ИССЛЕДОВАНИЕ RQ-СИСТЕМЫ | |1 С R-НАСТОЙЧИВЫМ ВЫТЕСНЕНИЕМ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ ЗАЯВОК

Полный текст

Введение. Применение классических моделей теории массового обслуживания для повышения надежности прогнозирования и обработки информации телекоммуникационных, вычислительных и экономических систем не всегда дает адекватные результаты. Поэтому для анализа и исследования таких систем используют более адекватные модели с повторной очередью (Retrial Queueing System). Между повторами заявки (клиенты) находятся в источнике повторных вызовов (ИПВ). Обзор работ по этой тематике приведен в работах [1-3]. Также модели с повторными вызовами широко применяются для проектирования и оптимизации информационно-коммуникационных систем различного уровня, цифровых сетей связи, управляемых протоколами случайного множественного доступа, в call-центрах, для оптимизации работы транспортных систем и во многих других областях. В данной работе рассматривается RQ-система с двумя входящими потоками и приоритетом заявок. Такая система массового обслуживания служит моделью протокола случайного множественного доступа космической сети связи с двумя потоками конкурирующих сообщений. В работах [4-11] рассматриваются системы с повторными вызовами, в которых 2 типа входящих заявок, которым назначаются приоритеты. Для рассматриваемых систем найдены основные вероятностно-временные характеристики. S. R. Chakravarthy, A. Dudin [12] рассматривают систему, в которой 2 типа входящих потоков (заявки 1 и 2 типов) и при этом назначается приоритет заявкам 1 типа, которые в дальнейшем образуют очередь, а заявки 2 типа уходят в ИПВ. Заявки также приходят пачками. Для данной модели найдено совместное распределение числа заявок в очереди и в ИПВ. В вышеуказанных работах приоритет рассматривается в том смысле, что какому-то одному типу заявок разрешается обслуживание в порядке приоритета, в то время как другим приходится находиться в ИПВ, ожидая обслуживания всех приоритетных заявок. Системам с приоритетами заявок, в классическом понимании, посвящено немало работ. Основные результаты могут быть найдены в [13-17]. В предлагаемой работе изучена система, в которой можно назначать приоритеты через вероятности. Постановка задачи. Рассмотрим RQ-систему с двумя входящими простейшими потоками (рис. 1), произвольным временем обслуживания и вытеснением альтернативных заявок. На вход RQ-системы поступают два простейших потока заявок с параметрами и соответственно. Если прибор свободен, то пришедшая заявка занимает прибор для обслуживания в течение случайного времени с функциями распределения и соответственно. Если в момент прихода заявка первого типа обнаруживает прибор занятым заявкой первого типа, то она уходит в ИПВ1 (источник повторных вызовов для заявок первого типа), где осуществляет случайную задержку, распределенную по экспоненциальному закону с параметром s1. После случайной задержки заявка вновь обращается к прибору с повторной попыткой его захвата. Если же в момент прихода заявка первого типа обнаруживает прибор занятым заявкой второго типа, то пришедшая заявка с вероятностью вытесняет заявку второго типа, которая уходит в ИПВ2, а сама встает на обслуживание, иначе с вероятностью 1 - r1 уходит в ИПВ1, где осуществляет случайную задержку. Если в момент прихода заявка второго типа обнаруживает прибор занятым заявкой первого типа, то пришедшая заявка с вероятностью вытесняет заявку первого типа, которая уходит в ИПВ1, а сама встает на обслуживание, иначе с вероятностью уходит в ИПВ2 (источник повторных вызовов для заявок второго типа), где осуществляет случайную задержку, распределенную по экспоненциальному закону с параметром s2. После случайной задержки заявка вновь обращается к прибору с повторной попыткой его захвата. ИПВ1 мат модель.png ИПВ2 Рис. 1. RQ-система || 1 Таким образом, происходит r-настойчивое вытеснение (r-persistent exclusion) альтернативных заявок. При обращении заявок из ИПВ1 и ИПВ2 r-настойчивое вытеснение происходит аналогичным образом. Обозначим - число заявок в ИПВ1, - число заявок в ИПВ2, определяет состояние прибора следующим образом: Ставится задача нахождения среднего числа заявок в ИПВ1, ИПВ2 и распределения вероятностей состояний прибора. Система уравнений Колмогорова. Так как процесс не является марковским, то рассмотрим процесс с переменным числом компонент. Если , то рассматриваем процесс . Если , , то рассматриваем процесс , где - остаточное время от момента до момента окончания обслуживания. Обозначим вероятность того, что прибор в момент времени находится в состоянии , в ИПВ1 находится заявок, в ИПВ2 находится заявок; , вероятность того, что прибор в момент времени находится в состоянии , в ИПВ1 находится заявок, в ИПВ2 находится заявок, остаточное время обслуживания меньше . Для распределения вероятностей применяя формулу полной вероятности, запишем равенства: Откуда прямая система дифференциальных уравнений Колмогорова имеет вид (1) Пусть в системе (1) Тогда систему запишем в стационарном режиме следующим образом: (2) Уравнения для частичных характеристических функций. В силу системы (2) запишем систему уравнений для частичных характеристических функций следующего вида: где - мнимая единица. Обозначим Запишем систему для частичных характеристических функций: (3) Аналитически данную систему решить затруднительно. Будем решать ее методом асимптотического анализа [18] в условии большой задержки (), полагая, что , . Асимптотическое решение системы (3). В системе (3) сделаем замены: Система (3) перепишется следующим образом: (4) Обозначим , - асимптотическое среднее значение числа заявок в m-м источнике повторных вызовов, , - распределение вероят-ностей состояний прибора. Ниже будет показано, что , определяется значениями , m = 1, 2, поэтому будем применять обозначение , . Сформулируем следующее утверждение. Теорема. Предельное (при , ) значение решения системы уравнений (4) имеет вид , , , где , являются решением системы уравнений (5) а , определяются равенствами , , (6) . - преобразования Лапласа-Стилтьесса от функций распределений и в точках и соответственно. Численная реализация. Были рассмотрены примеры численного решения системы (5) и численной реализации формул (6) для различных функций распределений , и различных значений параметров , и , . В частности, рассмотрены взвешенные суммы гамма- и экспоненциальных распределений , в которых заданы положительные параметры ,, ,, , и . Рассмотрим пример со следующими значениями параметров: ,, ,, ,, , . Значения вероятностей положим равными q1 = 0,5, , , . Таблица 1 Значения асимптотических средних числа заявок в источниках повторных вызовов λ1 λ2 0,2 0,4 0,6 0,8 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 0,4 0,069 0,085 0,657 1,461 0,594 2,483 0,6 0,947 0,643 0,367 0,699 2,796 5,879 0,8 0,367 0,244 1,047 1,447 1,0 0,732 0,397 3,151 2,825 1,2 1,467 0,641 1,4 3,378 1,122 1,6 Таблица 2 Распределение вероятностей состояний прибора λ1 λ2 0,2 0,4 0,6 0,8 R0 R1 R2 R0 R1 R2 R0 R1 R2 R0 R1 R2 0,4 0,60 0,19 0,21 0,37 0,19 0,44 0,10 0,21 0,69 0,6 0,50 0,27 0,23 0,26 0,28 0,46 0,05 0,36 0,59 0,8 0,40 0,37 0,23 0,16 0,40 0,44 1,0 0,31 0,46 0,23 0,08 0,53 0,39 1,2 0,22 0,56 0,22 1,4 0,14 0,68 0,18 1,6 В табл. 1 приведены значения асимптотических средних при различных значениях интенсивностей входящих потоков, в табл. 2 - распределение вероятностей состояний прибора. Незаполненные ячейки таблицы показывают те значения интенсивностей входящего потока, при которых стационарного режима в рассматриваемой системе не существует. Представляет интерес решение проблемы нахождения условий существования стационарного режима в рассматриваемой RQ-системе. Заключение. В данной работе была исследована RQ-система с двумя входящими простейшими потоками, произвольным распределением времени обслуживания и вытеснением альтернативных заявок методом асимптотического анализа в предельном условии большой задержки. Для нее получены уравнения для нахождения среднего числа заявок в первом и втором источниках повторных вызовов, стационарного распределения состояний прибора. В качестве примера времени обслуживания были рассмотрены взвешенные суммы гамма- и экспоненциальных распределений. Для конкретных значений параметров системы получены среднее число заявок в первом и втором источниках повторных вызовов и распределение вероятностей состояний прибора. Модифицирован метод асимптотического анализа для исследования RQ-систем с двумя входящими потоками и вытеснением заявок. Результаты выполненных исследований позволяют принимать управленческие решения для оптимизации функционирования космических сетей связи с целью предоставления более высокого приоритета для передачи важной или срочной информации. Считаем целесообразным исследовать RQ-системы с неэкспоненциальной задержкой заявок в ИПВ, что является принципиальным, так как в научной литературе по системам с повторной очередью такие модели не рассматриваются в силу того, что используемые там методы не позволяют выполнить такие исследования. Применение в данной работе модификации метода асимптотического анализа позволяет надеяться на положительный результат.

Об авторах

А. А. Назаров

Национальный исследовательский Томский государственный университет

Российская Федерация, 634050, г. Томск, просп. Ленина, 36

Я. Е. Измайлова

Национальный исследовательский Томский государственный университет

Email: evgenevna.92@mail.ru
Российская Федерация, 634050, г. Томск, просп. Ленина, 36

Список литературы

Дополнительные файлы