MATHEMATICAL MODELING OF WATER SUPPLY AND WATER DISPOSAL SYSTEMS

Full Text

Для всех систем главное условие - это их ограниченность. Безграничных систем нет, так как при этом утрачивается смысл их систематизации [1, с. 15]. Под системой имеется в виду совокупность взаимодействий и свойств материальных объектов и явлений в заданной или ограниченной области. Любая система характеризуется факторами, для описания которых используются переменные. Виды систем и их определения приведены в таблице [1, с. 30]. Понятие «моделирование» означает исследование объектов познания с помощью их моделей [2, с. 63]: - изучение и построение моделей явлений и предметов, реально существующих, среди которых неживые и живые системы, инженерные конструкции, разнообразные процессы (физические, химические, биологические, социальные); Виды систем Название системы Сущность системы Дискретная Переменные изменяются скачкообразно, отражают «внешние» факторы и мало зависят от времени Непрерывная Переменные изменяются постоянно, отражают «внутренние» изменения и зависят от времени Регулярная Совокупность закономерных свойств и взаимодействий Спорадическая Совокупность случайных свойств и взаимодействий Реальная Совокупность всех материальных факторов Абстрактная Совокупность функций факторов С. Ю. Теплых, Д. С. Бочков, М. В. Веселова 37 Градостроительство и архитектура | 2020 | Т. 10, № 2 - построение и изучение моделей конструируемых объектов. Единая классификация видов моделирования трудна в силу многозначности понятия «модель» в науке и технике. Ее можно построить с использованием разных оснований [3, с. 316]: - по характеру моделей; - по свойствам моделируемых объектов; - по сферам приложения моделирования. В связи с этим любая классификация методов моделирования будет неполной, при этом терминология в данной области опирается не столько на «строгие» правила, сколько на языковые, научные и практические традиции. И чаще всего определяется в рамках конкретного контекста и вне его никакого общепринятого значения не имеет. Моделирование является формой отражения действительности. Разработанная модель полезна только в случае, когда она достаточно соответствует реальной системе. Чем совершеннее модель, тем ближе она к реальности [1, с. 16]. Моделирование используется для изучения реальных систем. В области водоснабжения и канализации под моделированием понимается моделирование сред, происходящих процессов, инженерных сооружений и оборудования на моделях. Модель отличается от объектов моделирования своим масштабом или свойствами. В первом случае мы имеем реальные модели, во втором - мнимые модели. Модели в отличие от реальных систем имеют способность воспроизводить их состояние как в разных условиях, так и во времени. В результате открываются большие возможности в получении знаний о реальных системах [4, с. 259]. Главной целью моделирования является сокращение времени и затрат на то, чтобы получить достоверную информацию об объекте изучения. Что касается систем водоснабжения и канализации, то к практическим задачам, которые решаются методами моделирования, относятся следующие [5, с.102]: - проведение экспертных оценок действующих систем водоснабжения и канализации ; - выполнение прогноза работы систем в новых условиях эксплуатации; - управление работой систем водоснабжения и водоотведения и технологическими процессами, осуществляемыми в них; - выполнение инженерно-технологического конструирования новых водопроводных и канализационных сооружений; - проведение научного изучения водопроводных и водоотводящих систем и технологических процессов; - осуществление поиска оптимальных технико-экономических решений. Различают следующие виды моделирования. Предметным называется моделирование, когда исследование проводится на модели, которая воспроизводит основные физические, геометрические, динамические и функциональные характеристики «оригинала». Если модель и натура имеют одинаковую физическую природу, то это физическое моделирование. Знаковое моделирование требует применения схем, графиков, чертежей, графов, формул, слов и предложений. К знаковому моделированию принадлежит математическое или логико-математическое моделирование, осуществляющееся средствами языка математики и логики. Современная форма реализации математического моделирования - моделирование с использованием цифровых электронных вычислительных машин [6, с. 258]. Для решения технологических и теоретических задач разрабатываются модели. Последовательность их создания приведена на рис 1. При математическом моделировании всегда стоит вопрос о практической применимости модели. Без ответа на данный вопрос задача о моделировании систем водоснабжения и водоотведения превратится в самоцель, что в конечном итоге поставит под сомнение прагматическую ценность всего выполняемого системного анализа [7, с. 87]. 1. Постановка задачи 2. Анализ теоретических основ 3. Построение математической модели 4. Алгоритмизация математической модели 5. Параметрическая идентификация модели 6. Проверка адекватности математической модели 7. Моделирование системы 8. Анализ полученной информации Рис. 1. Последовательность создания математической модели [1, с. 25] Градостроительство и архитектура | 2020 | Т. 10, № 2 38 ВОДОСНАБЖЕНИЕ, КАНАЛИЗАЦИЯ, СТРОИТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОХРАНЫ ВОДНЫХ РЕСУРСОВ Отбор варианта проектного решения связан с оценкой его эффективности. Это же относится и к выбору режима эксплуатации системы или блока. Влияние изменения внешних условий может оцениваться по зависимости от времени отклика системы или блока. Этим условиям отвечает детерминированная математическая модель [8, с. 36]. Работа с имитатором позволяет выбирать оптимальный режим эксплуатации или оптимальную конструкцию системы. Эксперименты с самим технологическим комплексом или его уменьшенной моделью экономически не оправданны. На их выполнение требуются значительные затраты времени. Процесс алгоритмизации математической модели приведен на рис. 2. Чаще всего сложность или простота математической модели связаны с тем, сколько в нее входит параметров, которые учитывают особенности объекта и отличают его от других объектов [1]. Современные пути к повышению эффективности систем водоснабжения и канализации базируются на конструкции математических моделей сетей, которые дают возможность производить расчеты в статических и динамических режимах. Расчеты всегда связаны с составлением и решением системы дифференциальных и алгебраических уравнений. Также их целесообразно решать численными методами [3, с. 84]. Если проводятся расчеты крупных промышленных систем водоснабжения, то наблюдается ограниченный объем информации по детализации элементов распределительных сетей и потребителей, которая была бы доступна для практического использования. Данной особенностью вызвана нужда в применении специальных способов макромоделирования, не требующих чрезмерной детализации характеристик сети, с достаточной для практического применения точностью [3, с. 125]. В фундаменте построения макромодели системы водоснабжения использованы следующие принципы [12, с. 29]: - сетевые районы, которые имеют сложную схему сетевых соединений, содержащие большое количество относительно маломощных потребителей, рассматриваются как единый эквивалентный потребитель; - потребители, подключенные напрямую к магистральной сети, рассматриваются как таковые; - при необходимости наиболее тщательного рассмотрения параметров гидравлических режимов внутри отдельных сетевых районов может быть выполнен переход на следующий уровень макромодели, которая отражает состояние потребителей и вновь выделенных сетевых районов внутри сетевого района. При этом объект, являющийся потребителем на верхнем уровне макромодели, выступает в качестве источника для сетевого района. Описанный выше подход позволяет строить тождественную математическую макромодель сложной распределенной производственной системы водоснабжения предприятия в условиях небольшого объема исходных данных. С учетом вышеизложенного подхода составление и решение гидравлических уравнений возможно осуществлять в среде моделирования и визуализации VisSim. Этот программный продукт имеет целый ряд возможностей, которые позволяют значительно упростить и ускорить процесс расчёта. Рис. 2. Процесс алгоритмизации математической модели [1, с. 29] Математическое описание модели Составление алгоритма Изложение программы на языке ЭВМ При выполнении алгоритмизации математической модели самым сложным является составление ее математического описания [9, с. 19]. Ни одна модель не способна отразить оригинал полностью и всесторонне. Чаще всего оказывается, что на практике целесообразно использовать менее «совершенную» модель, отражающую только отдельные черты оригинала и совсем не похожую на оригинал с других точек зрения. В ряде случаев разумно один оригинал моделировать при помощи разных моделей, которые не похожи одна на другую. Модели, которые записываются уравнениями или системами уравнений, являются наиболее сложными [10, с. 11]. Их сложность зависит от числа уравнений и типа уравнений, которые применяются. Дифференциальные уравнения решаются сложнее алгебраических, а уравнения в частных производных - сложнее обыкновенных дифференциальных уравнений. Заметные сложности наблюдаются при переходе от линейных уравнений к нелинейным. Системы линейных алгебраических или обыкновенных дифференциальных уравнений можно решить аналитически в общем виде, конечно если этих уравнений не слишком много. Наличие нелинейности осложняет процедуру решения [11, с. 120]. С. Ю. Теплых, Д. С. Бочков, М. В. Веселова 39 Градостроительство и архитектура | 2020 | Т. 10, № 2 Построение математических моделей систем водоотведения, рассматриваемых в работе, основывается на особенности водно-ресурсных систем, заключающейся в существовании сети с потоками в ней воды и примесей, особенно применительно для водоотведения. С этими потоками связаны зависимости, характеризующие условия и качество функционирования водно-ресурсных и водоотводящих систем [13]. Потоковое моделирование водно-ресурсных и водоотводящих систем естественным образом связано с рассматриваемой ситуацией, что позволяет наглядно и логически обоснованно представить проблему и формализовать ее в виде «прозрачной» модели. Потоковое представление оптимизационной задачи, в отличие от геометрической картины нахождения экстремумов функций, дает возможность «наблюдать» картину в пространстве любого конечного числа измерений. Наглядность потокового формализма помогает пользователю видеть структуру задачи, выделять вносимые в модель упрощения, вскрывать взаимосвязи моделируемой системы, оценивать и совершенствовать модель [14]. Наглядность описания и простота структуры допустимого множества задачи, которой описывается потоковая модель, помогает анализировать задачу и строить эффективные методы ее решения в виде последовательного преобразования потоков, что дает возможность исследовать и решать задачи значительно большей размерности и с более сложным целевым функционалом, чем экстремальные задачи общего вида. Решение задач линейного программирования, описанных как потоковые, не менее чем на два порядка более эффективно, чем решение тех же задач методами, не использующими потоковую структуру допустимого множества. Высокая эффективность потоковых задач позволяет использовать их как подзадачи в решении более общих задач, в которых потоковая составляющая является основной, но не единственной частью [15]. Потоковое моделирование проблемы обоснования параметров, режимов, гарантированных объемов и напоров, а также надежности сочетает традиционно используемое в водохозяйственном планировании для линейной схемы и формализма задач, постановка которых принадлежала Ф.Л. Хитчкоку и Л.В. Кантовичу (1941-1942). Потоковая интерпретация водно-ресурсных и водоотводящих систем укладывается в классическую схему транспортной задачи, соответствует пользованию без частичного возврата воды [16]. В моделях обоснования параметров, режимов, гарантированной отдачи водно-ресурсных и водоотводящих систем и ее надежности без явного учета качества воды присутствуют потоки одного типа. В данном случае развитие и выбор параметров и функционирование водно-ресурсных и водоотводящих систем, допускающих потоковое представление, описываются аналогичными моделями. Поэтому такие модели целесообразно рассматривать как представителей класса моделей с однородными потоками. Это дает возможность перенесения результатов, полученных в других потоковых системах, для выработки стратегий развития и тактики функционирования водно-ресурсных и водоотводящих систем. И наоборот, результаты теории управления водно-ресурсных и водоотводящих систем трактуются как принадлежащие этому классу и могут быть использованы в других системах, допускающих потоковую структуризацию [17]. Особенности потокового описания водно-ресурсных и водоотводящих систем, в котором учитывается использование водного потока и управление их качеством, выделяют модели функционирования, выбора параметров. В этом случае разнородные потоки, соответствующие различным примесям в водоотводящих системах, взаимодействуют, в результате чего соотношения между этими потоками на выходах не совпадают [18]. Потоковая структуризация, отображающая природу водно-ресурсных и водоотводящих систем, в которых существует сеть с потоками воды и примесей, является основой формализованного представления водохозяйственных проблем. Она явно или неявно присутствует практически во всех направлениях, связанных с этой тематикой. Оптимизированные проблемы функционирования, выбора параметров и развития водно-ресурсных и водоотводящих систем естественно трактуются как проблемы оптимального управления потоковыми системами, что делает возможным использовать для их моделирования наглядное потоковое описание и эффективные потоковые методы. При этом в зависимости от характера учета структуры водно-ресурсных и водоотводящих систем, их свойств, нелинейных, динамических и стохастических особенностей протекающих процессов получаются различные потоковые модели. Поэтому требуется с единых позиций рассмотреть потоковый подход к формализованному описанию этих проблем, исследовать свойства моделей и построить или адаптировать методы решения описывающих их задач [18]. Градостроительство и архитектура | 2020 | Т. 10, № 2 40 ВОДОСНАБЖЕНИЕ, КАНАЛИЗАЦИЯ, СТРОИТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОХРАНЫ ВОДНЫХ РЕСУРСОВ Модели, в которых учитывается использование водных потоков и управление их качеством, включают в решение задач как частный случай описания водно-ресурсных и водоотводящих систем без учета качества. Данные модели не имеют аналогов в других системах и, отражая более общую ситуацию, являются более сложными. Выводы. Целью статьи являлось исследование особенностей математического и потокового моделирования систем водоснабжения и водоотведения. В процессе работы были решены следующие задачи: - рассмотрены виды систем и методы моделирования; - показан процесс математического моделирования систем; - проанализировано создание математических моделей. Были установлены основные понятия, применяемые в моделировании, среди них такие понятия, как системы, моделирование, модель, математическая и потоковая модели. Установлены цели моделирования, при этом основной целью является сокращение времени и затрат на то, чтобы получить достоверную информацию об объекте изучения. Выявлено, что практическими задачами, которые решаются методами моделирования в системах водоснабжения и водоотведения, являются следующие: - проведение экспертных оценок действующих систем водоснабжения и водоотведения; - выполнение прогноза работы систем в новых условиях эксплуатации; - управление работой систем водоснабжения и водоотведения и технологическими процессами, осуществляемыми в них; - выполнение инженерно-технологического конструирования новых водопроводных и водоотводящих сооружений; - проведение научного изучения водопроводных и водоотводящих систем и технологических процессов; - осуществление поиска оптимальных технико-экономических решений. Отмечено, что современная форма реализации математического моделирования - это моделирование с использованием цифровых электронных вычислительных машин. Установлено, что затраты времени на моделирование зависят от поставленной задачи, разработанной математической модели и количества параметров, использованных при составлении модели. Модели, которые записываются уравнениями или системами уравнений, являются очень сложными. Их сложность зависит от числа и типа применяемых уравнений. Дифференциальные уравнения решаются сложнее алгебраических, а уравнения в частных производных - сложнее обыкновенных дифференциальных уравнений. В статье приведены примеры математического и потокового моделирования для элементов систем водоснабжения и водоотведения.

About the authors

Svetlana Yu. TEPLYKH

Samara State Technical University

Email: vestniksgasu@yandex.ru

Dmitriy S. BOCHKOV

Samara State Technical University

Email: vestniksgasu@yandex.ru

Mariya V. VESELOVA

Samara State Technical University

Email: vestniksgasu@yandex.ru

References

Supplementary files