Saint-Venant and Karman equations for orthotropic prestretched plate when exposed to temperature

Full Text

Введение

В космической технике применяются тонкие пластины, которые крепятся к жестким ребрам и предварительно растягиваются с помощью сил в их плоскости [1; 2]. Аналогичными являются конструкции, представляющие натяжное спасательное полотно, поддерживаемое дронами, для гашения энергии падающего с высоты человека для его эвакуации как с высотного объекта, так в других исключительных случаях при отсутствии или невозможности применения других средств спасения [3].

В качестве материала пластин применяются композиты [4], зачастую однонаправленные, физические свойства которых по двум главным направлениям порой отличаются в 15 раз, а прочностные характеристики различаются до 40 раз. На рис. 1 показано полотно композиционной пластины, ориентированное в глобальной системе координат (Оху), приведены прочностные параметры с характеристиками жесткости в его собственных главных осях 012.

Рис. 1. Полотно из ортотропного материала, натянутое на жесткий контур: а – силы натяжения N_x , N_y ; б – прочностные параметры ${\mathit{\sigma }}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{+}}\mathit{,}\mathit{ }{\mathit{\sigma }}_{\mathbf{2}}^{\mathbf{+}}{\mathit{\tau }}_{\mathbf{12}}$ и характеристики жесткости E₁ , E₂ , G₁₂

Fig. 1. A web of orthotropic material stretched over a rigid contour:a - tension forces N_x , N_y  ; b- strength parameters ${\mathit{\sigma }}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{+}}\mathit{,}\mathit{ }{\mathit{\sigma }}_{\mathbf{2}}^{\mathbf{+}}{\mathit{\tau }}_{\mathbf{12}}$ and stiffness characteristics E₁ , E₂ , G₁₂

Распределенные нагрузки, как и локальные силы, образуют существенные изгибающие моменты и перерезывающие силы, создающие концентрации напряжений [5]. Одним из приемов уменьшения напряжений является натяжение пластины мембранными силами, приложенными по контуру. Если мембранные силы сами являются функциями поперечной нагрузки, то принцип аддитивности не действует [6]. Неравномерные температурные нагружения изменяют напряжения и деформативность.

По теории изгиба изотропных пластин назовем труды [6-11]; обзор и анализ моделей деформирования приведен в работах [12-18].

Цель работы. Требуется выбрать модель расчета тонких пластин из ортогональноанизотропного материала для обеспечения жесткости и прочности при единовременном приложении поперечных и продольных нагрузок с учетом приращения температуры.

1. Постановка задачи деформирования ортотропной модели растяжения и изгиба

В качестве определяющих уравнений воспользуемся законом Гука для тела, обладающего ортогонально-анизотропными свойствами, составленного в декартовой системе координат Oxyz [19]

$\left\{\begin{array}{l}{e}_{xx}\\ e_{yy}\\ e_{xy}\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{l} \frac{1}{E_1} -\frac{v_{12}}{E_2} 0\\ -\frac{v_{12}}{E_2} \frac{1}{E_{}} 0\\ 0 0 \frac{1}{{\sigma }_{12}}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{\sigma }_x\\ {\sigma }_y\\ {\tau }_{xy}\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}{\alpha }_{\mathit{1}}T\\ {\alpha }_{\mathit{2}}T\\ 0\end{array}\right\},$                                                                                (1)

Здесь E₁, E₂, V₁₂, V₂₁, G₁₂ - упругие характеристики жесткости (технические константы) ортотропного материала, определенные для главных направлений упругой симметрии 1-2; e_хх, е_уу, e_ху - компоненты тензора деформаций; σ_x, σ_y, σ_xy, - компоненты тензора напряжений;α₁, α₂ - коэффициенты линейного температурного расширения ортотропного материала по направлениям упругой симметрии 1-2; T = T(x,y,z) - приращение температуры. Методика учета изменения температуры известна как «метод устранения деформаций» [9; 10]. В этом методе для изотермического нагружения объемные и поверхностные силы определяются через температурное поле T(x,y,z) исходной температурной задачи.                                                       

Уравнения (1) в обратной форме имеют вид 

$\left\{\begin{array}{c}{\sigma }_x\\ {\sigma }_y\\ {\tau }_{xy}\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\mathit{~}}{E}}_{\mathit{1}}\\ {\stackrel{\mathit{~}}{E}}_{\mathit{12}}\\ 0\end{array}\begin{array}{c}{\tilde{E}}_{12}\\ {\tilde{E}}_2\\ 0\end{array}\begin{array}{c}0\\ 0\\ G_{12}\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}{e}_{xx}\mathit{-}\mathit{ }{\alpha }_{\mathit{1}}T\\ e_{yy}\mathit{ }\mathit{-}\mathit{ }{\alpha }_{\mathit{2}}T\\ e_{xy}\end{array}\right\},$                                                                                               (2)

 где коэффициенты жесткости обозначим следующими символами:

${\stackrel{\mathit{~}}{E}}_{\mathit{1}} = \frac{E_1}{1-v_{12 }{v}_{21}}, {\stackrel{\mathit{~}}{E}}_{\mathit{2}} = \frac{E_2}{1-v_{12 }{v}_{21}}, {\stackrel{\mathit{~}}{\mathit{ }E}}_{\mathit{12}} = \frac{v_{\mathit{21}}{E}_1}{1-v_{12 }{v}_{21}}=\frac{v_{\mathit{21}}{E}_2}{1-v_{12 }{v}_{21}} ,$                                           (3)

 Теорию деформаций, «соответствующую каким угодно, а не только малым смещениям», применим из [12]. Для вычисления относительного удлинения ε_v рассматриваемой точки в произвольном направлении V, определяемого направляющими косинусами l, m, п (l² + m² + n² = 1), компоненты тензора деформаций имеют вид 

${\epsilon }_{ij}=\frac{1}{2}\mathit{(}\frac{\mathit{(}\mathit{\partial }{u}_i\mathit{)}}{\mathit{(}\mathit{\partial }{x}_j\mathit{)}}\mathit{+}\frac{\mathit{(}\mathit{\partial }{u}_j\mathit{)}}{\mathit{(}\mathit{\partial }{x}_i\mathit{)}}\mathit{)}+\frac{\mathit{\partial }{u}_k}{\mathit{\partial }{x}_i}\frac{\mathit{\partial }{u}_k}{(\partial x_j} .$                                                                                                    (4)

Здесь u₁ = u,u₂ = v,u₃ = w - проекции (компоненты) вектора перемещения.

По поводу приложения уравнений (4) к изгибу пластин, приведем замечание П. Папковича: «В задачах об изгибе тонких пластин прогибы срединной поверхности w=w₀(x, y) настолько значительны, что квадраты углов поворота (∂w₀ / ∂x)² и (∂w₀ / ∂у)²  являются величинами одного порядка с мембранными деформациями срединного слоя ∂w₀ /∂x и ∂v₀ /∂y » [6]. Отсюда для модели изгибаемой гибкой пластины уравнения (4) принимают такими:

${\epsilon }_{\mathit{x}\mathit{x}} = \frac{\partial u}{\partial \mathrm{x}}+\frac{1}{2} {\left(\frac{\partial w}{\partial \mathrm{x}}\right)}^2, {\epsilon }_{\mathit{y}\mathit{y}}= \frac{\partial \mathrm{v}}{\partial \mathrm{y}}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial w}{\partial \mathrm{y}}\right) , {\epsilon }_{\mathit{x}\mathit{y}}=\frac{\partial u}{\partial \mathrm{y}}+\frac{\partial \mathrm{v}}{\partial \mathrm{x}}+\frac{\partial w}{\partial \mathrm{x}}\frac{\partial w}{\partial \mathrm{y}} ,$

${\epsilon }_{\mathit{z}\mathit{z}}=\frac{\partial w}{\partial \mathrm{z}}, {\epsilon }_{\mathit{x}\mathit{z}}=\frac{\partial u}{\partial \mathrm{z}}+\frac{\partial w}{\partial \mathrm{x}}, \mathit{ }{\epsilon }_{yz}=\frac{\partial v}{\partial \mathrm{z}}+\frac{\partial w}{\partial \mathrm{v}}.$                                                                                      (5)

Приложение гипотезы Кирхгофа

${\epsilon }_{\mathit{z}\mathit{z}} = 0 ,\mathit{ }{\epsilon }_{\mathit{x}\mathit{z}} = 0 ,\mathit{ }{\epsilon }_{\mathit{y}\mathit{z}} = 0,$                                                                                                                 (6)

дает

$\mathrm{w}(x\mathit{,}y\mathit{,}z) = {\mathrm{w}}_0(x\mathit{,}y\mathit{,}\mathit{0}) = w, \mathit{ }u(x\mathit{,}y\mathit{,}z) =\mathit{ }{u}_{\mathit{0}} -\frac{\mathit{\partial }{w}_{\mathit{0}}\mathit{(}x\mathit{,}y)}{\mathit{\partial }x}\mathrm{z} , \mathrm{v}(x\mathit{,}y\mathit{,}z) = v_{\mathit{0}}-\frac{\mathit{\partial }{w}_{\mathit{0}}\mathit{(}x\mathit{,}y)}{\mathit{\partial }y} .$            (7)

Здесь -h/2≤ z ≤ h/2; h - толщина пластины; u₀ = u(x,y), v₀ = v(x,y) - мембранные смещения срединного слоя пластины (при z = 0); w = w₀(x,y) - функция прогиба.

Подставив (7) в первые три уравнения (5), получим:

${\epsilon }_{\mathit{x}\mathit{x}} = \frac{\partial u_{\mathit{0}}}{\partial \mathrm{x}}- \frac{{\partial }^{\mathit{2}}{w}_{\mathit{0}}}{\partial {\mathrm{x}}^2}\mathrm{z} + \frac{1}{2}{\left(\frac{\partial w_{\mathit{0}}}{\partial \mathrm{x}}\right)}^2,$                                                                                          (8)

${\epsilon }_{\mathit{y}\mathit{y}} = \frac{\partial {\mathrm{v}}_{\mathit{0}}}{\partial \mathrm{y}}- \frac{{\partial }^{\mathit{2}}{w}_{\mathit{0}}}{\partial {\mathrm{y}}^2}\mathrm{z} + \frac{1}{2}{\left(\frac{\partial w_{\mathit{0}}}{\partial \mathrm{y}}\right)}^2,$                                                                                           (9)

Распределение температуры по толщине зададим линейным:

${\mathrm{\epsilon }}_{\mathrm{xy}} = \frac{\partial {\mathrm{u}}_{\mathit{0}}}{\partial \mathrm{y}}+\frac{\partial {\mathrm{v}}_0}{\partial \mathrm{x}}- 2\frac{{\partial }^{\mathit{2}}{w}_{\mathit{0}}}{\partial \mathrm{x}\partial \mathrm{y}}\mathrm{z} +\frac{\partial w_{\mathit{0}}}{\partial \mathrm{x}}\frac{\partial w_{\mathit{0}}}{\partial \mathrm{y}},$                                                                                 (10)

Распределение температуры по толщине зададим линейным:

$T (x\mathit{,}\mathit{ }y\mathit{,}\mathit{ }z) = T_c\mathit{ }\mathit{+}\mathit{ }{Т}_h\mathit{ }z , -\mathrm{h}/2 \le \mathrm{z} \le \mathrm{h}/2 ,$                                                                          (11)

Здесь функции

$T_{с}=\frac{\left[T\right(x,y,h/2)+T(x,y,-h/2\left)\right]}{2}, T_h=\frac{\left[\mathrm{T}\right(x,y,h/2)-l\backslash \mathrm{x},y,-h/2)]}{h} ,$                                        (12)

зависят от приращений температуры, заданные на лицевых поверхностях пластины.

Внутренние силовые факторы, представляющие собой мембранные усилия Nx = Nx(x, y), Ny = Ny(x, y) и S_xy = S_xy(x, y) , изгибающие M_x = M_x (x, y) , M_y = M_y (x, y) и крутящий момент H_xy = H_yx(x, y), вычисляются интегрированием по толщине h уравнений (2):

$N_x=h\left\{{\stackrel{\mathit{~}}{E}}_{\mathit{1}}\left[\frac{\partial u_0}{\partial x} +\frac{1}{2} {\left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)}^2-{\alpha }_1{T}_c\right]+{\stackrel{\mathit{~}}{E}}_{\mathit{12}}\left[\frac{\partial v_0}{\partial y} +\frac{1}{2} {\left(\frac{\partial w}{\partial y}\right)}^2-{\alpha }_2{T}_c\right]\right\}\mathit{ }\mathit{,}$                                       (13)

$N_y=h\left\{{\stackrel{\mathit{~}}{E}}_{\mathit{12}}\left[\frac{\partial u_0}{\partial x} +\frac{1}{2} {\left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)}^2-{\alpha }_1{T}_c\right]+{\stackrel{\mathit{~}}{E}}_{\mathit{2}}\left[\frac{\partial v_0}{\partial y} +\frac{1}{2} {\left(\frac{\partial w}{\partial y}\right)}^2-{\alpha }_2{T}_c\right]\right\}\mathit{ }\mathit{,}$                                       (14)

$S_{xy }= G_{12}h\left(\frac{\partial w_{\mathit{0}}}{\partial y} + \frac{\partial w_{\mathit{0}}}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial w}{\partial y}\right)\mathit{ }\mathit{,}$                                                                                                         (15)

$M_x= - \frac{h^{\mathit{3}}}{\mathit{12}}\left[{\stackrel{\mathit{~}}{E}}_{\mathit{1}}\left(\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^{\mathit{2}}} + {\alpha }_1{T}_h\right) + +{\stackrel{\mathit{~}}{E}}_{\mathit{12}}\left(\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^{\mathit{2}}} + {\alpha }_2{T}_h\right)\right]\mathit{ }\mathit{,}$                                                              (16)

$M_y= - \frac{h^{\mathit{3}}}{\mathit{12}}\left[{\stackrel{\mathit{~}}{E}}_{\mathit{12}\mathit{ }}\left(\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^{\mathit{2}}} + {\alpha }_1{T}_h\right) + +{\stackrel{\mathit{~}}{E}}_{\mathit{1}}\left(\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^{\mathit{2}}} + {\alpha }_2{T}_h\right)\right]\mathit{ }\mathit{,}$                                                              (17)

$H_{xy}=H_{yx}\mathit{ }\mathit{=} - \frac{h^{\mathit{3}}}{\mathit{6}}\mathit{ }{G}_{\mathit{12}}\mathit{ }\frac{{\mathit{\partial }}^{\mathit{2}}w}{\mathit{\partial }x\mathit{\partial }y}\mathit{,}$                                                                                                                             (18)

Здесь N_x = N_x (x, y) , N_y = N_y(x, y) , …, M_x = M_x(x, y) … – функции координат.

2. Уравнение неразрывности срединной поверхности

Уравнения неразрывности срединной поверхности пластины формулируется как для плоской задачи теории упругости [16] из уравнений (8)—(10):

$\frac{{\mathit{\partial }}^{\mathit{2}}{\epsilon }_{xy}}{\mathit{\partial }x\mathit{\partial }y} -\frac{{\mathit{\partial }}^{\mathit{2}}{\epsilon }_x}{\mathit{\partial }{y}^{\mathit{2}}} - \frac{{\mathit{\partial }}^{\mathit{2}}{\epsilon }_y}{\mathit{\partial }{x}^{\mathit{2}}} =\frac{{\mathit{\partial }}^{\mathit{2}}{w}_{\mathit{0}}}{\mathit{\partial }{x}^{\mathit{2}}}\frac{{\mathit{\partial }}^{\mathit{2}}{w}_{\mathit{0}}}{\mathit{\partial }{y}^{\mathit{2}}} - {\left(\frac{{\mathit{\partial }}^{\mathit{2}}w}{\mathit{\partial }x\mathit{\partial }y}\right)}^2,$                                                                                        (19)

устранением мембранных смещений u₀ =u(x,y), v₀ =v(x,y).

Воспользуемся методой из [6], в которой рассматривается вывод уравнения неразрывности для изотропной пластины. В левой части (19) деформации выразим через внутренние мембранные силовые факторы (13)—(15). Для этого соотношения (13) и (14) сложим, а затем вычтем друг из друга. Это даст

$\frac{v_{21}}{h{E}_2{v}_{12}}(N_x- v_{12}{N}_y) = \frac{\partial u_0}{\partial x} - \frac{1}{2}{\left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)}^2-{\alpha }_1{T}_{c } ,$                                                                              (20)

$\frac{v_{12}}{h{E}_1{v}_{21}}(N_y- v_{21}{N}_x) = \frac{\partial u_0}{\partial x} - \frac{1}{2}{\left(\frac{\partial w}{\partial y}\right)}^2-{\alpha }_2{T}_{c } ,$                                                                              (21)

Продифференцируем уравнение (20) дважды по координате х, а (21) продифференцируем дважды по координате у, - затем сложим. Из полученного выражения вычтем уравнение (15), продифференцированное по координатам х, у. Получаем уравнение неразрывности срединной поверхности относительно трех неизвестных функций $N_x(x\mathit{,}\mathit{ }y)\mathit{ }\mathit{,}\mathit{ }{N}_y\mathit{ }(x\mathit{,}\mathit{ }y)\mathit{ }\mathit{,}\mathit{ }{S}_{xy}\mathit{ }(x\mathit{,}\mathit{ }y)$:

$\frac{v_{21}}{h{E}_1{v}_{21}}\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}(N_x- v_{12}{N}_y) + \frac{v_{12}}{h{E}_1{v}_{21}}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}(N_y- v_{21}{N}_x) -$

$- \frac{1}{h{G}_{12}}\frac{{\partial }^2{S}_{xy}}{\partial x\partial y} = {\left(\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x\partial y}\right)}^2- \frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^{\mathit{2}}}\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^{\mathit{2}}}- {\alpha }_1 \frac{{\partial }^{2}T}{\partial y^{\mathit{2}}} - {\alpha }_2 \frac{{\partial }^2{T}_c}{\partial x^{\mathit{2}}} .$                                                         (22)

Введем в (22) функцию Эри φ = φ(x, y) [18]:

$N_{x }= h\frac{{\partial }^2\phi }{\partial y^{\mathit{2}}}, N_{y }= h\frac{{\partial }^2\phi }{\partial x^{\mathit{2}}}\mathit{ }\mathit{,}\mathit{ }\mathit{ }{S}_{\mathit{x}\mathit{y}\mathit{ }\mathit{ }}= h\frac{{\mathit{\partial }}^{\mathit{2}}\mathit{\phi }}{\mathit{\partial }\mathit{x}\mathit{\partial }\mathit{y}}\mathit{ }\mathit{,}$                                                                                       (23)

получим искомое уравнение неразрывности деформаций для гибкой ортотропной пластины с температурной добавкой, относительно неизвестной функции φ(x, y):

$\frac{v_{21}}{v_{\mathit{12}}{E}_2}\frac{{\partial }^4\mathrm{\phi }}{\partial y^4} + \left(\frac{1}{{\mathrm{G}}_{12}} - \frac{{\mathrm{v}}_{21}}{E_2} - \frac{{\mathrm{v}}_{12}}{E_1}\right)- \frac{{\partial }^4\mathrm{\phi }}{\partial x^2\partial y^2} + \frac{{\mathrm{v}}_{12}}{E_1{\mathrm{v}}_{\mathit{21}}}\frac{{\partial }^4\mathrm{\phi }}{\partial x^4}=$

$= {\left(\frac{{\partial }^2\mathrm{w}}{\partial x\partial y}\right)}^2- \frac{{\partial }^2\mathrm{w}}{\partial x^2}\frac{{\partial }^2\mathrm{w}}{\partial y^2} - {\alpha }_1\frac{{\partial }^2{T}_{\mathit{c}}}{\partial y^2} -{\alpha }_2\frac{{\partial }^2{T}_c}{\partial x^2}$                                                                                      (24)

Для изотропной пластины, приняв $E_{\mathit{1}} =\mathit{ }{E}_2 = E , {\mathrm{v}}_{12} =\mathit{ }{v}_{21} = v \mathrm{и} G_{12} = \frac{E}{ 2(1+ v)},$ получаем:

$\frac{1}{E}\mathit{(}\frac{{\mathit{\partial }}^{\mathit{4}}\phi }{\mathit{\partial }{y}^{\mathit{4}}}\mathit{ }\mathit{+}\mathit{ }\mathit{2}\mathit{ }\frac{{\mathit{\partial }}^{\mathit{2}}\phi }{\mathit{\partial }{x}^{\mathit{2}}\mathit{\partial }{y}^{\mathit{2}}}\mathit{ }\mathit{+}\mathit{ }\frac{{\mathit{\partial }}^{\mathit{4}}\phi }{\mathit{\partial }{x}^{\mathit{4}}}\mathit{)}={\left(\frac{{\partial }^2\mathrm{w}}{\partial x\partial y}\right)}^2- \frac{{\partial }^2\mathrm{w}}{\partial x^2}\frac{{\partial }^2\mathrm{w}}{\partial y^2} - {\alpha }_1\frac{{\partial }^2{T}_c}{\partial y^2} -{\alpha }_2\frac{{\partial }^2{T}_c}{\partial x^2}\mathit{ }\mathit{,}$                              (25)

где в круглых скобках левой части содержится двойной лапласиан над функцией напряжений ∇²∇²φ(x,y).

3. Уравнения равновесия для сочетание изгиба с растяжением или сжатием С. П. Тимошенко

Здесь различают два возможных случая распределения напряжений в пластинке [11]:

Рис. 2. Бесконечно малый элемент с приложенными мембранными усилиями

Fig. 2. An infinitesimal element with applied membrane loads

Для составления уравнений равновесия элемента от мембранных сил (с целью согласования направлений и знаков), воспользуемся рис. 2. От мембранных сил, напряжения по толщине h распределяется равномерно, уравнения равновесия записывается без учета искривления поверхности, как для плоского напряженного состояния:

$\frac{\partial N_x}{\partial x} + \frac{\partial S_{yx}}{\partial y} q_{x }(x,y) = 0$,                                                                                                                        (26)

$\frac{\partial S_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial N_y}{\partial y} q_{y }(x,y) = 0$,                                                                                                                        (27)

Здесь q_x(x,y) и q_y(x,y) силы в базисной плоскости.

Функция Эри (23) удовлетворяет уравнениям (26), (27) при q_x =0 и q_v = 0.

Действующие на элемент пластинки изгибающие силовые факторы рассмотрим на рис. 3.

Рис. 3. Бесконечно-малый элемент базисной поверхности пластинки

Fig. 3. An infinitesimal element of the basal surface of the plate

Для понимания направлений действия сил и поворотов сечений изобразим возможный изогнутый вид на рис. 4. Составим уравнение равновесия внутренних сил бесконечно-малого элемента пластинки на ось z:

$\frac{\partial Q_x}{\mathit{\partial }x}dxdy + \frac{\partial Q_y}{\mathit{\partial }y}dydx - N_{x}dy \sin \left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)+\left(N_x + \frac{\partial N_x}{\partial x}dx\right)dy \sin \left(\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^{\mathit{2}}}dx\right)-$

$- N_{y}dy \sin \left(\frac{\partial w}{\partial y}\right)+\left(N_x + \frac{\partial N_y}{\partial y}dy\right)dx \sin \left(\frac{\partial w}{\partial y^{}}+\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^{\mathit{2}}}dy\right) -$

$S_{yx}dy \sin \left(\frac{\partial w}{\partial y}\right)+\left(S_{yx} + \frac{\partial S_{yx}}{\partial x}dx\right)dy \sin \left(\frac{\partial w}{\partial y}+\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x\partial y}dx\right)+{\mathrm{q}}_{\mathrm{z}}\mathrm{dxdy} = 0$,                                              (28)

Линеаризуем это уравнение, заменив синусы углов их углами: приведем подобные и отбросим бесконечно малые слагаемые более высокого порядка малости. Тогда для любого внутреннего элемента dxdy:

$\frac{\partial Q_x}{\mathit{\partial }{x}^{}} + \frac{\partial Q_y}{\mathit{\partial }{y}^{}}+ N_x\frac{{\mathit{\partial }}^{\mathit{2}}w}{\mathit{\partial }{x}^{\mathit{2}}}+\frac{\partial {\mathrm{N}}_{\mathrm{y}}}{\partial {\mathrm{x}}^{}}\frac{\partial \mathrm{w}}{\partial {\mathrm{x}}^{}}+N_y\frac{{\mathit{\partial }}^{\mathit{2}}w}{\mathit{\partial }{y}^{\mathit{2}}}+\frac{\partial {\mathrm{N}}_{\mathrm{y}}}{\partial {\mathrm{y}}^{}}\frac{\partial \mathrm{w}}{\partial {\mathrm{y}}^{}}+$

$+\mathit{2}{S}_{xy}\frac{{\mathit{\partial }}^{\mathit{2}}w}{\mathit{\partial }x\mathit{\partial }{y}^{}}+\frac{\partial {\mathrm{S}}_{\mathrm{xy}} \partial \mathrm{w}}{\partial \mathrm{y} \partial {\mathrm{x}}^{}}+\frac{\partial {\mathrm{S}}_{\mathrm{yx}} \partial \mathrm{w}}{\partial \mathrm{x} \partial {\mathrm{y}}^{}}+q_z = 0$,                                                                                (29)

Добавим сумму моментов всех сил, действующих вокруг оси у и вокруг оси х:

$Q_x=\frac{\partial {\mathrm{M}}_{\mathrm{x}}}{\partial \mathrm{x}}+ \frac{\partial {\mathrm{H}}_{\mathrm{yx}}}{\partial \mathrm{y}}, Q_y=\frac{\partial M_{\mathit{y}}}{\partial \mathrm{y}}+ \frac{\partial H_{\mathit{x}\mathit{y}}}{\partial \mathrm{x}} .$                                                                                                 (30)

Учтем закон парности касательных напряжений, дающий: H_xy = H_yx и S_xy = S_yx . Подставив (30) в (29), получаем:

$\frac{{\partial }^2{M}_x}{\partial {\mathrm{x}}^2}+2\frac{{\partial }^2{H}_{xy}}{\partial \mathrm{x}\partial \mathrm{y}}+\frac{{\partial }^2{M}_y}{\partial {\mathrm{y}}^2}+ N_x\frac{{\partial }^2{w}_{}}{\partial {\mathrm{x}}^2}+N_y\frac{{\partial }^2{w}_{}}{\partial {\mathrm{y}}^2}+2S_{\mathrm{xy}}\frac{{\partial }^2{w}_{}}{\partial \mathrm{x}\partial \mathrm{y}}+q_{\mathit{z}}= 0$ ,                                                 (31)

Рис. 4. Изогнутая поверхность пластинки: приведены углы поворота и приращения углов поворота по направлению осей х и у

Fig. 4. The curved surface of the record: the angles of rotation are given and increments of rotation angles in the direction of the axes x and v

Отметим, что уравнения (26), (27), (31) получены без учета физических уравнений (в частности, закона Гука). В [7] отмечается, что уравнение (31) было получено Сен-Венаном (1883 г.).

Подставив физические соотношения (16)—(18) в (31), - получаем уравнение Б. Сен-Венана для пластины из ортотропного материала:

$\frac{h^3}{12(1-v_{12}{v}_{21}}\left\{E_1\frac{{\partial }^{4}w}{\partial x^4}+E_2\frac{{\partial }^{4}w}{\mathit{\partial }{y}^4}+\left[E_1{v}_{21}+\mathit{ }{E}_{\mathit{2}}{v}_{12} +4G_{12} (1-v_{12 }{v}_{21})\right] \frac{{\partial }^{4}w}{\mathit{\partial }{x}^2\mathit{\partial }{y}^2} +\right.$

$+E_1({\mathrm{\alpha }}_1 + {\mathrm{\alpha }}_2{\mathrm{v}}_{21}) \frac{{\partial }^2{T}_h}{\partial {\mathrm{x}}^2}+E_2( {\mathrm{\alpha }}_1{\mathrm{v}}_{12}+{\mathrm{\alpha }}_2)\frac{{\partial }^2{T}_h}{\partial {\mathrm{y}}^2}\} =$

$= -q_{\mathrm{z}}\mathit{-}{N}_x\frac{{\mathit{\partial }}^{\mathit{2}}w}{\mathit{\partial }{x}^{\mathit{2}}}\mathit{ }\mathit{-}\mathit{ }{N}_y\frac{{\mathit{\partial }}^{\mathit{2}}w}{\mathit{\partial }{y}^{\mathit{2}}}\mathit{ }\mathit{-}\mathit{ }\mathit{2}{S}_{xy}\frac{{\mathit{\partial }}^{\mathit{2}}w}{\mathit{\partial }x\mathit{\partial }{y}^{}}\mathit{,}$                                                                                          (32)

с температурным воздействием.

4. Классификация тонких пластин П. Ф. Папковичем в связи с методикой их расчета [6] Подставив в (32) функцию напряжений (23)

Подставив в (32) функцию напряжений (23), получаем

$\frac{h^3}{12(1-{\mathrm{v}}_{12}{\mathrm{v}}_{21}}\left\{E_1\frac{{\partial }^{4}w}{\mathit{\partial }{x}^4}\right.+E_2\frac{{\partial }^{4}w}{\mathit{\partial }{\mathrm{y}}^4}+\left[E_1{\mathrm{v}}_{21}+\mathit{ }{E}_{\mathit{2}}{\mathrm{v}}_{12} +4G_{12} (1-{\mathrm{v}}_{12 }{\mathrm{v}}_{21})\right] \frac{{\partial }^4\mathrm{w}}{\mathit{\partial }{x}^2\mathit{\partial }{y}^2} +$

$+ E_1({\mathrm{\alpha }}_1 + {\mathrm{\alpha }}_2{\mathrm{v}}_{21}) \frac{{\partial }^2{T}_h}{\partial {\mathrm{x}}^2}+E_2( {\mathrm{\alpha }}_1{\mathrm{v}}_{12}+{\mathrm{\alpha }}_2)\frac{{\partial }^2{T}_h}{\partial {\mathrm{y}}^2}\}=$

$= -q_{\mathrm{z}}\mathit{-}\mathit{ }\frac{{\mathit{\partial }}^{\mathit{2}}\phi \mathit{ }{\mathit{\partial }}^{\mathit{2}}w}{\mathit{\partial }{y}^{\mathit{2}}\mathit{\partial }{x}^{\mathit{2}}}\mathit{ }\mathit{-}\mathit{ }\frac{{\mathit{\partial }}^{\mathit{2}}\phi \mathit{ }{\mathit{\partial }}^{\mathit{2}}w}{\mathit{\partial }{x}^{\mathit{2}}\mathit{\partial }{y}^{\mathit{2}}}\mathit{ }+\mathit{ }\mathit{2}\frac{{\mathit{\partial }}^{\mathit{2}}\phi \mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }{\mathit{\partial }}^{\mathit{2}}w}{\mathit{\partial }x\mathit{\partial }{y}^{}\mathit{\partial }x\mathit{\partial }{y}^{}}\mathit{,}$                                                                             (33)

Уравнения равновесия (26) и (27) учитывать нет необходимости.

Уравнение (33) и уравнение неразрывности (24) представляют систему дифференциальных уравнений в частных производных, полученную Т. Карманом. Классической (элементарной) теорией жестких пластин называется модель расчета, сводящаяся к интегрированию лишь одного уравнения равновесия (32).

Теория, предложенная Сен-Венаном предполагает, что пластины тонкие и поперечная нагрузка настолько мала, что и прогибы малы. Тогда в правой части (24) производные функции прогибов малы и ими можно пренебречь:

$\frac{1}{E_1}\frac{{\partial }^4\phi }{\partial y^4}+\left(\frac{1}{G_{12}} 2 \frac{v_{21}}{E_2}\right)\frac{{\mathit{\partial }}^{\mathit{2}}\phi \mathit{ }}{\mathit{\partial }{x}^{\mathit{2}}\mathit{\partial }{y}^{\mathit{2}}}+\frac{1}{E_2}\frac{{\mathit{\partial }}^{\mathit{2}}\phi \mathit{ }}{\mathit{\partial }{x}^{\mathit{4}}} = {\alpha }_1\frac{{\mathit{\partial }}^{\mathit{2}}{T}_c\mathit{ }}{\mathit{\partial }{y}^{\mathit{2}}} -{\alpha }_2\frac{{\mathit{\partial }}^{\mathit{2}}{T}_c\mathit{ }}{\mathit{\partial }{x}^{\mathit{2}}}$                                                      (34)

Функция напряжений может быть определена из этого уравнения и граничных условий независимо от функции прогиба. Затем предполагается решение краевой задачи для (33) с известными φ = φ(x, y) .

В случае, предварительного растяжения пластины функция φ на контуре может быть вы- числена применением «рамной аналогии» [16]. Пусть на отделенный от полотна контур пластины, действуют нормальные snh и касательные tnh составляющие сил натяжения (рис. 5), создающие в контуре изгибающий момент M = φ (рис. 5, а) и продольную силу N = dφ/ dq (рис. 5, б).

Например, если на раму (рис. 1), действуют растягивающие силы: N_x = σ_xh, при x = 0 и x = L_x и N_y = σ_yh, при y = 0 и y = L_y , тогда функция φ и ее производная могут быть определены построением эпюр внутренних сил в раме (рис. 5, б и 5, в).

Рис. 5. Контур прямоугольной пластины: а - элемент контура 5 с внешней нормалью v, в котором возникает изгибающий момент М; б - элемент конура 5 и продольная сила N; в - функция φ на контуре; г - производная функции φ по нормали v

Fig. 5. The contour of a rectangular plate: a - a contour element with an external normal v, in which a bending moment occurs M/; b - kennel element 5 and longitudinal force N; c - a function φ on a contour; d - the derivative φ of the function with respect to the normal v

5. Конечно-разностная постановка

Континуум пластины заменим дискретной областью. Дифференциальные соотношения заменим конечно-разностными аналогами.

Применим центральные разности [20]. Выберем на области пластинки прямоугольную равномерную сетку ω_ij ={(x_i = iλ_x, y_j = jλ_y), i = 0,1, ..., m, j = 0,1,...,n} на отрезках [0,l_x] и [0,l_y] .

Здесь x = x_i и y = y_j – узлы сетки;$\mathit{ }{\lambda }_x =\frac{ \mathrm{lx}}{\mathrm{m}} \mathrm{и}\mathit{ }{\lambda }_y =\frac{ \mathrm{ly}}{\mathrm{n}}$ – шаг сетки, а lx и ly – размеры пластинки по направлениям осей координат x и y .

Конечно-разностный аналог уравнения (33) получается таким:

$\mathit{a}{\mathit{w}}_{\mathit{j}\mathit{i}}\mathit{ }\mathit{+}\mathit{ }\mathit{b}\mathit{(}{\mathit{w}}_{\mathit{j}\mathit{i}\mathit{+}\mathit{1}}\mathit{ }\mathit{+}\mathit{ }{\mathit{w}}_{\mathit{j}\mathit{i}\mathit{-}\mathit{1}}\mathit{)}\mathit{+}\mathit{ }\mathit{d}\mathit{(}{\mathit{w}}_{\mathit{j}\mathit{+}\mathit{1}\mathit{i}}\mathit{ }\mathit{+}\mathit{ }{\mathit{w}}_{\mathit{j}\mathit{-}\mathit{1}\mathit{i}}\mathit{)}\mathit{ }\mathit{+}\mathit{ }\mathit{e}\mathit{(}{\mathit{w}}_{\mathit{j}\mathit{+}\mathit{1}\mathit{i}\mathit{+}\mathit{1}}\mathit{ }\mathit{+}\mathit{ }{\mathit{w}}_{\mathit{j}\mathit{-}\mathit{1}\mathit{i}\mathit{-}\mathit{1}}\mathit{)}\mathit{ }\mathit{+}\mathit{ }\mathit{g}\mathit{(}{\mathit{w}}_{\mathit{j}\mathit{+}\mathit{1}\mathit{i}\mathit{-}\mathit{1}}\mathit{ }\mathit{+}\mathit{ }{\mathit{w}}_{\mathit{j}\mathit{-}\mathit{1}\mathit{i}\mathit{+}\mathit{1}}\mathit{)}\mathit{ }\mathit{+}$

$+\mathrm{c} ({\mathrm{\phi }}_{ \mathrm{ji}+2} + {\mathrm{\phi }}_{ \mathrm{ji}-2} +\mathrm{ƒ}({\mathrm{\phi }}_{ \mathrm{j}+ 2\mathrm{i}} +{\mathrm{\phi }}_{\mathrm{j}-2\mathrm{i} })= - {\mathrm{q}}_{\mathrm{z}}^{\mathrm{ji}} + \mathrm{k} {\mathrm{T}}_{\mathrm{ji}} - l (T_{\mathrm{ji}+1} + T_{\mathrm{ji}-1}) -\mathit{ }m\mathit{ }(T_{j\mathit{+}\mathit{1}i} + T_{j\mathit{-}\mathit{ }\mathit{1}i}) ,$                 (35)

в котором коэффициенты вычисляются по следующим формулам:

$D=\frac{h^3}{12(1-{\nu }_{12}{\nu }_{21})},$$a=\frac{6D{E}_2}{{\lambda }_y^4}+\frac{6D{E}_1}{{\lambda }_x^4}+\frac{4D{G}_{12}}{{\lambda }_x^2{\lambda }_y^2}-\frac{2N_x^{}}{{\lambda }_x^2}-\frac{2N_y^{}}{{\lambda }_y^2},$

$b=-\frac{4D{E}_1}{{\lambda }_x^4}-\frac{2D{G}_{12}}{{\lambda }_x^2{\lambda }_y^2}+\frac{N_x^{}}{{\lambda }_x^2}, d=-\frac{4D{E}_2}{{\lambda }_y^4}-\frac{2D{G}_{12}}{{\lambda }_x^2{\lambda }_y^2}+\frac{N_y^{}}{{\lambda }_y^2}, e=\frac{D{G}_{12}}{{\lambda }_x^2{\lambda }_y^2}+\frac{2S_{xy}^{}}{4{\lambda }_x^{}{\lambda }_y^{}},$

$g=\frac{D{G}_{12}}{{\lambda }_x^2{\lambda }_y^2}-\frac{2S_{xy}^{}}{4{\lambda }_x^{}{\lambda }_y^{}}, f=\frac{D{E}_2}{{\lambda }_y^4}, c=\frac{D{E}_1}{{\lambda }_x^4},$                                                                                                          (36)

$k=\frac{2D{E}_1}{{\lambda }_x^2}({\alpha }_1+{\nu }_{21}{\alpha }_2)+\frac{2D{E}_2}{{\lambda }_y^2}({\alpha }_2+{\nu }_{12}{\alpha }_1), l=\frac{D{E}_1}{{\lambda }_x^2}({\alpha }_1+{\nu }_{21}{\alpha }_2), m=\frac{D{E}_2}{{\lambda }_y^2}({\alpha }_2+{\nu }_{12}{\alpha }_1).$

Конечно-разностный аналог уравнения (24) имеет вид:

$a{\phi }_{ji}+b({\phi }_{ji+1}+{\phi }_{ji-1})+d({\phi }_{j+1i}+{\phi }_{j-1i})+c({\phi }_{ji+2}+{\phi }_{ji-2})+f({\phi }_{j+2i}+{\phi }_{j-2i})+$

$+e({\phi }_{j+1i+1}+{\phi }_{j-1i-1}+{\phi }_{j+1i-1}+{\phi }_{j-1i+1})=$

$=\frac{1}{16{\lambda }_x^2{\lambda }_y^2}\left[w_{j+1i+1}^2+w_{j+1i-1}^2+w_{j-1i-1}^2+w_{j-1i+1}^2+2(-w_{j+1i+1}^{}{w}_{j+1i-1}^{}\right.+w_{j+1i+1}^{}{w}_{j-1i-1}^{}-$                                  (37)

$-w_{j+1i+1}^{}{w}_{j-1i+1}^{}-w_{j+1i-1}^{}{w}_{j-1i-1}^{}+w_{j+1i-1}^{}{w}_{j-1i+1}^{}-w_{j-1i-1}^{}\left.w_{j-1i+1}^{})\right]$+

— $\frac{1}{{\lambda }_x^2{\lambda }_y^2}\left[2w_{ji}(\right.-w_{ji+1}^{}-w_{j+1i}^{}-w_{j-1i}^{}-w_{ji-1}^{})+4w_{ji}^2+w_{ji+1}^{}{w}_{j+1i}^{}+w_{ji+1}^{}{w}_{j-1i}^{}+w_{ji-1}^{}{w}_{j+1i}^{}+\left.w_{j+1i}^{}{w}_{j-1i}^{}\right]+$

$+T_{ji}\left(\frac{2{\alpha }_1}{{\lambda }_y^2}+\frac{2{\alpha }_2}{{\lambda }_x^2}\right)-\frac{{\alpha }_1}{{\lambda }_y^2}(T_{j+1i}+T_{j-1i})-\frac{{\alpha }_2}{{\lambda }_x^2}(T_{ji+1}+T_{ji-1})$ ,

в котором коэффициенты вычисляют по следующим формулам:

$a=\frac{6a_1}{{\lambda }_y^4}+\frac{6a_2}{{\lambda }_x^4}+\frac{8a_3}{{\lambda }_x^2{\lambda }_y^2}, b=-\frac{4a_2}{{\lambda }_x^4}-\frac{4a_3}{{\lambda }_x^2{\lambda }_y^2} , d=-\frac{4a_1}{{\lambda }_y^4}-\frac{4a_3}{{\lambda }_x^2{\lambda }_y^2}, c=\frac{a_2}{{\lambda }_x^4}, f=\frac{a_1}{{\lambda }_y^4}, e=\frac{2a_3}{{\lambda }_x^2{\lambda }_y^2};$

$a_1=\frac{1}{E_1}, a_2=\frac{1}{E_2}, 2a_3=\frac{1}{G_{12}}-\frac{2{\nu }_{21}}{E_2}=\frac{1}{G_{12}}-\frac{2{\nu }_{12}}{E_1} .$                                                                                                  (38)

6. Расчеты

Размеры пластинки lx =1 м , ly = 0,8 м ; толщина h = 2×10^-3 м . Модули упругости: E₁ = 9,52 ГПа ; E₂ = 71,4 ГПа ; модуль сдвига G₁₂ = 5,49ГПа . Коэффициенты Пуассона: v₁₂ = 0,02 ; v₂₁ = 0,15 ($v21 =\frac{v_{12}{E}_2}{E_1}$). Модуль упругости E₁ ориентирован по длинной стороне пластины, а модуль упругости E₂ ориентирован по короткой стороне пластины. При такой ориентации волокон ортотропная пластина наиболее жесткая [21].

Коэффициенты линейного температурного растяжения данного ортотропного материала

α₁ = 14·10^-5 1/ K (Кельвин), α₂ = 0.

Для расчетов применялась система аналитических вычислений [22].

6.1. Решение по уравнению Сен-Венана

Полагаем, что силы предварительного натяжения известны и их можно считать постоянными в области пластинки и на контуре. Уравнения (26), (27) удовлетворяются. В уравнении Сен-Венана (32) усилия N_x. N_v. S_xv перенесем в левую часть:

$\frac{h^3}{12(1-{\nu }_{12}{\nu }_{21})}\left\{E_1\frac{{\partial }^{4}w}{\partial x^4}\right.+E_2\frac{{\partial }^{4}w}{\partial y^4}+\left[E_1{\nu }_{21}+E_2{\nu }_{12}+4G_{12}(1-{\nu }_{12}{\nu }_{21})\right]\left.\frac{{\partial }^{4}w}{\partial x^2\partial y^2}\right\}+$

$+N_x\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}+N_y\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}+2S_{xy}\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x\partial y}=-q_z-\frac{h^3}{12(1-{\nu }_{12}{\nu }_{21})}\left[E_1({\alpha }_1+{\alpha }_2{\nu }_{21})\frac{{\partial }^2{T}_h}{\partial x^2}+\right.E_2({\alpha }_1{\nu }_{12}+{\alpha }_2)\left.\frac{{\partial }^2{T}_h}{\partial y^2}\right]$.

Теперь продольные силы являются известными параметрами при вторых производных функции прогиба и входят в левую часть системы уравнений. Поперечная нагрузка и температурные слагаемые представляют правую часть системы уравнений. Таким образом, имеем линейную задачу относительно прогиба.

6.1.1. Действие сосредоточенной силы

Пусть N_x = 0 , N_y = 0 , S_xy = 0, T_h = 0 . В центре пластины приложим сосредоточенную силы P = 1000 H . Заменим $q_z=P/\left(dxdy\right)$ . На рис. 6 приведем эпюру прогибов и эпюры внутренних силовых факторов. Моменты вычислены по формулам (16)–(18). Максимальный прогиб в центре под силой (рис. 6, а) равен 0,44785 м. Максимальный изгибающий момент M_x = 200 H · м/м (рис. 6, б). Максимальный изгибающий момент M_y = 700 H · м/м (рис. 6, б).
Мембранные силы вычисляются по формулам (13)–(15), однако без учета продольных смещений:

$N_x=h\left\{{\tilde{E}}_1\left[\frac{1}{2}{\left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)}^2-{\alpha }_1{T}_c\right]+{\tilde{E}}_{12}\left[\frac{1}{2}{\left(\frac{\partial w}{\partial y}\right)}^2-{\alpha }_2{T}_c\right]\right\},$

$N_y=h\left\{{\tilde{E}}_{12}\left[\frac{1}{2}{\left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)}^2-{\alpha }_1{T}_c\right]+{\tilde{E}}_2\left[\frac{1}{2}{\left(\frac{\partial w}{\partial y}\right)}^2-{\alpha }_2{T}_c\right]\right\}, S_{xy}=G_{12}h\left(\frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial w}{\partial y}\right).$

Эти формулы дают, что максимальное значение продольная сила N_x приобретает в области пластины возле сосредоточенной силы P в направлении модуля E₁ (рис. 6 г), а продольная сила N_y приобретает максимума на контуре у длинных сторон – N_y = 160 MH/м (рис. 6, д). Эпюра сдвигающих сил приведена на рис. 6 е. Силы получились значительными, зависят от нелинейных добавок: ${\tilde{E}}_{1}h\frac{1}{2}{\left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)}^2, {\tilde{E}}_{21}h\frac{1}{2}{\left(\frac{\partial w}{\partial y}\right)}^2.$

Сгущение конечно-разностной сетки в (35), (37) не изменяет порядок мембранных сил.

Рис. 6. Эпюры в пластине от сосредоточенной силы Р = 1000 Н: а - прогиб (максимальный прогиб 0,44785 м.); б - изгибающий момент Мх: в - изгибающий момент Му; г - продольная сила Nx; д - продольная сила Nx; е - сдвигающая сила S_xy

Fig. 6. Diagrams in the plate from the concentrated force P = 1000 N: a - deflection (maximum deflection 0,44785 m.); b - bending moment Mx; c - bending moment My; d - longitudinal force Nx; e - longitudinal force Nx; e - shear force S_xy

6.1.2. Учет температуры (рис. 7)

Зададим закон распределения температуры по области пластины в виде T_h(x,y) = -140 °C + (x/Lx/80 °C. Расчеты выполним, задавая температуру в Кельвинах T_h(x,y) = 30 K + (x/Lx)³ 350K. График распределения температуры покажем на рис. 7. а. На рис. 7, б-е представлены эпюра прогибов и эпюры внутренних силовых факторов. Сравнивая эти эпюры с эпюрами, полученными от действия сосредоточенной силы, видим, что в данной гибкой пластинке при малой ее толщине эффект температурного воздействия незначителен.

Рис. 7. Эпюры в пластине от воздействия температуры: а – эпюра приращения температуры (в Кельвинах) DTh = Th(x / Lx)3 ;  б – прогиб (максимальный прогиб 0,000029 м); в – изгибающий момент Мх; г – изгибающий момент Му; д – продольная сила Nх; е – продольная сила Nу

Fig. 7. Diagrams in the plate from the effect of temperature: a – diagram of the temperature increment (in Kelvin) DTh = Th(x / Lx)3 ; b – deflection (maximum deflection 0,000029 m); c – bending moment Мх; d – bending moment My; e – longitudinal force Nx; e – longitudinal force Ny

6.1.3. Действие от сосредоточенной силы, температуры и предварительного растяжения

Расчет тонкой пластинки на действие сосредоточенной силы показал, что получаемые продольные силы настолько велики, что напряжения на два-три порядка превышают напряжения, допускаемые для рассматриваемого ортотропного материала. Как отмечалось в и. 6.1.1. влияют квадраты углов поворота срединного слоя пластинки, то есть квадраты первых производных функции прогиба. Чтобы уменьшить этот эффект можно предварительно растянуть пластину. Тем самым, прогиб должен уменьшиться, изгибаемая поверхность будет более монотонной, что должно повлечь уменьшение напряжений.

Добавим предварительное натяжение силой N_y(x, y ) = 1000 Н/м (рис. 8). Получили уменьшение прогиба от значения 0,44785 м – без учета преднапряжения, до 0,257944 м. – с учетом предварительного растяжения. Результаты занесем в таблицу (строки 2 и 3). Изгибающие моменты и продольные силы уменьшились (рис. 8, б – 8, е).

Рис. 8. Эпюры в пластине от действия сосредоточенной силы, температуры и предварительно растягивающей силы Ny = 1000: а - эпюра приращения температуры (в Кельвинах) DTh = Th(x / Lx)3; б - прогиб (максимальный прогиб 0.000029 м); в - изгибающий момент Мх; г - изгибающий момент Му; д - продольная сила Nx; е - продольная сила Ny

Fig. 8. Diagrams in the plate from the action of concentrated force, temperature and pre-tensile force Ny = 1000: a - temperature increment diagram (in Kelvin) DTh  = T_h(x / L_x)³; b - deflection (maximum deflection 0,000029 m); c - bending moment Mx; d - bending moment My; e - longitudinal force Nx;f- longitudinal force Ny

Если одновременно задать растяжения силами N_x( x, y) 1000 Н/м  = и N_y(x, y) =1000 Н/м , тогда: – максимальный прогиб составит 0,1864 м; – изгибающий момент M_x =150 H ×м/м , – изгибающий момент  M_y  = × 550 H м/м. (Теоретически можно одновременно растягивать пластину по двум направлениям, однако, практически это трудно реализуется).

Еще раз следует отметить, что, при преднапряжении равном 1 кН/м, в окрестности сосредоточенной силы (Р = 1000 Н), продольные внутренние силы достигают значений порядка 4000 кН/м. Объяснить это можно наличием большой кривизны базисной поверхности, учитываемои нелинейными деформациями $\frac{1}{2}{\left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)}^2 , \frac{1}{2}{\left(\frac{\partial w}{\partial y}\right)}^2$. Сгущение конечно-разностной сетки этот эффект не уменьшило. Видимо, к уравнению Сен-Венана следует добавить еще два уравнение равновесия (26) и (27), с целью вычисления мембранных смещений и₀(x,y), v₀(x,y). Тогда деформации будут вычисляться по следующим формулам: 

$\frac{\partial v_0}{\partial y}+\frac{1}{2}{\left(\frac{\partial w}{\partial y}\right)}^2$ и   $\frac{\partial u_0}{\partial x}+\frac{1}{2}{\left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)}^2$.

Одновременное действие сил Р = 1000 Н, N_x = 1000 Н/м дает прогиб 0,27 м (строка 4, таблицы), - однако, не уменьшает прогиб. Увеличение на порядок продольной составляющей N_y = 10000 Н/м, уменьшает прогиб в три раза (строка 5 таблицы), однако напряжения не удовлетворяют прочности. Кроме этого, какова бы ни была поперечная нагрузка, при достаточно больших значениях величины продольной растягивающей силы, расчет сводится к расчету мембраны.

6.2. Расчет с помощью уравнений Кармана

Выпишем уравнения (24) и (33); применим итерационный метод решения системы уравнений.

Вариант 1.

На первой итерации в уравнении (24) примем w(x, y) = 0 (возможно любое приближение). Решаем плоскую задачу теории упругости. Найденные функции напряжений подставляем в уравнение (33) и решаем задачу об изгибе пластинки. Полученные прогибы w(x, y) вновь подставляем в правую часть уравнения (24). Итерационную процедуру повторяем.

После первой итерации проверка решения показала выполнение уравнений неразрывности деформаций ∇²∇²φ = 0 во всех узлах конечно-разностной сетки. Прогиб (рис. 9), естественно, равнялся линейному значению 0,257955 м (см. строку 3 таблицы и рис. 9, а). Тогда как на последующих итерациях невязки увеличивались. Решения нельзя считать верными.

Вариант 2. Если начать расчет с уравнения равновесия (33), приняв в его правой части φ(x, y) = 0 , тогда мембранные силы равны нулю. Имеем модель жесткого изгиба пластины; прогиб равен 0,44784 м. (строка 2 таблицы для P =1000 H, Nx = 0, Ny = 0 ). Найденная функция прогиба подставляется в уравнение (24) – получаем решение φ(x, y) . Эпюру вычисленных мембранных сил Ny =1000 H/м по функциям напряжений приведем на рис. 9, б.

Рис. 9. Эпюры, полученные решением уравнений Кармана: а - эпюра прогиба; б - эпюра мембранной силы Ny

Fig. 9. Diagrams obtained by solving Karman's equations: a - deflection diagram; b - membrane force diagram Ny

Отсутствие сходимости решений, вероятно, можно объяснить, что в уравнении равновесия (33) матрица жесткости имеет порядок 10^б, а уравнение неразрывности (24) содержит коэффициенты порядка 10^-6 - система уравнений становится плохообусловленной. Задача нелинейная, поэтому для обеспечения сходимости следует применять приращение по нагрузке. Тогда невязка ƒ уравнений неразрывности ƒ = ∇²∇²φ уменьшаются.

«Аппарат теории Кармана относительно весьма сложен. Сложностью и громоздкостью числовых выкладок, связанных с решением уравнений (24), (33), объясняется относительно небольшое число доведенных до числового конца решений в области теории этих пластин» [6].

В. В. Новожилов относит формулы Кармана к промежуточном) случаю между классической теорией слабоизогнутых пластин и сильным изгибом пластин [8].

Заключение

Расчет тонкой пластинки на действие сосредоточенной силы показал, что получаемые продольные силы, зависящие от квадратов первых производных функции прогиба настолько велики, что напряжения на два-три порядка превышают напряжения, допускаемые для рассматриваемого ортотропного материала.

При одновременном действии поперечной силы и растягивающей поверхность нагрузки прогиб уменьшился на 80%. Изгибаемая поверхность становится более монотонной, это повлекло к уменьшению максимальных изгибающих моментов на 11 и 14 %, соответственно, поперек и вдоль армирующих волокон композита, а продольные силы уменьшились в 2 и 4 раза.

Сравнение расчетов, полученными от действия сосредоточенной силы и изменения температуры показало, что в данной гибкой пластинке малой толщины, эффект температурного воздействия незначителен.

Аппарат теории Кармана относительно весьма сложен в численной реализации. Простой итерационный процесс решения системы уравнений в смешанной форме не привел к сходимости прогибов и функции напряжений. Смешанная модель в напряжениях и перемещениях требует дополнительных исследований сходимости, например, применения методов релаксаций.

Модель деформирования Сен-Венана, как модель гибкой пластины регламентированного прогиба, позволяет решать задачи обеспечения жесткости и прочности продольно-поперечного изгиба ортотропных пластин используемых в технике.

About the authors

Rashid A. Sabirov

Author for correspondence.
Email: rashidsab@mail.ru

Cand. Sc., Associate Professor

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Fig. 1. A web of orthotropic material stretched over a rigid contour:

Download (96KB)

Indexing metadata

3. Fig. 2. An infinitesimal element with applied membrane loads

Download (52KB)

Indexing metadata

4. Fig. 3. An infinitesimal element of the basal surface of the plate

Download (73KB)

Indexing metadata

5. Fig. 5. The contour of a rectangular plate:

Download (136KB)

Indexing metadata