вдоль щели зависит не только от p1, p0, x-, но и от размера входного зазора h0 и величины конусности k. На рис. 2 представлена графическая зависимость изменения относительной величины давления p-(x-, k-) = p/Δp вдоль щели. В расчете принято: давление жидкости у входа в канал p = p0, на выходе из канала p = p1 = 0, т. е. Δp = p0 длина щели l = 10 мм, входной зазор h0 = 20 мкм. Изменение конусности щели происходило вследствие изменения выходного зазора h1 = 1..120 мкм. Значение m = tgα = 0,01 соответствует углу α = 0°35’ и конусности k = 5. При m < 0 (сужающиеся щели, рис. 2, б) изменение давления в щели выражается выпуклыми кривыми, а при m > 0 (расширяющейся щели, рис. 2, а) - вогнутыми. Границей раздела этих кривых является прямая линия, полученная для плоскопараллельного канала. Из графика следует, что чем больше конусность при неизменном входном зазоре, тем значительнее проявляется отклонение изменения давления от прямолинейной зависимости. При k = -1 верхняя и нижняя границы щели смыкаются и тогда давление в любой точке ще- Градостроительство и архитектура | 2021 | Т. 11, № 2 174 ПРОМЫШЛЕННАЯ ТЕПЛОЭНЕРГЕТИКА левого зазора становится равным подводимому давлению. 4. Рассмотрим безнапорное течение в конусной щели с подвижной стенкой (Δp = 0, p0 = p1, ϑст ≠ 0, k = 0). При указанных обстоятельствах закономерность изменения давления в щелевом зазоре запишется в виде [3]: (10) Приведем зависимость (10) к безразмерному виду, для чего поделим и левую, и правую части на давление p0: (11) где - безразмерный параметр; На рис. 3 приведены расчётные кривые изменения относительного давления p-0 = f(x-) в конусных щелях с подвижной стенкой. При движении стенки в направлении уменьшения зазора (рис. 3, а) расчеты выполняли для qϑ0 = 5 = const и трех значений параметров конусности k = 1,0, 2,0 и 10 [4-7]. При движении стенки в сторону увеличивающегося зазора (рис. 3, б) значение конусности было неизменным k = 1, но переменным был параметр qϑ0 что достигалось изменением скорости движения стенки ϑст. Для обоих случаев течения характерно наличие экстремума. При движении стенки щели в сторону меньшего зазора давление внутри щели сначала увеличивалось, достигая максимума, а затем уменьшалось до p0. В этом случае в щелевом зазоре возникало избыточное давление, создающее поддерживающую силу. Формула (10) показывает, что малый зазор h0 позволяет получить довольно высокое давление в щелевом канале. При движении нижней стенки в направлении увеличивающегося зазора (см. рис. 3, б) давление внутри щели вначале понижается, а затем возрастает до p0. Координату точки экстремума давления можно определить, пользуясь известным приемом. В точке экстремума производная dp/dx = 0. Используя (10), получим: (12) Теоретически получается, что при движении нижней стенки щели в направлении увеличивающегося зазора давление внутри щелевого зазора, при некоторых условиях, может достичь полного вакуума. Зависимость между скоростью движения стенки ϑст.кр, параметром конусности k, длиной щели l, вязкостью v и начальным давлением p0, при которых образуется вакуум, можно определить, если в уравнении (10) положить p = 0, x = l/(2 + k): (13) Рис. 2. График зависимости p- = f(x-, k) в конусных щелях при напорном течении Δp ≠ 0, p1 = 0, vст = 0, h0 = const, h1 = var: а - щель расширяющаяся; б - щель сужающаяся а б Е. А. Крестин, Г. В. Серебряков 175 Градостроительство и архитектура | 2021 | Т. 11, № 2 В реальных условиях давление в щели никогда не достигает нуля, так как оно ограничивается объемной прочностью жидкости. В гидравлических расчетах обычно считают, что наименьшее давление, которое может быть в жидкости, равно или близко к давлению ее насыщенных паров при заданной температуре. Например, при работе подшипника скольжения жидкость в тонком слое зазора нагревается, что снижает ее вязкость и повышает давление насыщенных паров [8, 9]. 5. Рассмотрим движение жидкости в конусных щелях, которое происходит под действием суммарного эффекта, т. е. перепада давления Δp и фрикционного воздействия подвижной стенки канала. Изменение давления в щелевом зазоре также определяется выражением (7). Графическая иллюстрация изменения давления в щелевом канале показана на рис. 4. Расчеты выполнены для параметров конусности k = 5 и k = -0,5. Перепад давления по концам зазора принимали Δp = p0, что возможно только при p1 = 0. На графике (рис. 4, а) напорное течение жидкости, вызванное перепадом давления Δp, происходит в сторону увеличения зазора h. Давление вдоль щели быстро уменьшается, и в случае, когда стенка будет двигаться в направлении расширяющегося зазора, то давление может достичь нулевого значения. Если же течение жидкости происходит в сторону уменьшения зазора h, а также при совпаде- Рис. 3. График зависимости p-0 = f(x-, k) в конусных щелях при фрикционном течении v ≠ 0, Δp = 0, когда стенка движется в сторону меньшего зазора (а) и в сторону большего зазора (б) Рис. 4. Схема распределения давления в конусных щелях при совместном действии перепада давления Δp ≠ 0 и движении стенки со скоростью ±vст а б а б Градостроительство и архитектура | 2021 | Т. 11, № 2 176 ПРОМЫШЛЕННАЯ ТЕПЛОЭНЕРГЕТИКА нии направления движения стенки с потоком, интенсивность падения давления вдоль стенки существенно снижается. При достаточно большой скорости ϑст движения стенки давление внутри щели может даже возрастать и превосходить значение подводимого давления p0. Координату x- = x1/l соответствующую максимальному значению давления в сужающемся зазоре, найдем из условия dp/dx = 0: (14) Если же стенка движется против потока, обусловленного перепадом давления Δp, то при некоторой скорости ϑст давление внутри щели может уменьшиться до нуля. Выводы. 1. Исследованы бесконтактные уплотнения с плоскими щелевыми зазорами приводов электроэнергетических систем, используемые в распределительных устройствах гидроагрегатов, а также в насосах и гидромоторах. 2. Опыт эксплуатации гидравлических систем показывает, что расчет уплотнений по средней величине зазора приводит к занижению или завышению расхода утечек от эксплуатационного значения. При углах конусности более 0°20' расход утечки оказывается существенно завышенным, если щель расширяется, и заниженным, если щель сужается. Расхождения возрастают по мере увеличения угла конусности: у расширяющегося в направлении утечки зазора с углом конусности порядка 2° фактический расход будет меньше расчетного в 8-10 раз. 3. Определена закономерность распределения давления и скорости потока в зазоре плоской конусной щели, а также получены формулы для расхода (утечки) и сил трения, действующих на стенки конусной щели, образованной двумя непроницаемыми стенками. Нижняя стенка неограниченной длины перемещается с постоянной скоростью. 4. Для определения искомых закономерностей использовали приближенные уравнения Навье-Стокса и неразрывности потока с граничными условиями для скоростей и давлений по зазору. 5. Рассмотрено несколько частных случаев течения рабочей жидкости в различных зазорах: плоскопараллельный зазор с осциллирующей стенкой и при постоянном градиенте давления; зазор постоянной высоты при отсутствии давления и при движении одной из стенок канала; конусная щель, образованная неподвижными стенками, в которой течение жидкости происходит под действием перепада давления; конусная щель с подвижной стенкой при безнапорном течении; конусная щель, движение жидкости в которой происходит под действием суммарного эффекта, т. е. перепада давления и фрикционного воздействия подвижной стенки канала. Для всех указанных случаев найдено распределение давления по зазору с учетом плоскопараллельности и конусности. 6. Из построенных графиков следует, что чем больше конусность при неизменном входном зазоре, тем значительнее проявляется отклонения изменения давления от прямолинейной зависимости. 7. При осцилляции стенки в коническом зазоре и постоянном давлении характерно наличие экстремума. При движении стенки щели в сторону меньшего зазора давление внутри щели сначала увеличивалось, достигая максимума, а затем уменьшалось до p0. В этом случае в щелевом зазоре возникало избыточное давление, создающее поддерживающую силу, а величина давления становилась достаточно высокой. 8. При движении нижней стенки конусной щели в направлении увеличивающегося зазора давление внутри щелевого канала, при некоторых условиях, может достичь полного вакуума, величина которого ограничивается объемной прочностью жидкости и давлением насыщенных паров при заданной температуре. 9. Когда перепад давления и осцилляции стенки конусного зазора аддитивны, то при достаточно большой скорости движения стенки давление внутри щели может даже возрастать и превосходить значение подводимого давления.

About the authors

Evgeny A. KRESTIN

Samara State Technical University

Grigoriy V. SEREBRYAKOV

Samara State Technical University

References

Supplementary files