Elastic-plastic torsion of a two-layer rod

Full Text

Введение

Статья продолжает серию работ посвященных использованию законов сохранения для решения краевых задач уравнений механики деформируемого твердого тела. Уравнения упругости и пластичности уже достаточно давно изучаются с помощью симметрий [ 1; 2]. Далее было показано, законы сохранения можно использовать и они были использованы для решения краевых задач для двумерных уравнений пластичности [3-12]. Эти работы показали, что законы сохранения более хорошо подходят для решения краевых задач, чем точечные симметрии, на которые ранее делалась ставка [2]. Это объясняется тем, что симметрии по своей природе являются локальными, в отличие от законов сохранения - глобальными по своей сути. Далее законы сохранения были применены для решения упруго-пластических задач о кручении стержней и изгибе консолей, а также решению упруго-пластических задач для пластин конечных размеров, ослабленных отверстиями [13-18]. В настоящей работе показано, что законы сохранения можно использовать и для решения краевых задач для многослойных материалов.

Постановка задачи

Рассмотрим прямолинейный стержень, поперечное сечение которого изображено на рис. 1. Пусть S₁ и S₂ области, занятые упруго-пластическими изотропными материалами, у которых предел текучести при чистом сдвиге одинаковый и равен k, а упругие постоянные Ламе различны и равны λ₁, μ₁ и λ ₂, μ₂ соответственно. Пусть линия раздела материалов прямолинейна. Выберем ось координат ОХ вдоль линии раздела. Предполагается, как обычно, что боковая поверхность стержня свободна от напряжений, а стержень скручивается парой сил с моментом

$M=\iint (y{\sigma }_{13}-x{\sigma }_{23})dxdy$.

 

Рис. 1. Кручение двухслойного стержня

Fig. 1. Twisting of a two-layer rod

 

В этом случае уравнения, описывающие напряженное состояние в области S_i i =1,2 имеют вид

F1 = ∂xσ13 + ∂yσ23 = 0, F2 = ∂yσ13 - ∂xσ23 + μiω = 0, μiω = Ki ,

(1)

где σ₁₃,σ₂₃ – компоненты тензора напряжений, ω – угол закручивания, он предполагается постоянным.

На боковой поверхности стержня выполняются условия

σ13n1 + σ23n2 = 0, σ123 +σ223 = k2,

(2)

которые означают, что боковая поверхность свободна от напряжений и находится в пластическом состоянии.

Из (2) получаем

σ13= kn1,  σ23 = -kn2.

(3)

Также предполагаем, что на линии раздела CD компоненты тензора напряжений непрерывны, это означает отсутствие разрыва напряжений для данного стержня вдоль CD.

Законы сохранения

Закон сохранения ищем в виде

Ax + By = ρ1F1 +ρ2F2,

(4)

где ρ₁, ρ₂ – некоторые функции, одновременно тождественно не равные нулю, буквенные индексы внизу означают производные по соответствующим переменным.

Замечание. Более подробную информацию о законах сохранения, их вычисления и использования можно найти в цитированной выше литературе.

Пусть:             A = α1u + α2v + α3, B = β1u + β2v + β3,

(5)

где для удобства положили σ₁₃ = u, σ₂₃ = v, α¹, α², α³, β¹, β², β³ – предполагаются функциями только x, y.

 Подставляя (5) в (4) получаем

α1 = β2, α2 = +β1, α1x - α2y = 0, α1y + α2x = 0, α3x + β3y = -α2Ki,

(6)

αx1(i) - αy2(i)= 0, αx1(i) + αy2(i)= 0, αx3(i) - αy2(i)= -α2 Ki, i = 1,2

(7)

Здесь индекс i в скобках соответствует области S_i.

 

Рис. 2. Схема взятия интегралов по поперечному сечению

Fig. 2. The scheme of taking integrals over the cross section

 

Предположим, что в точке x⁰, y0 подынтегральные функции имеют особенность и эта точка находится в круге радиуса (x - x⁰)² + (y - y)² = ε² (рис. 2), тогда из (4) получаем

$\underset{S}{\iint }(A_x+B_y)dxdy=\underset{S_1}{\iint }({A^1}_x+{B^1}_y)dxdy+\underset{S_2}{\iint }({A^2}_x+{B^2}_y)dxdy =$

$= -\underset{\epsilon }{\int }{A}^{1}dy-B^{1}dx+\underset{L_1}{\int }{A}^{1}dy-B^{1}dx+\underset{L_2}{\int }{A}^{2}dy-B^{2}dx+\underset{CD}{\int }{A}^{1}dy-B^{1}dx+\underset{DC}{\int }{A}^{2}dy-B^{2}dx=0$

Имеем вдоль CD

$\underset{CD}{\int }{A}^{1}dy-B^{1}dx+\underset{DC}{\int }{A}^{2}dy-B^{2}dx=\underset{CD}{\int }({\alpha }^{1\left(1\right)}u+{\alpha }^{2\left(1\right)}v+{\alpha }^{3\left(1\right)})dy-(-{\alpha }^{2\left(1\right)}u+{\alpha }^{1\left(1\right)}v+{\beta }^{3\left(1\right)})dx+$

$+\underset{DC}{\int }({\alpha }^{1\left(2\right)}u+{\alpha }^{2\left(2\right)}v+{\alpha }^{3\left(2\right)})dy-(-{\alpha }^{2\left(2\right)}u+{\alpha }^{1\left(2\right)}v+{\beta }^{3\left(2\right)})dx=0$

Поскольку вдоль CD dy=0, то полагаем ${\beta }^{3\left(i\right)}=\mathrm{0,}{\alpha }_x^{3\left(i\right)}={\alpha }^{2\left(i\right)}{K}_i$, поэтому ${\alpha }^{1\left(1\right)}={\alpha }^{1\left(2\right)}, {\alpha }^{2\left(1\right)}={\alpha }^{2\left(2\right)}.$ 

В результате получаем

$\underset{\epsilon }{\int }{A}^{1}dy-B^{1}dx=\underset{L_1}{\int }{A}^{1}dy-B^{1}dx+\underset{L_2}{\int }{A}^{2}dy-B^{2}dx.$

(8)

Воспользуемся формулой (8) для нахождения функций u, v в точке.

Для этого рассмотрим решение уравнений (7) в виде

${\alpha }^1=\frac{x-x_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}, {\alpha }^2=-\frac{y-y_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}, {\alpha }^3=\omega {\mu }_1\text{arc tg }\frac{x-x_0}{y-y_0}.$

(9)

Подставляя (9) в (8) получаем

$\underset{\epsilon }{\int }{A}^{1}dy-B^{1}dx=\underset{\epsilon }{\int }({\alpha }^{1}u+{\alpha }^{2}v+{\alpha }^3)dy-(-{\alpha }^{2}u+{\alpha }^{1}v)dx=$

$=\underset{\epsilon }{\int }\begin{array}{l}\\ \left(\frac{x-x_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}u-\frac{y-y_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}v+\varpi {\mu }_1\text{arctg}\frac{x-x_0}{y-y_0}\right) dy-\left(\frac{y-y_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}u\right) dx +\\ \end{array}+\underset{\epsilon }{\int }\left(\frac{x-x_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}v\right)dx$

Пусть $x-x_0=\epsilon \cos \varphi , y-y_0= \epsilon \sin \varphi .$

Тогда получаем

$\underset{\epsilon }{\int }{A}^{1}dy-B^{1}dx=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\left[\right(u \mathrm{co}s \varphi +v \sin \varphi ) \cos \varphi +(u \sin \varphi +\mathrm{co}s \varphi )\sin \varphi ]d\varphi =\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}ud \varphi =2\pi u (x_0,y_0).$

В последнем равенстве использована теорема о среднем и предельный переход $\epsilon \to 0.$

В результате из формулы (8) следует

$2\pi {\sigma }_{13}(x_0,y_0)=$

$\underset{L_1}{\int }\left(\frac{x-x_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2} k{n}_1+\frac{y-y_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2} k{n}_2+\omega {\mu }_1\text{arc tg}\frac{x=x_0}{y-y_0}\right) dy-$

$-\left(\frac{y-y_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2} k{n}_1-\frac{x-x_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2} k{n}_2\right) dx+$

$+\underset{L_2}{\int }\left(\frac{x-x_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2} k{n}_1+\frac{y-y_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2} k{n}_2+\omega {\mu }_2\text{arc tg}\frac{x=x_0}{y-y_0}\right)dy-$

$-\left(\frac{y-y_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2} k{n}_1-\frac{x-x_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}k{n}_2\right)dx.$                                                                                 (10)

Рассмотрим решение уравнений (7) в виде                                   

${\alpha }^1=\frac{y-y_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}, {\alpha }^2=\frac{x-x_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}, {\alpha }^3=\frac{1}{2}\omega {\mu }_2\ln ({(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2).$                           (11)

Подставляем (11) в (8) получаем

$2\pi {\sigma }_{23}(x_0, y_0)=$

$\underset{L_1}{\int }(\frac{y-y_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2} k{n}_1-\frac{x-x_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2} k{n}_2+\frac{1}{2}\omega {\mu }_2 \ln ({(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2) dy-$

$-(-\frac{x-x_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2} k{n}_1+\frac{y-y_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2} k{n}_2) dx+$

$+\underset{L_2}{\int }(-\frac{y-y_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2} k{n}_1+\frac{x-x_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2} k{n}_2+\frac{1}{2}\omega {\mu }_2\ln ({(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2) dy-$

$-(-\frac{x-x_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2} k{n}_1+\frac{y-y_0}{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2} k{n}_2) dx.$                                                                                     (12)

Заключение

Формулы (10), (12) позволяют вычислить значения компонент тензора напряжений во всех точках поперечного сечения. Далее в каждой точке x₀, y₀ проверяется условие пластичности ${\sigma }_{13}^2+{\sigma }_{23}^2=k^2.$ Те точки, где ${\sigma }_{13}^2+{\sigma }_{23}^2<k^2$ принадлежат упругой зоне, а остальные точки – пластической области. Тем самым описанная процедура позволяет выделить пластические и упругие зоны и построить упруго-пластическую границу, которая заранее была неизвестна и подлежала определению.

About the authors

Sergey I. Senashov

Reshetnev Siberian State University of Science and Technology

Author for correspondence.
Email: sen@sibsau.ru

Dr. Sc., Professor, Elead of the Department IES

Russian Federation, 31, Krasnoyarskii rabochii prospekt, Krasnoyarsk, 660037

Irina L. Savostyanova

Reshetnev Siberian State University of Science and Technology

Email: savostyanova@sibsau.ru

Cand. Sc., Associate Professor

Russian Federation, 31, Krasnoyarskii rabochii prospekt, Krasnoyarsk, 660037

Sergey V. Lukyanov

Reshetnev Siberian State University of Science and Technology

Email: sen@sibsau.ru

graduate student

Russian Federation, 31, Krasnoyarskii rabochii prospekt, Krasnoyarsk, 660037

References

Supplementary files