FUNDAMENTAL FREQUENCY DETERMINATION FOR SANDWICH PLATE SIMPLY SUPPORTED IN FOUR CORNERS


如何引用文章

全文:

详细

Sandwich plates with free edges are widely used in modern aerospace constructions making power base of non-hermetical spaceship bodies. Fundamental frequency of sandwich plate is very useful for weight efficiency assessment of construction that is significant in engineering calculations. The article deals with the problem of fundamental frequency calculation for rectangular sandwich plate with free edges and all corners simply-supported. The plate has symmetrical sandwich package structure consisting of two identical face-sheets and orthotropic core. In this formulation the problem has no analytical solution yet. This is due to the necessity of exact satisfaction of static boundary conditions on free edges of the plate; which is very hard to do. In the article the authors provide an analytical solution of the problem, where the sandwich plate model is based on Reissner-type layered composites theory. Variational equation of plate free vibrations derived from Hamilton principle. Solution procedure uses generalized Galerkin method to solve the variational equation. This method allows applying approximating functions that do not necessarily exactly satisfy static boundary conditions on free edges of the plate, as these conditions are satisfied integrally along each edge. In this paper trigonometric functions are applied as approximating functions. For the case of plate with four corners simply-supported, trigonometric functions give good accuracy in approximation of plate deflection and rotation along the corresponding coordinate axis. The result of generalized Galerkin method implementation is a system of homogeneous linear algebraic equations and then, an analytical formula for fundamental frequency derives from the condition for the nontrivial solution existence of the system. Fundamental frequencies are calculated using this analytical formula for several variants of plates with different combinations of plate dimensions. Verification by fundamental frequency calculations for the same plates in finite-element package shows very good correlation with obtained analytical formula results. Thereby, resulting analytical formula for fundamental frequency could be successfully used in engineering and design calculations with minimal computational cost and enough accuracy.

全文:

Введение. В современных космических аппаратах с корпусами негерметичного исполнения широко используются трехслойные пластины. При проектировочных расчетах трехслойных пластин первая частота колебаний служит удобным критерием весовой эффективности конструкции, так как ее величина зависит от отношения изгибной жесткости и погонной массы. Сегодня для определения частот и форм колебаний трехслойных пластин в основном используются пакеты конечно-элементного моделирования, такие как ANSYS, NASTRAN, COSMOS/M. Они позволяют проводить самый широкий анализ трехслойных конструкций. Недостатками использования пакетов являются значительные вычислительные ресурсы, в некоторых случаях - необходимость привлечения высококвалифицированных специалистов и разработка специальных типов конечных элементов. Поэтому по-прежнему актуально определение первой частоты колебаний трехслойной пластины аналитическими методами. Этому посвящены современные исследования отечественных и зарубежных авторов [1-12]. Однако ряд задач определения первой частоты трехслойных пластин со свободными краями не имеет аналитического решения до сих пор. Цель работы - аналитическое решение задачи определения первой частоты колебаний прямоугольной трехслойной пластины со свободными краями, у которой все четыре угла шарнирно закреплены, и получение для первой частоты удобной для практических расчетов формулы. Постановка задачи. Рассмотрим прямоугольную трехслойную пластину, у которой во всех четырех углах реализуется закрепление типа неподвижного шарнира. В одном из углов пластины расположим начало декартовой системы координат OXY . Размеры пластины по осям OX и OY обозначим a и b соответственно. Вариационное уравнение изгибных колебаний пластины, согласно [13; 14], запишется следующим образом (1) где w = w(x,y) - прогиб пластины; , - углы поворота нормали; D11, D12, D21, D22, D33 - изгибные жесткости трехслойной пластины (D12 = D21) ; Kx, Ky - сдвиговые жесткости трехслойной пластины; Bρ - инерциальный параметр; ω - круговая частота колебаний; δ - знак вариации. Функции w, θx и θy определяют форму трехслойной пластины при изгибных колебаниях. Варьируя функционал в уравнении (1), будем иметь (2) где (3) и (4) Уравнения (2) являются основными вариационными уравнениями, которым должны удовлетворять собственные функции w(x,y), θx(x,y) и θy(x,y), определяющие форму действительных изгибных колебаний трехслойной пластины. Методика решения. Определение основной частоты колебаний трехслойной пластины может быть выполнено с помощью эффективных приближенных методов, одним из которых является обобщенный метод Галеркина. В рамках этого метода прогиб w(x,y) и углы поворота θx(x,y) , θy(x,y) заменяются аналитическими выражениями, аппроксимирующими первую форму колебаний пластины вдоль осей OX и O Y . Представим прогиб и углы поворота в следующем виде [15]: (5) где A, B, C, D, F, P, T - неизвестные числа; Ux, Vx, Uy, Vy - аппроксимирующие функции, имеющие вид , , , (6) , где , . Вариации функций прогиба и углов поворота будут иметь вид (7) Подставив (5)-(7) в (2), после группировки получим (8) Учитывая произвольность вариаций δA, δB, δC, δD, δF, δP, δT, получим систему из семи разрешающих уравнений обобщенного метода Галеркина с естественными граничными условиями: (9) Выполнив в (3) и (4) дифференцирование, интегрирование и раскрытие скобок в уравнениях (9), получим однородную систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными A, B, C, D, F, P, T. Удовлетворяя условие существования нетривиального решения системы, приравняем нулю определитель основной ее матрицы и, обозначив Ω = ω2, получим следующее кубическое уравнение: (10) Определив наименьший вещественный корень уравнения (10), учитывая соотношение ω = 2πf, где f - частота в герцах, получим окончательную формулу для первой частоты колебаний: (11) Важно отметить, что в (10) и (11) коэффициенты z1, z2, z3 и z0 определяются только геометрией пластины и параметрами ее материала. Результаты расчетов и область их применения. В качестве примера определим основную частоту колебаний для нескольких прямоугольных трехслойных пластин, шарнирно закрепленных в углах и отличающихся размерами в плане, толщинами несущих слоев и заполнителя. Параметры материала несущих слоев: Ex = 54,55 ГПа, Ey = 54,55 ГПа, Gxy = 20,67 ГПа, Gxz = = Gyz = 3,78 ГПа, νxy = νyx = 0,32, ρ = 1 500 кг/м3. Материал заполнителя характеризуется модулями сдвига Gxz = 440 МПа, Gyz = 220 МПа и плотностью ρ = = 83 кг/м3. Размеры пластины в плане: b = 1 м; a = 0,5, 1, 2 м. Суммарная толщина несущих слоев t равна 0,001 и 0,002 м, а толщина заполнителя h будет 0,01, 0,05, 0,1 м. Частоты колебаний трехслойных пластин, вычисленные по формуле (11) для приведенных размеров, приведены в табл. 1. Для проверки полученных результатов определим основную частоту колебаний трехслойной пластины, шарнирно закрепленной в четырех углах, методом конечных элементов (МКЭ). Расчет выполним в пакете ANSYS, используя трехслойный вариант конечного элемента SHELL181. Значения частот в герцах, вычисленных МКЭ, - в табл. 2. Сравнивая соответствующие частоты из табл. 1 и 2, можно видеть, что разница не превышает 5 %. Это позволяет достоверно рассчитывать по полученной формуле первую частоту прямоугольной трехслойной пластины при проектировании конструкций, в составе которых такая пластина применяется. Таблица 1 Частоты колебаний трехслойной пластины, рассчитанные по полученной формуле t, м a = 0,5 м, b = 1 м a = 1 м, b = 1 м h = = 0,01 м h = = 0,05 м h = = 0,1 м h = = 0,01 м h = = 0,05 м h = = 0,1 м 0,001 39,904 120,45 177,69 30,591 93,175 137,72 0,002 45,867 149,48 225,48 35,444 115,85 175,07 Таблица 2 Частоты колебаний трехслойной пластины, рассчитанные в ANSYS t, м a = 0,5 м, b = 1 м a = 1 м, b = 1 м h = = 0,01 м h = = 0,05 м h = = 0,1 м h = = 0,01 м h = = 0,05 м h = = 0,1 м 0,001 38,902 117,13 173,52 29,686 90,609 134,49 0,002 43,783 145,19 216,77 33,835 112,53 168,25 Заключение. В статье с помощью обобщенного метода Галеркина решена задача определения основной частоты колебаний прямоугольной трехслойной пластины, которая шарнирно закреплена в четырех углах. Получена достаточно простая аналитическая формула для первой частоты колебаний пластины. Верификация результатов позволяет сделать вывод о том, что по полученной формуле с достаточной точностью и минимальными вычислительными затратами можно определять основные частоты колебаний пластин, шарнирно закрепленных в четырех углах.
×

作者简介

P. Deev

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev

Email: prokhor777@gmail.com
31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660014, Russian Federation

A. Lopatin

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev

31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660014, Russian Federation

参考

  1. Библиографические ссылки
  2. Коган Е. А., Юрченко А. А. Нелинейные колебания защемленных по контуру трехслойных пластин // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2010. № 5. С. 25-34
  3. Frostig Y., Schwarts-Givli H., Rabinovitch O. Free Vibrations of Delaminated Unidirectional Sandwich Panels with a Transversely Flexible Core - A Modified Galerkin Approach // J. of Sound and Vibration. 2007. Vol. 301, no. 2. P. 253-277
  4. Паймушин В. Н., Полякова Т. В. Точные решения задач об изгибных формах потери устойчивости и свободных колебаний прямоугольной ортотропной пластины с незакрепленными краями // Ученые записки Казанского университета. Сер. «Физико-математические науки». 2010. Т. 152, № 1. С. 181-198
  5. Natural Vibrations of Laminated and Sandwich Plates / M. K. Rao [et al.] // J. of Engineering Mech. 2004. Vol. 130, no 11. P. 1268-1278
  6. A Semi-Analytical Method for Bending, Buckling, and Free Vibration Analyses / J. Liu [et al.] // Int. J. of Struct. Stability and Dynamics. 2010. Vol. 10, no 1. P. 127-151
  7. Lee C. R., Kam T. Y., Sun S. J. Free-Vibration Analysis and Material Constants Identification of Laminated Composite Sandwich Plates // J. of Engineering Mech. 2007. Vol. 133, no. 8. P. 12-23
  8. Леоненко Д. В. Колебания круговых трехслойных пластин, связанных с упругим основанием, под действием синусоидальных нагрузок // Проблемы машиностроения и автоматизации. 2009. № 3. С. 89-93
  9. Sekine H., Shirahata H., Matsuda M. Vibration Analysis of Composite Sandwich Plates and Layup Optimization // Sandwich Structures: Advancing with Sandwich Structures and Materials. 2005. Vol. 7. P. 557-566
  10. Brischetto S., Carrera E., Demasi L. Free vibration of sandwich plates and shells by using Zig-Zag function // Shock and Vibration. 2009. Vol. 16. P. 495-503
  11. Lok T. S., Cheng Q. H. Free Vibration of Clamped Orthotropic Sandwich Panel // J. of Sound and Vibration. 2000. Vol. 229, no. 2. P. 311-327
  12. Frostig Y., Shwartz-Givli H., Rabinovich O. Free Vibration of Delaminated Unidirectional Sandwich Panels with a Transversely Flexible Core and General Boundary Conditions - A High-Order Approach // J. of Sandwich Struct. and Materials. 2008. Vol. 10. P. 99-131
  13. Лопатин А. В., Деев П. О. Определение основной частоты колебаний прямоугольной трехслойной пластины со свободным краем // Вестник СибГАУ. 2010. Вып. 2(36). С. 53-61
  14. Vasiliev V. V. Mechanics of composite structures. Published by Taylor & Francis, 1993
  15. Лопатин А. В., Деев П. О. Определение основной частоты колебаний прямоугольной трехслойной пластины с двумя свободными краями // Вестник СибГАУ. 2011. Вып. 1(34). С. 46-50
  16. Деев П. О. Определение основной частоты колебаний прямоугольной трехслойной пластины, жестко закрепленной в центральной точке // Вестник СибГАУ. 2011. Вып. 4(33). С. 53-61

补充文件

附件文件
动作
1. JATS XML
下载

版权所有 © Deev P.O., Lopatin A.V., 2015

Creative Commons License
此作品已接受知识共享署名 4.0国际许可协议的许可
##common.cookie##