THE TECHNIQUE OF SYNTHESIS OF REGULATORS TO CONTROL OBJECTS OF THE SECOND ORDER

Full Text

Введение. Синтез регуляторов систем автоматического управления (САУ) - одна из основных предметных задач теории автоматического управления. Наибольшее распространение в САУ технологическими процессами получили пропорционально-интегрально-дифференцирующие (ПИД) регуляторы. Из многочисленных источников научной и технической литературы можно выделить следующие методы синтеза ПИД-регуляторов [1-10]: эмпирическая настройка; методы Зиглера-Никольса [1] и производные методы [2]; алгебраические методы; методы модального синтеза; методы синтеза в частотной области; методы оптимального синтеза; метод оптимальной ПФ замкнутой системы (технический и симметричный оптимумы). Основные тенденции развития методов синтеза ПИ- и ПИД-регуляторов представлены в книге Aidan O’Dwyer 2006 г. [7] (443 метода синтеза ПИД-регуляторов) и в издании Aidan O’Dwyer 2009 г. [8] (1731 метод синтеза ПИД-регуляторов). Одним из методов синтеза ПИД-регуляторов, активно развиваемый учеными, является модальный метод [3; 9]. В научных работах, посвященных синтезу регуляторов, отсутствуют соотношения, связывающие значения переходной характеристики и коэффициентов объекта управления с учетом расположения действительных полюсов. Наиболее распространенными для мобильных, строительных, дорожных, дорожно-строительных машин как объектов управления являются математические модели второго и более высокого порядка [9-13]. Исходное математическое описание системы и постановка задачи. Рассматривается линейная система автоматического управления с передаточной функцией (ПФ) объекта второго порядка. Передаточная функция объекта управления второго порядка и ПИД-регулятора имеют вид где - символ преобразования Лапласа; - коэффициенты соответственно пропорциональности, интегрирования и дифференцирования. При последовательном соединении ПФ объекта и ПИД-регулятора образуется разомкнутая система с ПФ следующего вида: ПФ замкнутой системы управления с единичной обратной связью Исходными данными для синтеза ПИД-регулятора САУ являются ПФ объекта управления второго порядка и заданные показатели качества: перерегулирование и время регулирования. Решается задача определения значений коэффициентов ПИД-регулятора , обеспечивающих заданные показатели качества по заданным ПФ объекта управления второго порядка и значениям действительных полюсов ПФ замкнутой системы управления. Вывод основных соотношений. ПФ замкнутой системы с ПИД-регулятором при задании действительных полюсов представим в виде (1) Введем обозначения с целью упрощения выражения (1): (2) С учетом обозначений (2) получим в области изображений для переходной характеристики замкнутой системы с ПИД-регулятором при задании значений действительных полюсов Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет третий порядок. При известных заданных значениях действительных полюсов Это уравнение имеет следующий вид: (3) Выполнив операцию Collect программы MathCAD, обеспечивающей замену выражения (3) выражением, скомплектованным по базису переменной, получим следующее выражение: К такому виду приводится характеристическое уравнение корректируемой системы: (4) Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях s, получим следующие равенства: (5) Определим установившееся значение переходной характеристики при задании действительных полюсов в соответствии с теоремой предельного перехода: тогда установившееся значение (6) В соответствии с равенством (5) (7) подставляя (7) в (6), получим (8) Полученный результат (8) подтверждает, что рассматриваемая замкнутая система управления является астатической относительно входного воздействия. Определим начальное значение переходной характеристики в соответствии с теоремой предельного перехода для случая задания действительных полюсов: т. е. Доказано, что для рассматриваемой задачи синтеза ПИД-регулятора системы управления с ОУ второго порядка справедливо условие при установившемся значении . Это выражение не зависит от типа заданных полюсов. Таким образом, значение переходной характеристики замкнутой системы с ПИД-регулятором изменяется во времени от до . При этом если значение , то начальное значение переходной характеристики . Очевидно, что при некотором значении войдет в 5%-ную зону установившегося значения. Это свидетельствует о возможности значительного уменьшения времени переходного процесса при не равном 0. Определение составляющих переходной характеристики замкнутой САУ с ОУ второго порядка. Определим составляющие переходной характеристики замкнутой системы с ПИД-регулятором при задании действительных полюсов в среде программы MathCAD: Обозначим установившееся значение в соответствии с (6) тогда составляющая hη1(t), обусловленная полюсом s1 = -η1, (9) составляющая hη2(t), обусловленная полюсом s2 = -η2, (10) составляющая hη3(t), обусловленная полюсом s3 = -η3, (11) Таким образом, для случая действительных полюсов выражение переходной характеристики h(t) примет следующий вид: (12) Методика синтеза ПИД-регулятора для случая действительных полюсов. Значения всех трёх полюсов являются действительными: Представим равенства (5) в виде системы уравнений, в которой неизвестными являются значения коэффициентов ПИД-регулятора: (13) Введем обозначения с целью представления системы уравнений (13) в матричной форме: (14) С учетом обозначений (14) сформируем матрицы: (15) где и - матрица и вектор-столбец известных параметров объекта управления и заданных значений действительных полюсов соответственно; - вектор-столбец искомых значений коэффициентов ПИД-регулятора. Матричное уравнение для определения искомых значений коэффициентов регулятора имеет вид а его решение представляется в виде Система уравнений (5) значительно упрощается при В этом случае формулы для определения значений коэффициентов ПИД-регулятора имеют следующий вид: (16) Получены выражения для расчета коэффициентов ПИД-регулятора, включающие коэффициенты ПФ объекта второго порядка при заданных значениях действительных полюсов. Выполнена проверка рассмотренной методики на конкретном примере. Пример 1. Задан объект управления второго порядка с ПФ Требуется синтезировать ПИД-регулятор, который обеспечит переходную характеристику без перерегулирования, а время регулирования tp = 3 c. Для реализации метода синтеза применены зависимости (11), (12). Расчеты выполнены в среде программы MathCAD. Исходные данные для действительных значений полюсов: значение определено с учетом желаемого времени регулирования, равного 3 с, и расчета по известной приближенной формуле [14-16]: где - действительная часть полюса, наиболее приближенного к мнимой оси корневой плоскости; значения и определяются из требуемого значения перерегулирования и влияния этих полюсов на полюс Для заданных действительных полюсов определены коэффициенты ПИД-регулятора Установившееся значение Выполнено моделирование переходного процесса для периода времени t = 0-5 с, шаг 0,001 с. Cоставляющие , , обусловленные действительными полюсами , , определяются по зависимостям (9)-(11). Переходная характеристика при заданных действительных полюсах получена по выражению (12). При получим Начальное значение переходной характеристики На рис. 1 представлен график переходной характеристики замкнутой САУ с синтезированными параметрами ПИД-регулятора. Пример 2. Исследование переходного процесса при изменении значения полюса . Для исследования влияния на переходный процесс системы заданного значения действительного полюса в диапазоне 1-4 проведено моделирование для периода времени На рис. 2 представлен график переходной характеристики замкнутой САУ с синтезированными параметрами ПИД-регулятора при заданных значениях полюса . Пример 3. Исследование переходного процесса при изменении значения коэффициента ПФ объекта управления. Для исследования влияния на переходный процесс системы значения коэффициента ПФ объекта управления в диапазоне 0,10-0,80 проведено моделирование для периода времени Результаты моделирования переходного процесса замкнутой САУ с синтезированными параметрами ПИД-регулятора приведены на рис. 3 при заданных значениях коэффициента ПФ ОУ. Получены следующие оценки переходной характеристики с учетом 5%-ной зоны: время регулирования: при ; при ; при ; при ; при ; при ; при ; при . Рис. 1. График переходной характеристики синтезированной системы с заданными действительными полюсами Рис. 2. Графики переходной характеристики синтезированной системы с заданными действительными полюсами при значениях полюса Рис. 3. Графики переходной характеристики синтезированной системы с заданными полюсами при значениях коэффициента ПФ объекта управления в диапазоне 0,10-0,80 Увеличение значения коэффициента ПФ ОУ больше 0,7 приводит к появлению перерегулирования. При значении коэффициента равном 0,8, переходная характеристика начинается с , появляется перерегулирование. Полученные результаты показывают возможность прогнозирования коэффициентов ПФ ОУ с учетом значений коэффициентов ПИД-регулятора. В соответствии с разработанной методикой синтеза ПИД-регулятора переходный процесс носит апериодический характер. При известном значении , заданных параметрах объекта второго порядка и действительных полюсов в рассмотренном в примере время переходного процесса, исходя из условия 5%-ной зоны установившегося значения, равно 0 с. Заключение. Предложен метод модального синтеза параметров ПИД-регулятора по заданным значениям параметров объекта второго порядка и действительных полюсов замкнутой системы управления. Методика синтеза реализована в программной среде MathCAD. Имитационное моделирование показало, что при некотором значении не равном 0, начальное значение переходной характеристики войдет в 5%-ную зону установившегося значения. Это свидетельствует о возможности значительного уменьшения времени переходного процесса.

About the authors

A. P. Prokopev

Siberian Federal University

Email: prok1@yandex.ru
79, Svobodny Av., Krasnoyarsk, 660041, Russian Federation

V. I. Ivanchura

Siberian Federal University

79, Svobodny Av., Krasnoyarsk, 660041, Russian Federation

R. T. Emelyanov

Siberian Federal University

79, Svobodny Av., Krasnoyarsk, 660041, Russian Federation

L. V. Scurihin

Siberian Federal University

79, Svobodny Av., Krasnoyarsk, 660041, Russian Federation

References

Supplementary files