Static stability study of a model rocket

Full Text

Введение

Летающая модель ракеты приводится в движение с помощью модельного ракетного двигателя (МРД) и поднимается в воздух, не используя аэродинамическую подъемную силу несущих поверхностей (как самолёт). При этом модельная ракета имеет систему спасения для её безопасного возвращения на землю. В ракетомоделировании используются неуправляемые модели ракет, поднимающиеся на высоту 150-250 м при условии соблюдения их статической устойчивости в процессе полета.

Модель одноступенчатой ракеты (рис. 1) состоит из конecной 1 и переходной 2 частей обтекателя, корпуса модели ракеты 3 и оперения - стабилизаторов 5.

 

Рис. 1. Модель одноступенчатой ракеты: 1 - конусная часть головного обтекателя; 2 - переходник головного обтекателя; 3 - корпус модели ракеты; 4 - оправка; 5 - стабилизатор; б - полезный груз; 7 - стропы парашюта; 8 - парашют; 9 - пыж; 10 - микро-РДТТ; И - пороховая шашка микро РДТТ

Fig. 1. Model of a single-stage rocket: 1 - conical part of the head fairing; 2 - head fairing adapter; 3 - rocket model body; 4 - mandrel; 5 - stabilizer; 6 - payload; 7 - parachute lines; 8 - parachute; 9 - wad; 10 - micro-RDTT; 11 - powder checker micro solid propellant

 

Оснащение модели ракеты: ракетный двигатель 10, парашют системы спасения 8, пыж 9 и два направляющих кольца.

Конусную и цилиндрическую части обтекателя делают из ватмана. Заготовку наматывают на оправку 4 и смазывают клеем. Конусную часть обтекателя делают аналогичным способом. Следует учесть, что диаметр переходника должен быть несколько меньше диаметра корпуса, чтобы его можно было свободно надевать и снимать. Это обеспечивает свободный выброс парашюта системы спасения.

Стабилизаторы модельной ракеты, обеспечивающие смещение центра давления ближе к хвостовой части ракеты, представляют собой четыре пластины, вырезанные из прочного картона, толщиной 1-2 мм.

В полете на ракету действуют три силы: тяга двигателя (R), сила аэродинамического сопротивления (Р) и сила тяжести (G) (рис. 2). Сила тяги двигателя направлена вдоль продольной оси модели; сила тяжести действует вертикально вниз и приложена в центре тяжести (ц. т.); аэродинамическая сила противоположна набегающему потоку и приложена в центре давления (ц. д.). Центр давления - точка приложения равнодействующей всех аэродинамических сил к корпусу ракеты [1-5].

При конструировании летающих моделей ракет одной из сложных задач является обеспечение статической устойчивости ракеты в полете на заданной траектории 16- 9]. Под устойчивостью понимается способность модели возвращаться в положение равновесия, нарушенное внешними силами (ветром, асимметрией модели и т. д.). При этом модель должна быть стабилизирована по углу между продольной осью модели и направлением полета (вектора скорости). Условием обеспечения статической устойчивости модели ракеты является расположение её центра тяжести впереди центра давления. В этом случае при появлении угла атаки отличного от нуля аэродинамические силы создадут стабилизирующий момент, который возвратит модель к нулевому углу атаки [10; 11].

На рис. 2 рассмотрим два случая поведения модели ракеты во время ее движения по вертикальной траектории. Угол атаки равен нулю - ось модели совпадает с направлением полета. В идеальных условиях (при отсутствии внешних помех) такая траектория сохраняется в течение всего полета. В действительности такого почти не бывает. Внешние силы (ветер, непостоянная тяга двигателя) вносят погрешности в траекторию полета за счет появления угла атаки не равного нулю. Если модель статически устойчива (рис. 2, а), то она сама возвратится к нулевому углу атаки. Неустойчивая же ракета (рис. 2, б) еще больше увеличит угол атаки и сильнее отклонится от первоначальной вертикальной траектории.

 

Рис. 2. Траектория полета модели ракеты: а – устойчивый полет; б – неустойчивый полет

Fig. 2. Flight trajectory of the rocket model: a - stable flight; b - unstable flight

 

Анализ существующих способов обеспечения статической устойчивости модельной ракеты

Один из самых распространенных способов обеспечения статической устойчивости модели ракеты - аэродинамический. Он заключается в установке на корпусе ракеты специальных поверхностей - стабилизаторов.

Рассмотрим более подробно условия аэродинамической устойчивости. Она зависит от взаимного расположения центра тяжести (ц. т.) и центра давления (ц. д.) (рис. 3).

Если ц. т. расположен впереди ц. д. (рис. 3, а), то при появлении угла атаки аэродинамические силы создадут стабилизирующий момент, который возвратит модель в первоначальное состояние с нулевомым углом атаки. Эта модель будет статически устойчивой. И чем дальше смещен ц. д. относительно ц. т. (считая от головной части), тем большим запасом статической устойчивости обладает модель ракеты.

 

Рис. 3. Влияние взаимного расположения центра тяжести (ц. т.) и центра давления (ц. д.) на устойчивость модели в полете: а – модель устойчива; б – модель неустойчива

Fig. 3. Influence of the relative position of the center of gravity (c.g.) and the center of pressure (c. p.) on the stability of the model in flight: a - the model is stable; b - the model is unstable

 

Если ц. т. модели расположен позади ц. д. (рис. 3, б), то аэродинамические силы, возникающие вследствие изменения угла атаки под действием возмущающих внешних сил, создадут дестабилизирующий момент, который увеличит этот угол. Такая модель в полете будет неустойчивой.

Отношение расстояния от ц. д. до ц. т. к длине ракеты (при начале координат в головной части ракеты) носит название запаса статической устойчивости. Для моделей со стабилизаторами он должен быть равен 10-20 %.

На практике для модельных ракет центр давления смещается максимально близко к двигательному отсеку за счет увеличения суммарной площади стабилизаторов и установки их максимально удаленно от головной части. При этом центр тяжести смещается к головному обтекателю за счет установки в головной части дополнительного полезного груза. Расчет статической устойчивости ракеты, как правило, специально не проводится. Применяются либо традиционные модели ракет, уже подтвердившие свою статическую устойчивость, либо статическая устойчивость обеспечивается пробными запусками в процессе проектирования экспериментальной модели.

Методы расчета статической устойчивости модельной ракеты

Условием обеспечения статической устойчивости модели ракеты является расположение её центра тяжести впереди центра давления. Как правило, для определения геометрических и массовых характеристик конструкции используются справочники по сопротивлению материалов или расчетные программы (SolidWorks, Ansys) [12]. Однако центр тяжести модельной ракеты нетрудно определить путем её балансировки на ребре тонкой линейки. Для нахождения центра давления есть несколько способов. Как правило, их разделяют на расчетные и практические [13-15].

Расчетный метод определения центра давления

Приближенное определение центра давления по чертежу модели (по плоской фигуре)

Возмущения, действующие в полёте на модель ракеты, не велики. Угол отклонения ракеты изменяется незначительно, как правило, до 15-20°. На малых углах атаки положение ц. д. отклоняется от расчетного. Но при проектировании можно воспользоваться приблизительным методом определения центра давления при симметричном обтекании (при нулевом угле атаки а = 0). Положение ц. д. в этом случае будет соответствовать положению центра тяжести плоской фигуры модели.

Разобьём модель на ряд простых фигур и найдём координаты суммарного статического момента (рис. 4).

 

Рис. 4. Центр тяжести и центр давления модели и ее части

Pig.4. Center of gravity and center of pressure of the model and its parts

${\mathit{Х}}_{\mathbf{ц}\mathbf{.}\mathbf{д}\mathbf{.}}^{\mathbf{мод}}\mathit{ }\mathit{=}\frac{S^{\mathit{го}}\mathit{·}{Х}_{ц\mathit{.}д\mathit{.}}^{\mathit{го}}\mathit{+}{S}^{\mathit{корп}}\mathit{·}{X}_{ц\mathit{.}д\mathit{.}}^{\mathit{корп}}\mathit{+}{S}^{\mathit{стаб}}\mathit{·}{X}_{ц\mathit{.}д\mathit{.}}^{\mathit{стаб}}\mathit{+}\mathit{.}\mathit{.}\mathit{.}\mathit{.}}{S^{\mathit{мод}}}\mathit{,}$                                                           (1)

где $S^{го}$ — площадь проекции головного обтекателя; $S^{корп}$ - площадь проекции корпуса модели; $S^{стаб}$ - площадь проекции всех стабилизаторов; S^мод - сумма всех площадей; ${\mathit{Х}}_{\mathbf{ц}\mathbf{.}\mathbf{д}\mathbf{.}}^{\mathbf{г}\mathbf{о}}$ - ордината ц. д. головного обтекателя; ${\mathit{Х}}_{\mathbf{ц}\mathbf{.}\mathbf{д}\mathbf{.}}^{\mathbf{корп}}$- ордината ц. д. корпуса модели: ${\mathit{Х}}_{\mathbf{ц}\mathbf{.}\mathbf{д}\mathbf{.}}^{\mathbf{стаб}}$ - ордината ц. д. стабилизаторов.

Если ${Х}_{\mathrm{ц}.\mathrm{д}.}^{\mathrm{мод}}\mathit{-}\mathit{ }{Х}_{\mathit{ц}\mathit{.}\mathit{м}\mathit{.}}^{\mathit{м}\mathit{о}\mathit{д}}\mathit{=}\mathit{ }С$ является положительным числом, то это значит, что модель будет устойчива, где С - запас устойчивости модели ракеты.

Чем больше С, тем полёт будет устойчивее.

Для увеличения запаса устойчивости С, необходимо увеличить площадь стабилизаторов или изменить их расположение на более «заднее» (для смещения положения ц. д. ближе к хвостовому отсеку). Для обеспечения более переднего расположения ц. т. можно увеличить массу головного обтекателя.

Графический метод определения центра давления модели ракеты

Положение центра давления зависит от относительного удлинения корпуса модели $\mathrm{\lambda } = \frac{L_{\mathrm{корпуса}}}{d_{\mathrm{миделя}}}$. Для модели ракет с цилиндрическим корпусом без оперения и коническим (или более близким конусу) головным обтекателем положение ц. д. на оси модели $X{\mathit{ }}_{\mathrm{ц}.\mathrm{д}.}^{\mathrm{к}}$ можно найти по графику (рис. 5). Зная положение ц. т. и ц. д. неоперённого корпуса, задаемся запасом устойчивости С (С = 30, С = 20, С = 10) и по графику находим предлагаемый авторами коэффициент влияния стабилизаторов К_СТ, зная который можно вычислить площадь одного оперения стабилизатора у 4-стабилизаторной модели (рис. 6):

$S_{\text{ст}}=\mathrm{0,8}\cdot {К}_{\text{ст}}\cdot d_{\text{мид.}}^2$                                                                                                                                             (2)

 

Рис. 5. График зависимости положения центра давления корпуса без стабилизаторов от его удлинения

Fig. 5. Graph of the dependence of the position of the center of pressure of the body without stabilizers on its elongation

Рис. 6. График определения площади стабилизатора модели ракеты с четырьмя стабилизаторами

Fig. 6. Graph for determining the stabilizer area of a rocket model with four stabilizers

 

Аналитический метод определения положения центра давления по чертежу модели

Модель ракеты состоит, как правило, не только из цилиндрических частей, но и ряда конических. Графоаналитический метод этого не учитывает, а на каждую из этих частей действует нормальная аэродинамическая сила. Зная ее величину и точку приложения, легко найти полную аэродинамическую силу R как сумму отдельных сил и её координату А_ц:

${Х}_{ц\mathit{.}д\mathit{.}} = \frac{R_{\mathrm{го}}·X_{\mathrm{го}}+R_1·X_1- R_{\mathrm{к}}· X_{\mathrm{к}} + R_2· X_2 + R_{\mathrm{ст}}· X_{\mathrm{ст}} }{R}$,                                                                                                       (3)

 где R_го, R₁, R_к, R₂ и R_ст - аэродинамические силы, действующие соответственно на головной обтекатель, первую цилиндрическую часть модели, коническую, вторую цилиндрическую и стабилизаторы модели.

Поскольку аэродинамическая сила зависит от скорости полёта, то лучше определить не сами силы, а их безразмерные коэффициенты C_R. В этом случае формулу можно переписать так:

${Х}_{ц\mathit{.}д\mathit{.}}\mathit{=}\mathit{ }\frac{C_{{R_{\mathit{гоX}}}^{\mathit{го}}\mathit{ }}\mathit{+}\mathit{ }{C}_{{R_{\mathit{1}X}}^{\mathit{1}}\mathit{ }}\mathit{-}\mathit{ }{C}_{{R_{kX}}^k\mathit{ }}\mathit{+}{C}_{{R_{\mathit{ст}X}}^{\mathit{ст}}\mathit{ }}\mathit{ }}{C_R}$,                                                                                                                                            (4)

причём $C_R=C_{R_{\mathit{го}}}+C_{{\mathrm{R}}_1}\mathit{ }\mathit{-}\mathit{ }{C}_{R_k}+{С}_{R_{\mathit{2}}}+{С}_{R_{\mathit{ст}}}$

В расчёте принимается, что цилиндрическое тело при малых углах атаки не создаёт подъёмной силы, поэтому коэффициент аэродинамической силы цилиндрического тела близок к нулю. Расчёт определяет аэродинамические показатели для головного обтекателя, конической переходной части и стабилизаторов. Необходимо учитывать, что присутствие цилиндрического тела влияет на воздушный поток воздуха возле корневых хорд стабилизаторов.

Распространены головные обтекатели двух типов: конические и оживальные. Для обоих типов коэффициент аэродинамической силы одинаков: $C_{R_{\mathrm{го}}}$= 2.

Для конического головного обтекателя центр давления расположен на расстоянии ${Х}_{ \mathrm{ц}.\mathrm{д}.}=\frac{2}{3} l_{\mathrm{го}}$ его носовой точки, а для оживального ${Х}_{ \mathrm{ц}.\mathrm{д}.}=\frac{1}{2,15} l_{\mathrm{го}}$, где $l_{\mathrm{го}}$ — длина головного обтекателя.

Коническая переходная часть может увеличивать или уменьшать диаметр модели. Коэффициент аэродинамической силы для конической переходной части подсчитывается по формуле

$C_{R_k} = 2 \left[\left(\frac{d_{\mathit{1}}}{d}\right)-{\left(\frac{d_2}{d}\right)}^2\right],$                                                                                                                                             (5)

где d₁ - нижний диаметр усечённого конуса; d₂ - верхний диаметр усечённого конуса; d -диаметр головного обтекателя.

Для сужающегося конуса этот коэффициент получится отрицательным. Это означает, что сила R_к направлена против других сил и корпуса, различающиеся кормовой частью, будут иметь неодинаковое положение центра давления.

Положение центра давления конуса рассчитывается по формуле где 

${\mathrm{X}}_{\mathrm{k}} =\mathit{ }{l}_p\mathit{+}\mathit{ }\frac{l_k}{\mathit{3}}\mathit{[}\mathit{1}\mathit{+}\mathit{ }\frac{\mathit{1}\mathit{-}\frac{d^{\mathit{2}}}{d_{\mathit{1}}}}{\mathit{1}\mathit{-}{\mathit{\left(}\frac{d_{\mathit{2}}}{d_{\mathit{1}}}\mathit{\right)}}^{\mathit{2}}}\mathit{]}$,                                                                                                                                             (6)

l_p - расстояние от носовой точки модели до конуса; l_k - высота конуса.

Стабилизаторы сложной формы могут быть представлены как сумма стабилизаторов простой формы, а их центр давления может быть определён по средней аэродинамической хордепера стабилизатора. Коэффициент аэродинамической силы зависит от числа стабилизирующих поверхностей. Для стабилизатора с n поверхностями коэффициент аэродинамической силы подсчитывается по формуле

$C_{R_{\mathrm{ст}}}^{*}\mathit{=}\mathit{ }\frac{N\mathit{·}{\mathit{(}{l}_{\mathit{ст}}^{\mathit{*}}\mathit{ }\mathit{/}\mathit{ }d\mathit{)}}^{\mathit{2}}}{1+\sqrt{\mathit{1}\mathit{+}\mathit{\left(}{\displaystyle \frac{2·l_{\mathrm{ср}}}{b_{\mathrm{корн}}+b_{\mathrm{конц}}}}\mathit{\right)}}}\mathit{,}$                                                                                                                                           ₍₇₎

где $l{\mathit{ }}_{\mathrm{ст}}^{\mathit{*}}$ - размах пера стабилизатора; $l_{\mathrm{ст}}^{}$ - размах по средней линии. Коэффициент N зависит от количества стабилизаторов.

Аэродинамическое взаимодействие стабилизаторов и корпуса модели ракеты учитывается коэффициентом

${\mathrm{K}}_{\mathrm{p} }= 1+ \frac{r}{l_{\mathrm{cp}}+ r},$

где r - радиус кормовой части модели.

Тогда коэффициент аэродинамической силы для всей кормовой части модели ракеты равен $C_{{\mathit{R}}_{\mathit{ст}}}\mathit{=}\mathit{ }{K}_{\mathit{р}}\mathit{·}\mathit{ }{C}_{{\mathit{R}}_{\mathit{ст}}}^{\mathit{*}}$

Положение центра давления стабилизатора зависит от формы стабилизатора в плане и места его расположения на корпусе ракеты:

$X_{k\mathit{ }}=L\mathit{ }+\mathit{ }\frac{\mathit{∆}l\mathit{(}{\mathit{b}}_{\mathit{корн}}\mathit{+}\mathit{ }\mathit{2}{\mathit{b}}_{\mathit{корц}}\mathit{)}}{b_{\mathit{корн}}\mathit{+}\mathit{ }{b}_{\mathit{корц}}}+\frac{1}{6}\left(b_{\mathrm{корн}}+\mathit{ }{b}_{\mathrm{корц}}\mathit{ }\mathit{-}\frac{b_{\mathit{корн}}\mathit{·}\mathit{ }{b}_{\mathit{корц}}}{b_{\mathit{корн}}\mathit{+}\mathit{ }{b}_{\mathit{корц}}}\right),$                           ₍₈₎

где L - расстояние от носовой точки модели до корневой хорды стабилизаторов; Δl - расстояние между началом корневой и концевой хорд стабилизатора.

Практический метод определения центра давления

Первый способ. Из фанеры, картона или другого листового материала вырезают фигуру по контуру модели ракеты и находят ц. т. этой плоской фигуры. Эта точка и будет искомый ц. д. модели [2] (рис. 7). Для настоящей модельной ракеты, сделанной согласно представленному контуру, определяется истинное положение ц. т. с учетом веса головной части, массы двигателя, системы спасения и т. д. Запас статической устойчивости ракеты определяется также по формуле $Х{ }_{\mathrm{ц}.\mathrm{д}.}^{\mathrm{мод}} - Х{ }_{\mathrm{ц}.\mathrm{м}.}^{\mathrm{мод}} = С\mathit{.}$

 

Рис. 7. Практический метод определения ц. д. плоской фигуры модели ракеты

Fig. 7. A practical method for determining c. e. a flat figure model of a rocket

 

Второй способ - это испытание ракеты на устойчивость с помощью аэродинамической трубы. Для этого полностью снаряжается модель: ставят двигатель, систему спасения, пыжи и т. д. Затем ракета помещается в воздушный поток навстречу движению. Наиболее равномерный поток создается в аэродинамической трубе, скорость которого не менее 20-30 км/ч. Отклоните ракету пальцем примерно на 10° от положения по потоку. Если модель возвращается в исходное положение, то статическая устойчивость ракеты обеспечена (рис. 8).

 

Рис. 8. Испытания модельной ракеты в потоке воздуха, выходящего из сопла аэродинамической трубы: 1 – модельная ракета; 2 – нить; 3 – аэродинамическая труба

Fig. 8. Tests of a Model Rocket in the Air Flow Out of the Wind Tunnel Nozzle: 1 - model rocket; 2 - thread; 3 - wind tunnel

 

В полете по мере выгорания топлива в двигателе меняется и положение ц. т. модели. Почти у всех моделей двигатель расположен в хвостовой (кормовой) части. При сгорании топлива масса ракеты будет уменьшаться, а ц. т. перемещаться ближе к головной части, увеличивая тем самым статическую устойчивость модели.

Известно несколько способов корректировки устойчивости модельной ракеты. Один из них -смещение ц. д. к кормовой части за счет увеличения площади стабилизаторов и их расположения. Однако на готовой ракете этого сделать практически невозможно. Поэтому следует заранее (при проектировании) учесть возможные варианты: расширить кормовую часть, выбрать нижнее размещение стабилизаторов (за срезом сопла двигателя), увеличить массу полезного груза в головном обтекателе.

 

Рис. 9. Продувка модели ракеты с трапециевидными стабилизаторами в программе SolidWorks Flow Simulation

Fig.9. Purge model of a rocket with trapezoidal stabilizers in SolidWorks Flow Simulation

 

Сравнение методов определения ц. д. модельной ракеты и определение погрешности

Для определения погрешности описанных методов используем три одноступенчатых ракеты с разными типами стабилизаторов. представленных на рис. 4.

Заметим, что графический метод определяет площадь стабилизаторов при известном центре тяжести ракеты и запасе статической устойчивости модели. Поэтому для нахождения положения ц. д. пойдем обратным путем, т. е. зная площадь стабилизаторов и ц. д. неоперенного корпуса, найдем коэффициент влияния стабилизаторов А'_С| и истинное положение ц. д. модели. Занесём эти значения в таблицу.

Для практического определения ц. д. модельной ракеты путем продувки используем программу SolidWorks Flow Simulation (рис. 9).

 

Погрешность определения центра давления модели ракеты для стабилизаторов различного типа

	Метод определения ц. д.	Координата ц. д., мм	Абсолютная погрешность, мм	Относительная погрешность, %
Расчетный	По «плоской фигуре»	177	45	15,52
	Графический	252-258	30-36	10-12
	Аналитический	223	1	0,34
Практический	По «плоской фигуре»	178	44	15,17
	Продувка	222	–	–
Расчетный	По «плоской фигуре»	173	46	15,86
	Графический	249-252	30-33	10-11
	Аналитический	220	1	0,34
Практический	По «плоской фигуре»	173	46	15,86
	Продувка	219	–	–
Расчетный	По «плоской фигуре»	177	82	28,28
	Графический	243-249	16-10	6-3
	Аналитический	259	0	0,00
Практический	По «плоской фигуре»	179	80	27,59
	Продувка	259	–	–

 

Заключение

Определение центра давления по плоской фигуре является наиболее простым и надежным способом. Его целесообразно применять для демонстрационных ракет при допустимой погрешности расцентровки 15 % и более. Аналитические методы целесообразны для проектирования спортивных моделей ракет с высокими лётными требованиями, например, для международных соревнований, рекордных полетов.

Предлагаемая в работе методика обеспечения статической устойчивости модельной ракеты позволяет упростить процесс проектирования как демонстрационных, так и спортивных моделей для проведения надежных показательных запусков.

About the authors

Vladimir A. Bordachev

Reshetnev Siberian State University of Science and Technology

Email: vladimir27032001@mail.ru

Student

Russian Federation, 31, Krasnoyarskii rabochii prospekt, Krasnoyarsk, 660037

Vadim V. Kolga

Reshetnev Siberian State University of Science and Technology

Author for correspondence.
Email: Kolgaw@yandex.ru

Dr. Sc., professor, Cand. Sc.

Russian Federation, 31, Krasnoyarskii rabochii prospekt, Krasnoyarsk, 660037

Elena A. Rozhkova

Reshetnev Siberian State University of Science and Technology

Email: e_rozhok@vk.com

Student

Russian Federation, 31, Krasnoyarskii rabochii prospekt, Krasnoyarsk, 660037

References

Supplementary files