AUTOMORPHISMS OF NIL-TRIANGULAR SUBRINGS IN CHEVALLEY ALGEBRA OF ORTHOGONAL TYPE

Full Text

Введение. Алгебру Шевалле LK над ассоциативно-коммутативным кольцом K с единицей характеризуют базисом Шевалле [1-3]. Ее ассоциируют с каждой из 9 неразложимых (приведенных) систем корней Ф, из которых 4 - классических типов An, Bn, Cn, Dn и 5 - исключительных типов En (n = 6, 7, 8), F4 и G2. Подалгебру в LK с базисом из элементов er (r Ф+) базиса Шевалле называем нильтреугольной и обозначаем через NФ(K); для типа An-1 она представляется алгеброй Ли, ассоциированной с алгеброй NT(n, K) нильтреугольных матриц над K. Авторы исследуют следующие две проблемы, изученные ранее [4; 5] в различных частных ситуациях: (А). Описать автоморфизмы алгебр Ли NФ(K). (Б). Описать автоморфизмы нильтреугольных подколец NФ(K) алгебр Шевалле LK. Автоморфизмы унипотентного радикала U в подгруппе Бореля групп лиева типа над полем F описал в 1970 году Дж. Гиббс [6] при F = 2F = 3F, см. также [7, проблема (1.5)]. В 1990 году их описание завершил В. М. Левчук [8] (см. также [9]; задача Б отмечается там же вместе с полученным решением для типа D4). В обзоре [10] задачи (А) и (Б) отмечались в связи с вопросами элементарной эквивалентности и другими теоретико-модельными исследованиями алгебр и колец Ли NФ(K), наряду с аналогичными вопросами для групп U, восходящими к А. И. Мальцеву [11]. Автоморфизмы кольца NT(n, K), его ассоциированного кольца Ли (т. е. NФ(K) типа An-1) и присоединенной группы, изоморфной унитреугольной группе UT(n, K), взаимосвязанно описаны в [4], а кольца Ли NCn(K) (n > 4) - в [12; 13]. Вопрос (А) описания автоморфизмов алгебры Ли NФ(K) исследовался в [5], как и вопрос об Aut U - Гиббсом [6], при K = 2K = 3K, а для некоторых типов при более слабых ограничениях, например, K = 2K для типов Bn, Cn и F4. При переходе от алгебр к кольцам Ли, в частности, добавляются кольцевые автоморфизмы, индуцированные автоморфизмами основного кольца (для алгебр это, очевидно, только единичный автоморфизм), расширяется подгруппа центральных автоморфизмов, т. е. действующих тождественно по модулю центра. Наша цель - решить задачи (А) и (Б) для ортогональных типов Bn и Dn и завершить их решение для классических типов (см. теоремы 1, 2 и заключение). В решении задач мы используем методы описания Aut U в [8]. Представления, стандартные автоморфизмы и центральные ряды. Известно, что (элементарную) группу Шевалле типа Ф над K порождают корневые автоморфизмы xr(t) (r Ф, t K) алгебры Шевалле LK [1, пункт 4.4]. В этом случае . Для типа An-1 группа U изоморфна UT(n, K). Ограничения корневых автоморфизмов xr(t) при r Ф+ дают автоморфизмы алгебры NФ(K), порождающие подгруппу внутренних автоморфизмов, изоморфную фактор-группе унипотентной подгруппы UФ(K) по центру. К основным стандартным автоморфизмам алгебр и групп Шевалле относят также диагональные и графовые автоморфизмы [14; 1; 15], а для алгебр NФ(K) см. также [5; 8; 12]. Автоморфизмы, порождаемые основными стандартными автоморфизмами, называют стандартными. В [8] понятие центрального автоморфизма обобщается: автоморфизм группы или алгебры Ли R, являющийся единичным по модулю m-го гиперцентра и внешним автоморфизмом по модулю (m-1)-го гиперцентра, называем гиперцентральным высоты m или, кратко, гиперцентральным автоморфизмом, когда R не совпадает с m-м гиперцентром. Аналогично группам в произвольном кольце Ли R вводят нижний центральный ряд и верхний центральный, или гиперцентральный, ряд Как в [1; 16], используем функцию высоты ht(r) на корнях r системы Ф, максимальный корень ρ и число Кокстера h: = ht(ρ) + 1. Полагаем p(Ф): = = max{(r,r)/(s,s)| r,s Ф}. В алгебре Ли NФ(K) стандартным центральным называют ряд По аналогии с [8, лемма 1] справедлива лемма 1. Лемма 1. Верхний и нижний центральные ряды кольца Ли NФ(K) при p(Ф)!K = K совпадают с её стандартным центральным рядом: Гi = Li = Zh-i (0 < i < h + 1). В описаниях в [5] автоморфизмов алгебр Ли NФ(K) типа Bn при K = 2K и типа Dn, когда аннулятор A2 элемента 2 в K нулевой, основные нестандартные автоморфизмы, по существу, исчерпывают следующие гиперцентральные автоморфизмы высоты 2, построенные по аналогии с Гиббсом [6]. В системе корней Ф типа Bn и Dn всегда существует и единствен простой корень q такой, что s = ρ-q Ф+. Автоморфизм Гиббса алгебры Ли NФ(K) получаем для любого f K как линейное продолжение отображения Оказывается, при A2 0 как раз и появляются разнообразные исключительные автоморфизмы, что и потребовало для их систематизации ввести в [8] гиперцентральные автоморфизмы. Далее мы построим даже гиперцентральные автоморфизмы высоты, зависящей от лиева ранга. Легко проверить, что при f K линейное отображение алгебры NФ(K) типа Bn, оставляющее на месте er, когда r - длинный корень или максимальный короткий корень c, и переводящее er в er + fer+c для любого короткого корня r c, является автоморфизмом, который называем полувнутренним (при f /2 K это корневой автоморфизм xс(f /2)). Выявим автоморфизмы алгебры Ли NDn(K) (n > 4) с нестандартным действием по модулю централа Г2. Как и в [4], в группе SL(2, K) выделяем подгруппу В системах корней Ф типа Dn (n > 4) выбирают однозначно симметрию порядка 2 и простые симметричные корни и . Аналогично [4] для типа A3 = = D3, любой матрице A S соответствует автоморфизм алгебры Ли NDn(K), характеризуемый действием Центральные ряды кольца Ли NBn(K) при 2K K строятся сложнее. Мы используем представление из [8] алгебр NФ(K) классических типов специальными матрицами. Алгебра NФ(K) типа Bn выбирается с базисом {eiv | 0 ≤ |v| < i ≤ n}, а типа Dn - как подалгебра с базисом {eiv | 0 < |v| < i ≤ n}. Произвольный элемент α NФ(K) в них представляем суммой α = ∑aiveiv = = ||aiv||, называя, соответственно, Bn+-матрицей и Dn+-матрицей. Тогда умножение определяется по правилу: Ф = Bn, Dn: [eij,ejv] = eiv, [ejv,ei,-v] = ei,-j (i > j > |v| > 0), (1) Ф = Bn: [eij,ej0] = ei0, [ei0,ej0] = 2ei,-j (i > j). Подмодуль в Li с базой {euv | 0 ≤ v < u ≤ n, u - v ≥ i} обозначим через Li[0. Пусть также Rj:= 1 ≤ j ≤ n. С помощью соотношений (1) несложно вытекает лемма 2. Лемма 2. Центральные ряды кольца Ли NBn(K) записываются в виде: Гi = Li[0 + Li+2 + 2Li (1 < i ≤ n), Гi = Li+2 + 2Li (n < i ≤ 2n - 3), Гi = 2Li (i ≥ 2n - 2); Zi = L2n-i + A2Rn+1-i (1 ≤ i ≤ n - 2), Zn-1 = Ln+1 + A2R2 + A2en1, Zn+i = Ln-i + A2R1 + A2Ln-i-2[0 (0 ≤ i ≤ n - 3), Z2n-2 = L2 + A2L1. Автоморфизмы колец Ли NФ(K) ортогональных типов. Ступень нильпотентности кольца Ли NФ(K), а поэтому и функция χ = χ (Ф, K) наивысшей высоты его гиперцентральных автоморфизмов ограничена числом Кокстера h = h(Ф) системы корней Ф. Естественно, возникает вопрос о наилучшей оценке функции χ (Ф, K). Близка к ступени нильпотентности высота следующих гиперцентральных автоморфизмов алгебры Ли NBn(K) (n > 3): , Когда 2K K, к порождающим множествам Keii-1 (0 < i < n + 1) кольца Ли NBn(K) следует добавить Ke2,-1. При обратимом 1 + c 1 + A2 выделяем полудиагональный автоморфизм При A2 0 мы выделяем, кроме указанных, также другие гиперцентральные автоморфизмы высоты 3, 4 и 5, индуцирующие автоморфизмы и подалгебры NDn(K). Вместе с полувнутренними автоморфизмами, автоморфизмами Гиббса, ζi,t (i > 1) и χt,d, они порождают подгруппу автоморфизмов алгебры NBn(K), обозначаемую через V(Bn). Теорема 1. Всякий автоморфизм кольца Ли NBn(K), n > 4, есть произведение автоморфизма из V(Bn), стандартного и вида δc(-1), ζ1,t автоморфизмов. Нильтреугольная алгебра Ли NDn(K) представляется в алгебре NBn(K) подалгеброй всех Bn+-матриц, у которых 0-й столбец состоит из нулей. Она инва-риантна относительно автоморфизмов ζi,t (1 ≤ i ≤ n - 2, t A2) и автоморфизмов из V(Bn) высоты ≤ 5. Их ограничения индуцируют автоморфизмы алгебры NDn(K) (обозначения сохраняем), порождающие подгруппу автоморфизмов алгебры NDn(K), обозначаемую через V(Dn). Изоморфизм группы (A2, +) на пересечение V(Dn) ∩ очевидно, дает отображение t → ζ1,t (t A2). Автоморфизмы кольца Ли NDn(K) описывает теорема 2. Теорема 2. Всякий автоморфизм кольца Ли NDn(K), n > 4, есть произведение стандартного автоморфизма на автоморфизм из ∙V(Dn). В доказательствах теорем существенно используется характеристичность централов Гi и гиперцентров Zj, а также их централизаторов. Вначале удается провести редукцию произвольного автоморфизма к гиперцентральным автоморфизмам; используются умножения на диагональный и индуцированный кольцевой автоморфизмы и, кроме того, автоморфизм из для типа Dn, полудиагональный и вида ζ1,t автоморфизмы для типа Bn. Далее автоморфизм удается редуцировать к центральному автоморфизму умножениями на внутренние и построенные гиперцентральные автоморфизмы. Заключение. Полученные теоремы решают также вопрос (А) об автоморфизмах алгебр NФ(K). Вместе с основными теоремами из [4; 12] они показывают также, что группа автоморфизмов кольца Ли NФ(K) классического типа ранга n > 4 есть произведение группы автоморфизмов алгебры Ли NФ(K) на произведение подгрупп центральных автоморфизмов и автоморфизмов, индуцированных автоморфизмами основного кольца K.

About the authors

V. M. Levchuk

Siberian Federal University

Email: vlevchuk@sfu-kras.ru
79, Svobodny Av., Krasnoyarsk, 660041, Russian Federation

A. V. Litavrin

Siberian Federal University

79, Svobodny Av., Krasnoyarsk, 660041, Russian Federation

References

Supplementary files