DETERMINATION OF THE STRUCTURE OF LINEAR DYNAMIC OBJECTS IN NONPARAMETRIC IDENTIFICATION PROBLEMS

Full Text

Введение. Одной из основных проблем современной теории идентификации и управления является определение структуры модели исследуемого объекта. На сегодняшний день большинство работ по данной проблеме посвящены методам параметрической идентификации [1-3], где структура процесса постулируется с точность до вектора параметров, исходя из имеющейся априорной информации. Причем выбор структуры модели процесса основывается на накопленном опыте работы с подобными объектами, а также зачастую осуществляется методом перебора различных моделей из заданного класса. Далее следует этап настройки параметров модели с использованием различных математических подходов, таких как, например, метод наименьших квадратов, различные рекуррентные оценки и т. д. В условиях недостатка априорной информации об объекте исследования такие подходы малоэффективны из-за наличия существующего многообразия процессов, их сложности и малоизученности. В научной литературе по данной проблематике можно выделить несколько подходов. Рассмотрим наиболее известные из них. В работе [4] предлагается метод восстановления модели, в котором сначала следует этап выбора предполагаемой структуры из априорной информации, настройка параметров модели с использованием рекуррентных методов, а далее на основе имеющейся выборки измерений выполняется проверка предложенной модели. В случае получения неудовлетворительных результатов моделирования структура модели подлежит доработке, а параметры модели настраиваются заново. Как отмечалось ранее, подавляющее большинство подходов в задачах выбора параметрической структуры модели основаны на переборных методах, к которым относится, в частности, метод группового учета аргументов [5; 6]. Сущность метода состоит в выборе регрессионных моделей оптимальной сложности, где под сложностью понимается число параметров модели. Таким образом, в рамках данного метода осуществляется перебор многих моделей-претендентов с различным числом параметров по ряду критериев. В результате находится модель оптимальной структуры в виде одного уравнения или системы уравнений [5]. В [7] излагаются методы структурной идентификации динамических систем на основе анализа информационных портретов. Предложена процедура нахождения порядка модели, основанная на минимизации ширины интервала изменения коэффициента структурности [7]. В настоящей статье предполагается новый метод определения структуры линейного динамического объекта, основанный на непараметрической теории идентификации [8-10]. В основу предлагаемого метода ложится правило выделения существенных переменных на основе измерения коэффициента размытости ядерной функции в непараметрической модели. Впервые данная идея была предложена профессором А. В. Медведевым в [11]. Постановка задачи идентификации. Пусть объект представляет собой одномерную динамическую систему и описывается следующим разностным уравнением: (1) где f(.) - неизвестный функционал;- выходная переменная процесса; - управляющее воздействие; k - глубина памяти динамического объекта (в терминологии А. А. Фельдбаума) [12]. Если проводить аналогию с описанием исследуемого процесса в непрерывном времени в виде дифференциальных уравнений, то k - порядок старшей производной в соответствующем уравнении. Здесь существенным является то, что вид функционала не определен с точностью до параметров. Классическая для теории идентификации блок-схема моделирования данного процесса представлена на рис. 1. На рис. 1 приняты следующие обозначения: - выход модели объекта; (t) - непрерывное время; индекс t - дискретное время; , - случайные помехи измерений соответствующих переменных процесса; индекс h у переменных объекта из соображения простоты опущен: , ; - векторная случайная помеха. Введем обозначения: , (2) тогда . (3) При идентификации динамической системы (1) ее параметрическую модель естественно принять в форме (4) где α - вектор параметров, подлежащий оцениванию на основании обучающей выборки. Таким образом в случае линейной динамической системы определение структуры динамического объекта (1) сводится к определению переменных, входящих в состав модели (4). C учетом переобозначений (2) модель (4) может быть показана на схеме (рис. 2), которая иллюстрирует модель динамической системы в дискретном времени, сведенную к модели статической системы, когда на вход последней поступают не только переменные, но и и т. д. На рис. 2 ЭЗ - элемент запаздывания [1]. Схема, изображенная на рис. 2, также является близкой к классической схеме, рассматриваемой в теории (рис. 1), так как дискретное уравнение, описывающее объект в данном случае, имеет соответствующий аналог среди дифференциальных уравнений. Как было замечено ранее [13; 14], рассмотрение динамического процесса с помощью данной схемы не является единственным, так как одна из переменных процесса, например xt-2, может отсутствовать, а конечное выходное воздействие может зависеть только от переменных xt-1, xt-3 и входного воздействия ut: . Таким образом, схема примет вид, изображенный на рис. 3. Рис. 1. Классическая схема моделирования одномерного динамического объекта Рис. 2. Блок-схема моделирования объекта с памятью Рис. 3. Блок-схема моделирования объекта с памятью при фиксированных запаздывающих на соответствующие число тактов выходных переменных В рассматриваемой задаче контроль входных-выходных переменных осуществляется через одинаковые интервалы времени . Производя соответствующие измерения, получаем исходную выборку входных-выходных переменных , где s - объем выборки. Задача состоит в определении запаздывающих на определенные такты выходных переменных, которые необходимо учесть в модели (4), что позволит сделать предположение о параметрической структуре модели динамического объекта (4). Выделение существенных переменных. В классическом случае, изображённом на рис. 2, задача идентификации состоит в оценивании класса операторов на основе выборки . Таким образом, в качестве оценки модели объекта может быть принято условное математическое ожидание вида (5) В случае, когда динамический объект описывается дифференциальным уравнением при последовательной дискретизации, итоговое разностное уравнение будет содержать последовательно все переменные: . Этому соответствует блок-схема моделирования, изображенная на рис. 2. Тогда в качестве непараметрической модели объекта можно использовать модель, в которой все коэффициенты разностного уравнения будут учтены [11]: (6) Для случая, изображенного на рис. 3, модель может быть принята в виде (7), где учтены только выходные переменные, непосредственно от которых зависит выход процесса: (7) В моделях (6), (7) - ядерная колоколообразная функция, - коэффициенты размытости ядерной функции, которые удовлетворяют условиям сходимости [15]. В качестве колоколообразной функции могут быть использованы различные ядра [15]. Следует учитывать, что модели вида (6), (7) можно использовать только при равных интервалах измерения . Оптимальные параметры размытости при наличии обучающей выборки находятся из задачи минимизации показателя соответствия выхода объекта и выхода модели, основанного на методе скользящего экзамена, когда в моделях (6), (7) по индексу i исключается q-е наблюдение переменной, предъявляемой для экзамена: (8) где индекс i фигурирует в формулах (6), (7). Существенным в оценках (6), (7) является то, что в соответствие каждой выходной переменной запаздывающей на некоторые величины, ставится свой коэффициент размытости ядра . Из представленных выше моделей видно, что степень вклада той или иной выходной переменной из правой части уравнений в итоговое значение оценки зависит от (9) Выражение (9) состоит из двух частей: и . Что касается первого множителя , то наблюдается следующая зависимость: чем меньше , тем больший вклад значение вносит в итоговую оценку. Таким образом, можно построить следующую цепочку неравенств: если то (10) Рассмотрим вторую составляющую уравнения (9). Коэффициенты и ядерная функция должны удовлетворять следующему свойству: (11) где - некоторая переменная. Исходя из данного условия, при учете, что , можно построить следующую последовательность неравенств: если то Приведем пример. Пусть - коэффициент размытости ядра при , а - при . Если то , и тогда выходная переменная имеет большее влияние на выходную величину, чем . Графически это выражается так, как показано на рис. 4. На рис. 4 Алгоритм вычисления значимых переменных строится по следующей схеме. Сначала задаем начальное значение k. Затем строим модель по формуле (6) и считаем относительную ошибку моделирования : где - математическое ожидание. Далее на каждой i-й итерации выполняем следующий набор действий: 1. Для каждого коэффициента находится оптимальное значение: 2. Находим из всех полученных значений максимальное - 3. Строим модель по формуле (6), исключая множитель , при учете, что j - номер при 4. Считаем относительную ошибку . Данные действия будут повторяться, пока . Вычислительный эксперимент. Численное исследование алгоритма непараметрической идентификации осуществлялось методами статистического моделирования. Для вычислительного эксперимента был выбран объект, описываемый уравнением вида (12) В дискретном виде данное уравнение равно (13) Зададим начальное значение k = 6. Результаты моделирования с использованием формулы (6) представлены на рис. 5. Относительная ошибка моделирования W0 = 0,017. Далее находим оптимальные коэффициенты с использованием алгоритма покоординатного спуска. Найденные коэффициенты равны: при , при , при , при , при , при , при . Зависимость между полученными коэффициентами и значениями колоколообразной функции представлены на рис. 6. На рис. 6 После выполнения всех этапов алгоритма были исключены переменные, , . Таким образом, полученная итоговая структура динамического объекта, описываемого дифференциальным уравнением третьего порядка (12), равна: что соответствует структуре разностного уравнения объекта (13), а непараметрическая модель имеет вид (14) Результаты моделирования с использованием формулы (14) представлены на рис. 7. Рис. 4. Зависимость величины значения ядерной колоколообразной функции от величины коэффициента размытости ядра Рис. 5. Результаты моделирования процесса (13) при значении k = 6 Рис. 6. Зависимость величины значений ядерной колоколообразной функции от величин полученных оптимальных коэффициентов размытости ядра Рис. 7. Результаты моделирования процесса (13) при использовании модели (14) Относительная ошибка моделирования равна W3 = 0,005. Рассмотрим процесс восстановления структуры модели для объекта с памятью. Пусть объект описывается следующим дискретным уравнением: (15) Выберем в качестве начального значения k = 4. Относительная ошибка моделирования, полученная на первой итерации, равна W0 = 0,105. Далее следует этап нахождения оптимальных коэффициентов: при , при , при , при , при . После исключения переменных и относительная ошибка моделирования сократилась до W2 = = 0,012, а параметрическая структура была найдена в виде что соответствует структуре дискретного уравнения (15). Заключение. В статье предложен алгоритм определения параметрической структуры линейного динамического объекта, основанный на применении правила выделения существенных переменных. Данный подход тесно связан с определением оптимальных коэффициентов размытости ядерной функции при использовании непараметрической модели функции регрессии по наблюдениям. В статье предлагается алгоритм, действие которого сводится к определению глубины памяти динамического объекта, которая представляет собой порядок старшей производной в соответствующем дифференциальном уравнении при проведении аналогии с описанием исследуемого процесса в непрерывном времени. Данный алгоритм состоит из нескольких этапов, включающих в себя определение оптимальных коэффициентов размытости, их отбор и построение итоговой модели. Одним из основных преимуществ предложенного алгоритма по сравнению с доминирующими на сегодняшней день методами восстановления параметрической структуры является тот факт, что разработанный непараметрический алгоритм более применим к задачам практики, так как способен работать в условиях малой априорной информации об объекте.

About the authors

A. V. Raskina

Siberian Federal University

Email: raskina.1012@gmail.com
79, Svobodny Av., Krasnoyarsk, 660041, Russian Federation

References

Supplementary files