ПОСТРОЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ ПО ВЫБОРКАМ ТЕКУЩИХ СОСТОЯНИЙ

Полный текст

Введение. В результате испытаний на надежность устройств одноразового срабатывания в некоторые детерминированные моменты времени вместо выборки отказов получают данные о состоянии устройств на моменты времени тестирования. В случае успешного срабатывания устройства мы имеем цензурированное справа наблюдение; если же устройство не сработало, значит, отказ произошел до момента времени тестирования и мы получаем цензурированное слева наблюдение. Таким образом, полученная выборка будет содержать цензурированные слева и цензурированные справа наблюдения, при этом в выборке не будет ни одного полного наблюдения. Такие выборки являются частным случаем выборок интервальных наблюдений и называются выборками текущих состояний (current status data). Примерами устройств одноразового срабатывания служат, в первую очередь, устройства для крепления и расфиксации подвижных элементов конструкции космического аппарата: солнечных панелей, радиолокационных антенн, раскрываемых штанг приборов и прочего оборудования. Безотказность работы этих устройств непосредственно влияет на готовность космических аппаратов выполнять свои функции. Проблемы обеспечения безотказности функционирования механических устройств одноразового срабатывания на космических аппаратах рассматриваются в [1]. К устройствам одноразового срабатывания также относятся различные электровзрывные устройства, автомобильные подушки безопасности и др. В последнее время большую популярность завоевали непараметрические методы, которые не требуют знания априорной информации о виде закона распределения результатов измерений. В [2; 3] исследовалась непараметрическая ОМП для выборок текущих состояний с учетом различных типов отказа. Кроме того, данные о текущем состоянии можно рассматривать как частный случай интервальных данных. В [4] Тернбуллом был предложен итерационный алгоритм вычисления непараметрической оценки функции надежности по интервальным данным, который применим и для рассматриваемых выборок. Вследствие высокой надежности устройств одноразового срабатывания, за отведенное на эксперимент время может быть не выявлено ни одного неработоспособного устройства, поэтому испытания обычно проводят при повышенных нагрузках и по полученным данным строят регрессионную модель надежности, например, модель ускоренных испытаний [5; 6], по которой осуществляется прогноз надежности изделий для нормальных условий эксплуатации. В [7-9] представлен EM-алгоритм для вычисления оценок максимального правдоподобия (ОМП) параметров модели ускоренных испытаний в случае экспоненциального распределения отказов и распределения Вейбулла. Основной проблемой при построении вероятностной модели надежности по выборкам текущих состояний является проверка гипотезы об адекватности полученной модели. Классические критерии согласия, такие как критерий Колмогорова, Крамера-Мизеса-Смирнова, Андерсона-Дарлинга, χ2 Пирсона, для выборок текущих состояний неприменимы. В литературе, посвященной статистическим методам анализа интервальных выборок, рассмотрены некоторые подходы к проверке статистической гипотезы о согласии. В частности, в [10] рассматривается подход, основанный на преобразовании выборки текущих состояний в псевдополную выборку, по которой и осуществляется проверка гипотезы о согласии. В [11] предлагается параметрический критерий проверки гипотезы о согласии H0 против конкурирующих гипотез H1, соответствующих более общим моделям. В [12] для проверки гипотезы о согласии по интервальным выборкам используется критерий типа , для вычисления статистики которого применяется процедура рандомизации. Однако рассмотренные подходы не учитывают специфику выборок текущих состояний, и их применение будет неэффективным. В данной работе с использованием метода Монте-Карло исследуются статистические свойства ОМП параметров распределений в зависимости от способа выбора моментов тестирования устройств, а также предлагается алгоритм вычисления непараметрической ОМП функции распределения отказов на основе выборок текущих состояний. Далее автором предлагаются критерии согласия для проверки адекватности вероятностных моделей надежности по выборкам текущих состояний и проводится исследование методами статистического моделирования мощности предложенных критериев. Статистические свойства ОМП параметров по выборкам текущих состояний. Рассмотрим эксперимент на надежность, в котором n устройств одноразового срабатывания, принадлежащих одной генеральной совокупности, тестируются в моменты времени t1, t2, …, tk, . Обозначим через количество объектов, тестируемых в момент времени , . В результате эксперимента часть объектов успешно сработала, в то время как остальные оказались в неработоспособном состоянии. Таким образом, полученную выборку наблюдений можно записать в следующем виде: (1) где - количество устройств, оказавшихся в неработоспособном состоянии на момент времени тестирования , что свидетельствует о том, что отказ произошел до момента времени (цензурированные слева наблюдения). Предположим, что наблюдаемая случайная величина - время, в течение которого устройство находится в работоспособном состоянии, т. е. способно к безотказному срабатыванию, принадлежит параметрическому семейству распределений . Неизвестный параметр (в общем случае векторный) можно оценить методом максимального правдоподобия. ОМП параметра называется точка параметрического множества , в которой функция правдоподобия . Логарифм функции правдоподобия для выборки текущих состояний вида (1) имеет вид Если функция правдоподобия дифференцируема по , то для нахождения ОМП векторного параметра решают систему уравнений правдоподобия: , . Широкое применение ОМП обусловлено тем, что при достаточно больших объемах выборок для них характерны следующие свойства. 1) асимптотическая несмещенность: , ; 2) состоятельность: , ; 3) при выполнении условий регулярности модели ОМП обладают свойствами асимптотической эффективности и нормальности: , , где - информационное количество Фишера о параметре , содержащееся в выборке . Информацией Фишера о параметре , содержащейся в выборке , называется дисперсия вклада выборки: . Поскольку , то продифференцировав это выражение по , получим: (2) Матрица зависит от моментов тестирования , следовательно, выбор моментов тестирования напрямую влияет на свойства и точность ОМП. Если до начала эксперимента на надежность устройств одноразового срабатывания имеется априорная информация о виде закона распределения отказов, то моменты времени тестирования и количество устройств, тестируемых в каждый момент времени, могут быть выбраны оптимальным образом в результате максимизации функционала от информационной матрицы Фишера (2). Оптимальные моменты времени тестирования устройств одноразового срабатывания будем искать в виде дискретного нормированного плана , где , , решая задачу (3) при ограничениях , , , . В результате решения задачи (3) при различных объемах выборок были получены следующие оптимальные планы для различных предположений о виде распределения отказов: в случае экспоненциального распределения отказов с функцией плотности , , оптимальный план состоит из одной точки: ; в случае распределения Вейбулла с функцией плотности , , оптимальный план состоит из двух моментов тестирования и имеет вид ; в случае логнормального распределения с функцией плотности , , оптимальный план также является инвариантным относительно значений параметров: ; в случае гамма-распределения моменты времени тестирования не являются инвариантными относительно значений параметра формы; при полученный оптимальный план имеет вид . Интересным оказался тот факт, что оптимальное время тестирования для экспоненциального распределения совпало с точкой асимптотически оптимального группирования, полученной в результате минимизации потерь информации Фишера от группирования [13]. Однако для других рассмотренных распределений точки оптимального плана несколько отличаются от точек асимптотически оптимального группирования. Об эффективности оценивания параметров по выборке текущих состояний по сравнению с оцениванием по полной выборке будем судить по величине отношения , где - количество информации Фишера в полной выборке. В табл. 1 для рассматриваемых законов распределения представлены либо значения для скалярных параметров, либо значения отношения определителей соответствующих информационных матриц в случае векторного параметра в зависимости от плана эксперимента. Моменты времени тестирования, за исключением случая использования оптимального плана, выбирались таким образом, чтобы вероятности попадания в интервалы между соседними моментами тестирования были равными: , , (4) где - функция, обратная к функции распределения . Асимптотическая дисперсия является теоретической характеристикой точности оценивания. Реальную же картину того, насколько точно можно оценить параметры закона по выборке текущих состояний в зависимости от объема выборки n, могут дать результаты исследования методами статистического моделирования. Для этого необходимо оценить величину относительной эффективности: - в случае скалярного параметра или - в случае векторного параметра, где - ОМП неизвестного параметра распределения по полной выборке, - ОМП по выборке текущих состояний. Рассмотрим изменение относительной эффектив-ности оценивания в зависимости от степени цензурирования и объема выборки n на примере ОМП параметров масштаба и формы распределения Вейбулла. Результаты моделирования представлены в табл. 2. Количество N моделируемых выборок, по которым исследовались законы распределения оценок по выборкам объема n, было взято равным 100 000. Таблица 1 Отношение количества информации Фишера в выборке текущих состояний к количеству информации в полной О параметре экспоненциального распределения О векторе параметров распределения Вейбулла О векторе параметров логнормального распределения О векторе параметров гамма-распределения, Опт. 0,6476 0,0638 0,0993 0,0361 k = 1 0,4805 - - - k = 2 0,4661 0,0300 0,0328 0,0112 k = 5 0,4442 0,0535 0,0579 0,0199 k = 10 0,4298 0,0605 0,0648 0,0224 k = 20 0,4193 0,0626 0,0666 0,0230 k = 50 0,4110 0,0627 0,0663 0,0229 Таблица 2 Относительная эффективность оценивания вектора параметров распределения Вейбулла по выборкам текущих состояний по сравнению с оцениванием по полной выборке в зависимости от объема выборки n n = 200 n = 300 n = 500 n = 700 n = 1000 Опт. 0,0563 0,0577 0,0603 0,0619 0,0621 k = 2 0,0216 0,0250 0,0271 0,0279 0,0285 k = 5 0,0491 0,0495 0,0512 0,0523 0,0518 k = 10 0,0554 0,0568 0,0579 0,0588 0,0585 Как видно из табл. 2, с ростом объема выборок величина стремится к det/det. В случае использования оптимального плана при больших объемах выборок ОМП обладает меньшей дисперсией по сравнению со случаями использования большего числа моментов тестирования . Аналогичные закономерности были получены при исследовании свойств ОМП параметров логнормального и гамма-распределения. Непараметрическая оценка функции распределения по выборкам текущих состояний. В условиях отсутствия априорной информации о распределении F(t) оценку неизвестной функции распределения в точках t1, t2, …, tk можно найти в результате условной максимизации функции правдоподобия: при ограничениях , , …, , где через F1, F2, …, Fk для краткости обозначены значения F(t1), F(t2), …, F(tk) соответственно. Опираясь на теорему Лагранжа, несложно показать, что решение сформулированной задачи условной оптимизации может быть найдено в соответствии со следующим алгоритмом: Вычислить начальные значения . Если найденные значения удовлетворяют ограничениям , то решение найдено, иначе перейти на шаг 3. Найти наименьший номер i < k, для которого . Пересчитать значения, удовлетворяющие неравенству , следующим образом: . Повторять шаги 3, 4 до тех пор, пока не выполнится ограничение . Таким образом, непараметрическую оценку неизвестной функции распределения F(t) по выборке текущих состояний (1) можно записать следующим образом: (5) C использованием методов статистического моделирования исследуем скорость сходимости оценки (5) к истинной функции распределения. В качестве расстояния между непараметрической оценкой и соответствующей функцией распределения рассмотрим статистику Колмогорова . Для построения зависимости расстояния между оценкой и истинной функцией распределения F(t) от объема выборки при фиксированном количестве моментов тестирования k генерировались выборки вида (1) объемом n из распределения F(t), по каждой из которых вычислялись значения статистики Dn. Задаваемые моменты тестирования (моменты испытания устройств) вычислялись в соответствии с (4). Исследования были проведены при объемах выборок n = 20, 40, 60, …, 980, 1000 и . На рисунке представлены графики полученных зависимостей значения Dn от n, усредненного по 10000 выборок, при k = 5, 10, 20 и 40. Как видно на рисунке, расстояние от непараметри-ческой оценки до истинной функции распре-деления F(t) с ростом объема выборки и числа моментов тестирования уменьшается. Полученные зависимости хорошо аппроксимируются степенными функциями вида . В частности, вычисленные с использованием метода наименьших квадратов оценки параметров этой зависимости и соответствующий коэффициент детерминации при различных k принимают следующие значения: при k = 5: , , ; при k = 10: , , ; при k = 20: , , ; при k = 40: , , . Естественно, что скорость сходимости с ростом числа моментов тестирования увеличивается. В результате проведенного исследования можно говорить о состоятельности непараметрической оценки . 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 10 20 40 5 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Зависимость усредненного расстояния Колмогорова Dn от объема выборки при различном числе моментов тестирования k Построение критериев согласия для выборок текущих состояний. Задача проверки адекватности модели надежности, полученной по выборке текущих состояний, приводит к необходимости построения критериев согласия, способных по таким данным осуществлять проверку статистической гипотезы вида . Рассмотрим классический подход, основанный на том, что в качестве статистики соответствующего критерия берется расстояние между некоторой непараметрической оценкой функции распределения и . В данном случае непараметрическая оценка неизвестной функции распределения F(t) вычисляется в соответствии с выражением (5). Статистику Колмогорова Dn, рассмотренную в предыдущем разделе в качестве расстояния между непараметрической оценкой и истинной функцией распределения F(t), можно взять за основу при построении критерия согласия для выборок текущих состояний. В этом случае статистика критерия типа Колмогорова имеет вид . (6) Аналогично, статистику критерия типа Крамера-Мизеса-Смирнова можно определить следующим образом: . (7) В качестве статистики критерия согласия может также выступать статистика типа χ2 вида , (8) где - эмпирическое число отказов к моменту времени ti; - ожидаемое число отказов к моменту времени ti в соответствии с проверяемой гипотезой, . При проверке сложной гипотезы в качестве значений параметров распределения используется их оценка, полученная, например, методом максимального правдоподобия. В [14] Уайтом был предложен подход к выявлению неверной спецификации вероятностной модели в случае, когда параметры модели оцениваются методом максимального правдоподобия. Его подход основан на различном представлении информационного количества Фишера о параметре регулярного распределения, содержащегося в выборке. В данной работе для проверки сложной гипотезы о согласии предлагается использовать статистику вида , (9) где , - ОМП параметра распределения . При справедливости гипотезы H0 оценки информационной матрицы An и Bn должны быть близкими, в противном случае, если модель неверна, то различие между данными оценками будет существенным. Гипотеза о согласии H0 отвергается при больших значениях статистик (6)-(9). Проверку гипотез с нахождением неизвестных условных распределений статистик применяемых критериев с использованием метода Монте-Карло можно осуществлять на основе следующего алгоритма. По имеющейся выборке текущих состояний методом максимального правдоподобия найти оценку неизвестного вектора параметров распределения и вычислить значение статистики соответствующего критерия. Смоделировать эмпирическое распределение статистики критерия: Сгенерировать полную выборку псевдослучайных величин объемом n в соответствии с распределением . В соответствии с заданными в исходной выборке моментами времени тестирования t1, t2, …, tk и количеством тестируемых в этот момент элементов n1, n2, …, nk преобразовать полученную на шаге 2 полную выборку в выборку текущих состояний . По выборке текущих состояний оценить параметры распределения и вычислить значение статистики соответствующего критерия согласия (6)-(8) или (9). Повторить шаги 2.1-2.3 N раз. В результате получается выборка статистик . По смоделированной выборке статистик объемом N строится эмпирическая функция распределения . Проверяемая гипотеза H0 отклоняется, если , где - значение статистики соответствующего критерия согласия по выборке . Количество моделируемых выборок N следует выбирать достаточно большим. В частности, при N = 16600 абсолютная погрешность моделирования [13] . Отметим, что п. 2 алгоритма может выполняться в интерактивном режиме, обеспечивая нахождение и оценку достигнутого уровня значимости в ходе проводимого анализа. Мощность критериев согласия по выборкам текущих состояний. Для оценки мощности и сравнительного анализа критериев по выборкам текущих состояний моделировались распределения статистик по законам, соответствующим справедливости проверяемой гипотезы H0 или конкурирующей H1. В качестве примера рассмотрим результаты исследования мощности критериев при проверке сложной гипотезы о принадлежности выборки экспоненциальному закону распределения с неизвестным параметром масштаба относительно шести различных конкурирующих гипотез: - : распределение Вейбулла с параметрами θ1 = 1, ; - : распределение Вейбулла с параметрами θ1 = 1, ; - : распределение Вейбулла с параметрами θ1 = 1, ; - : гамма-распределение с параметрами θ1 = 1, ; - : гамма-распределение с параметрами θ1 = 1, ; - : гамма-распределение с параметрами θ1 = 1, . В табл. 3 приведены оценки мощности рассмотренных критериев согласия при различном числе моментов тестирования и объеме выборки n = 200. Моменты тестирования выбирались в соответствии с выражением (4). Оценки мощности вычислялись при уровне значимости  = 0,01. Анализируя результаты, представленные в табл. 3, можно отметить, что с ростом числа моментов тестирования мощность критериев увеличивается. Выбор критерия, наиболее предпочтительного по мощности, является неоднозначным: относительно конкурирующих гипотез , , и наиболее мощным среди рассматриваемых оказывается критерий типа Крамера-Мизеса-Смирнова, в то же время относительно и он сильно проигрывает критериям Уайта и типа χ2. Если принять во внимание, что в первом случае критерий типа χ2 на основе статистики (8) по мощности лишь незначительно уступает критерию типа Крамера-Мизеса-Смирнова, а во втором  существенно превосходит его, то в качестве наиболее предпочтительного (среди критериев, предложенных в данной работе) можно рекомендовать критерий типа χ2. Модель ускоренных испытаний. Испытания на надежность, как правило, проводятся при повышенных нагрузках, в качестве которых могут выступать температура, напряжение, давление и другие условия. Обозначим вектор объясняющих переменных (нагрузок) через . Диапазон значений переменных определяется условиями эксперимента и представляет собой отрезок числовой прямой. В момент времени устройства тестируются при различных значениях вектора нагрузок: , . Таблица 3 Оценки мощности критериев согласия для выборок текущих состояний при различном числе моментов тестирования, выбранных в соответствии с равновероятным разбиением Тип критерия согласия H0: экспоненциальное распределение k = 5 Колмогорова 0,63 0,31 0,83 0,38 0,14 0,37 Крамера-Мизеса-Смирнова 0,69 0,50 0,89 0,39 0,27 0,54 Хи-квадрат 1,00 0,49 0,85 0,94 0,26 0,52 Уайта 1,00 0,40 0,52 0,91 0,27 0,42 k = 10 Колмогорова 0,71 0,45 0,84 0,39 0,23 0,45 Крамера-Мизеса-Смирнова 0,90 0,64 0,97 0,58 0,34 0,68 Хи-квадрат 1,00 0,54 0,90 0,96 0,29 0,58 Уайта 1,00 0,45 0,60 0,93 0,29 0,47 k = 20 Колмогорова 0,85 0,53 0,93 0,50 0,27 0,56 Крамера-Мизеса-Смирнова 0,95 0,70 0,98 0,66 0,38 0,74 Хи-квадрат 1,00 0,59 0,94 0,96 0,32 0,64 Уайта 1,00 0,48 0,64 0,95 0,30 0,50 Таким образом, все n устройств можно разделить на групп в соответствии с различными условиями проведения испытаний (различными моментами времени тестирования и значениями вектора объясняющих переменных). Обозначим через количество устройств, тестируемых в i-й момент времени при значении вектора объясняющих переменных , . Полученную в результате эксперимента выборку текущих состояний можно записать в следующем виде: , (10) где - количество устройств, оказавшихся в неработоспособном состоянии на момент времени тестирования при значении вектора нагрузок . Модель ускоренных отказов (Accelerated Failure Time model - AFT) определяется через базовую функцию надежности следующим образом: , (11) где - положительно определенная функция, которая чаще всего параметризуется следующим образом: , - базовая функция надежности. В параметрических AFT-моделях базовая функция надежности определяется некоторым параметрическим семейством распределений . В качестве базовых законов, как правило, используются следующие распределения: экспоненциальное, логнормальное, Вейбулла, гамма-распределение и др. Оценки максимального правдоподобия неизвестных параметров AFT-модели по выборке текущих состояний (10) могут находиться в результате максимизации логарифмической функции правдоподобия по параметрам β и θ. Для проверки адекватности полученной AFT-модели формируется выборка так называемых остатков [15] , которая представляет собой выборку текущих состояний вида (1). Если модель (11) верна, то выборка остатков должна принадлежать базовому закону распределения с единичным параметром масштаба. Для проверки гипотезы о согласии выборки остатков с базовым законом распределения можно использовать предложенные в данной работе критерии типа Колмогорова, Крамера-Мизеса-Смирнова, χ2 и Уайта. Заключение. В данной работе рассмотрены основные задачи, возникающие при построении вероятностной модели: непараметрическое оценивание функции распределения, оценивание параметров распределений и проверка статистической гипотезы о согласии. В результате исследования точности оценок максимального правдоподобия по выборкам текущих состояний показано, что увеличение числа моментов тестирования k не приводит к повышению точности ОМП параметров распределений. Для распределений Вейбулла, гамма, экспоненциального и логнормального найдены оптимальные моменты времени тестирования устройств одноразового срабатывания в виде дискретных нормированных планов эксперимента, инвариантных относительно значений параметров (за исключением параметра формы гамма-распределения). Предложен алгоритм построения непараметрической оценки функции распределения по выборкам текущих состояний. Показано, что с ростом объема выборки и числа моментов тестирования расстояние Колмогорова между непараметрической оценкой и истинной функцией распределения стремится к нулю, что указывает на ее состоятельность. Для проверки адекватности построенной вероятностной модели по выборке текущих состояний в работе предложены критерии согласия, применение которых предполагает нахождение неизвестного условного распределения статистики критерия с использованием метода Монте-Карло. В результате сравнительного анализа предложенных критериев по мощности сделан вывод о предпочтительности критерия типа хи-квадрат. Благодарности. Исследование выполнено при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации в рамках проектной части государственного задания в сфере научной деятельности № 2.541.2014K от 17.07.2014 г.

Об авторах

Е. В. Чимитова

Новосибирский государственный технический университет

Email: chimitova@corp.nstu.ru
Российская Федерация, 630073, г. Новосибирск, ул. Карла Маркса, 20

Список литературы

Дополнительные файлы