НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ ВОССТАНОВЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ

Полный текст

Введение. При решении задач практики встреча- ется необходимость в восстановлении случайных по- лей по зашумленным данным. Восстанавливаемое поле представляет собой неизвестную стохастиче- скую зависимость между входными и выходными переменными. Общая схема восстанавливаемого слу- чайного поля представлена на рис. 1. Рис. 1. Общая схема восстанавливаемого случайного поля Fig. 1. General scheme of a random field being restored На рис. 1 приняты следующие обозначения: А - неизвестный оператор, влияющий на внешний вид поля; x(t) - выходная переменная; u(t) - входная ин- формация; ξ(t) - случайное воздействие; (t) - непре- рывное время; Hu, Hx - каналы связи, соответствую- щие различным переменным, включающие в себя средства контроля, приборы для измерения наблю- даемых переменных; ut, xt - означают измерение u(t), x(t) в дискретное время; hu(t), hx(t) - случайные поме- хи измерений соответствующих переменных. Восстановление случайного поля относится к задаче идентификации стохастического процесса. Алгоритм восстановления случайного поля существенно зависит от имеющейся априорной информации о процессе. Уровни априорной информации. Рассмотрим процессы с различным уровнем априорной информа- ции [1; 2]: 1. Процессы с параметрической неопределенно- стью. Параметрический уровень априорной информа- ции предполагает наличие параметрической структу- ры модели и некоторых характеристик случайных помех, обычными из которых являются нулевое ма- тематическое ожидание и ограниченная дисперсия. Для оценки параметров используются чаще всего раз- нообразные итеративные вероятностные процедуры. При этих условиях решается задача идентификации в узком смысле (идентификация в узком и широком смыслах рассматривалась авторами ранее в работах [3-6]). 2. Процессы с непараметрической неопределенно- стью. Непараметрический уровень априорной инфор- мации не предполагает наличие модели, но требует наличие некоторых сведений качественного характера о процессе, например, однозначность либо неодно- значность его характеристик, линейность для динами- ческих процессов либо характер его нелинейности. Для решения задач идентификации на этом уровне априорной информации (идентификация в широком смысле) применяются методы непараметрической статистики. 3. Процессы с параметрической и непараметриче- ской неопределенностью. Важными с точки зрения практики являются задачи идентификации много- связных систем в условиях, когда объем исходной информации не соответствует ни одному из выше- описанных типов. Например, для отдельных характе- ристик многосвязного процесса на основании энерге- тических либо физико-химических закономерностей, закона сохранения массы, балансовых соотношений могут быть выведены параметрические закономерно- сти, а для других - нет. Таким образом, мы находимся в ситуации, когда задача идентификации формули- руется в условиях и параметрической, и непарамет- рической априорной информации. Тогда и модели представляют собой взаимосвязанную систему пара- метрических и непараметрических соотношений. Непараметрическая оценка функции регрессии. В качестве непараметрического алгоритма восстанов- ления случайных полей предложен алгоритм непара- метрической оценки функции регрессии [7; 8], осно- ванный на методе ядерного сглаживания [9-12]. Основная идея ядерного сглаживания заключается в следующем: вокруг аппроксимирующей точки стро- ится прямоугольник, каждому элементу выборки на- значается вес (чем больше расстояние между элемен- том выборки и точкой построения прогноза, тем меньше вес), а затем происходит усреднение взве- шенных значений. В случае использования регрессии нулевого порядка взвешенные значения последова- тельности, попавшие в ядро, усредняются. Ядерная оценка плотности использует те же прин- ципы, что и ядерное сглаживание, однако её алгоритм имеет некоторые особенности. Рассмотрим выраже- ние, определяющее процедуру оценки функции в точ- ке u: n å fi Φ((u - ui ) / cs ) h n fˆ (u ) = i=1 , (1) åΦ((u - ui ) / cs ) i=1 где x - последовательность длиной n; cs - коэффици- ент сглаживания; Ф - ядерная функция. Ядерная функция Ф(*)удовлетворяет следующим условиям: влияние оказывают промышленные предприятия, ко- торые находятся непосредственно в селитебных зо- lim 1 +¥ æ t - t ö ò i Φç ÷ dt = 1, cs -¥ è cs ø ( ) i ( ) 1 +¥ æ t - t ö ò j t Φç ÷ dt = j ti . (2) (3) нах, и насыщенный транспортный поток. Высокая концентрация источников энергетическо- го и химического воздействия и скорость накопления загрязнений на сегодняшний день значительно превышают возможности самоочищения атмосферы, что cs ®0 cs -¥ è cs ø ведет ко многим отрицательным последствиям, в том Как следует из выражения (1), плотность в точке u вычисляется как сумма значений ядра для величин, определяемых разностями между значением u и зна- чениями последовательности. При этом точки u, в которых вычисляется плотность, могут не совпадать со значениями элементов выборки. Постановка задачи оценки экологической си- туации в городе Красноярске. В качестве примера восстановления случайного поля с использованием непараметрических алгоритмов был взят процесс восстановления поля распределения загрязняющих веществ в атмосферном воздухе города Красноярска. Оценка качества атмосферного воздуха и прогноз его изменения, организация рациональной системы природопользования, главной задачей которой явля- ется поиск и разработка путей оптимизации взаимо- действия общества с окружающей природной средой, являются приоритетными направлениями в области обеспечения экологической безопасности городской среды [13-15]. Проблема обеспечения чистоты воз- душного бассейна является особо важной, так как представляет угрозу здоровью человека и всей окру- жающей среде в целом. В городской среде источники загрязнения атмосферы многообразны, а состав вы- бросов отличается многокомпонентностью. На эко- логическое состояние города Красноярска основное числе к высоким уровням заболеваемости населения, снижению качества жизни и т. п., поэтому изучение процессов, происходящих в атмосфере, контроль и выявление источников, принятие мер к снижению загрязнения или его полному устранению можно счи- тать жизненно важной задачей. Моделирование пространственного распростране- ния загрязняющих веществ в воздухе городской сре- ды является необходимым этапом при разработке управленческих решений в области управления качест- вом экологических систем. В работах [3-6] авторами выполнены сценарные расчеты содержания оксида азота, формальдегида и оксида углерода в атмосферном воздухе города Красноярска. В качестве входных данных использо- вались время, широта, долгота, направление и ско- рость ветра, в качестве обучающей выборки были взяты данные со стационарных постов наблюдения за загрязнением атмосферы Среднесибирского УГМС. Распределение их на территории города рассматрива- лось в работах [3; 4] и представлено на рис. 2. Циф- рами указаны порядковые номера постов наблюдения согласно плану города. Для моделирования содержа- ния примесей в атмосферном воздухе города был использован непараметрический метод ядерной ап- проксимации. Рис. 2. Расположение основных постов наблюдения за загрязнением атмосферы в городе Красноярске Fig. 2. Arrangement of the main posts of observation in Krasnoyarsk Рис. 3. Расположение дополнительных постов наблюдения за загрязнением атмосферы в городе Красноярске Fig. 3. Arrangement of additional posts of observation in Krasnoyarsk Предложенный метод моделирования экологи- ческой обстановки. В основу предложенной в работе модели положен метод непараметрической оценки функции регрессии. Предложенная модель дополни- тельно учитывает плотность застройки города, для определения которой использовались спутниковые Φ1 (u ) = exp (-u / 2); 1 2 Φ2 (u ) = ìï1- u , если u £ 1, í î ï0, если u >1. (5) (6) снимки и алгоритм выделения граней, и включает в себя две составляющие: модель, построенную на осно- вании данных основных стационарных постов наблю- дения за загрязнением атмосферы [3-6], и модель, построенную на основании данных с семи дополни- тельных автоматизированных постов региональной наблюдательной сети подсистемы мониторинга за- грязнения атмосферного воздуха КГБУ «Центр реали- зации мероприятий по природопользованию и охране окружающей среды Красноярского края», распреде- ление которых по территории города представлено на рис. 3. После разработки этих составляющих они были объедены в единую модель распространения примесей в атмосферном воздухе. Чтобы при построении прогноза в любой точке использовались данные со всех постов наблюдения (так как число наблюдений в единицу времени неве- лико), в качестве ядерной функции для широты и дол- готы измерения была использована гауссова ядерная функция, так как данная функция не обращается в 0. Также были учтены направление и скорость ветра. Изменяя коэффициенты размытости ядер cs1 и cs2, можно менять форму «колокола», под который будут попадать точки для построения модели [1-6; 9]. Модель, основанная на данных дополнительных постов наблюдения, имеет следующий вид: xdin = d( p , b ) ´ Модель, основанная на данных основных стационарных постов наблюдения [3-6], имеет следующий m din s+1 1,s+1 2,s+1 æ p1,s+1 - p1,i ö æ b2,s+1 - b2,i ö æ ts+1 - ti ö вид: å xi Φ1 ç c ÷Φ1 ç c ÷Φ2 ç c ÷ (7) xst = d(u , u ) ´ ´ i=1 è s1 ø è s 2 ø è s3 ø , s+1 1,s+1 2,s+1 m æ p - p ö æ b - b ö æ t - t ö s åΦ ç 1,s+1 1,i ÷Φ ç 2,s+1 2,i ÷Φ ç s+1 i ÷ st æ u1,s+1 - u1,i ö æ u2,s+1 - u2,i ö æ ts+1 - ti ö 1 c 1 c 2 c å xi Φ1 ç c ÷Φ1 ç c ÷Φ2 ç c ÷, (4) i=1 è s1 ø è s 2 ø è s3 ø ´ i=1 è s1 ø è s 2 ø è s3 ø где p - долгота точки измерения; b - широта точки s Φ æ u1,s+1 - u1,i öΦ æ u2,s+1 - u2,i öΦ æ ts+1 - ti ö 1,i 2,i å 1 ç c ÷ 1 ç c ÷ 2 ç c ÷ измерения; ti - время измерения; i= 1,s - номер i=1 è s1 ø è s 2 ø è s3 ø измерения; m - величина выборки; δ(p1,s+1, b2,s+1) - где u1,i - долгота точки измерения; u2,i - широта точки плотность застройки в прогнозируемой точке (безизмерения; ti - время измерения; i= 1,s - номер изразмерный параметр, задаваемый исследователем, мерения; s - величина выборки; δ(u1,s+1, u2,s+1) - плот- ность застройки в прогнозируемой точке (безразмер- ный параметр, задаваемый исследователем, начинает- ся с 1); Ф1 - гауссова ядерная функция; Ф2 - треуголь- ная ядерная функция: начинается с 1). В обучающую выборку вышерассмотренных мо- делей входят только те данные с постов наблюдения за загрязнением атмосферы, которые были получены в том же месяце, в котором необходимо сделать прогноз, чтобы отследить разницу между временами года. Объединяя модели, основанные на данных основ- ных стационарных (4) и дополнительных (7) постов наблюдений, была получена итоговая модель для оценки экологической ситуации в городе Красноярске: å x sv + x dvå s m st din i i i i ны результаты моделирования по диоксиду азота, пы- ли и формальдегиду. Распределение концентраций NО2 в Красноярске по результатам математического моделирования представлено на рис. 4. Согласно выполненным расчетам наибольшие уровни загрязнения наблюда- ются в Центральном и Советском районах города, что объясняется наибольшей плотностью автотрансxst = d(u , u ) i=1 i=1 , (8) портных потоков. Тёмным цветом отображена обs+1 1,s+1 2,s+1 s m ласть с наибольшей концентрацией диоксида азота å svi + å dvi С > 0,053мг/м3, серым цветом - область с конценi=1 i=1 NO2 3 где æ p - p ö æ b - b ö æ - ö трацией СNO2 > 0,046 мг/м , предельно допустимая среднесуточная концентрация по диоксиду азота 1 i 1 dv = Φ ç 1,s+1 1,i ÷Φ ç 2,s+1 2,i ÷Φ ç ts+1 ti ÷, (9) составляет Спдксс= 0,04 мг/м3. 2 è c s1 ø è cs 2 ø è cs3 ø i 1 ç c ÷ 1 ç c ÷ 2 ç c ÷. sv = Φ æ u1,s+1 - u1,i öΦ æ u2,s+1 - u2,i öΦ æ ts+1 - ti ö è s1 ø è s 2 ø è s3 ø (10) Распределение концентраций пыли в городе Крас- ноярске по результатам математического моделиро- вания представлено на рис. 5. Превышение установ- ленного норматива объясняется возникающим над городом куполом тепла, который способствует улав- Результаты моделирования. С помощью предложенной модели были выполнены сценарные расче- ты содержания различных примесей в атмосферном воздухе города Красноярска. На рис. 4-6 представлеливанию различных загрязнителей, особенно неболь- ших твердых частиц, наибольшие значения концен- траций наблюдаются в Железнодорожном и Цен- тральном районах. Рис. 4. Пространственное распределение NО2 в городе Красноярске 18.03.2014 г. (расчетные данные) Fig. 4. Distribution of NО2 in Krasnoyarsk, 18.03.2014 (mathematical model) Рис. 5. Пространственное распределение пыли в городе Красноярске 15.02.2014 г. (расчетные данные) Fig. 5. Distribution of dust in Krasnoyarsk, 15.02.2014 (mathematical model) Рис. 6. Пространственное распределение формальдегида в городе Красноярске 19.06.2014 г. (расчетные данные) Fig. 6. Distribution of formaldehyde in Krasnoyarsk, 19.06.2014 (mathematical model) Тёмным цветом отображена область с наибольшей концентрацией пыли Спыли > 0,38 мг/м3, серым цветом отображена область со средней концентрацией 0,38мг/м3 > Спыли > 0,28 мг/м3, предельно допустимая среднесуточная концентрация по взвешенным веще- ствам составляет Спдксс = 0,15мг/м3. Распределение концентраций формальдегида в го- роде Красноярске по результатам математического моделирования представлено на рис. 6. Формирование высоких концентраций формальде- гида в атмосфере происходит в основном вследствие протекания окислительно-восстановительных реакций с участием метана, продуктов природного топлива, оксидов азота. При этом, чем выше температура воз- духа, тем интенсивнее протекают реакции и выше концентрация формальдегида. На рис. 6 темным цве- том отображена область с концентрацией формальде- гида Сформ > 0,062 мг/м3, серым цветом - область с концентрацией Сформ > 0,052 мг/м3, предельно допустимая среднесуточная концентрация по фор- мальдегиду составляет Спдксс = 0,01 мг/м3, т. е. наблю- дается значительное превышение установленного норматива практически во всех районах города. Наи- более высокие концентрации вещества наблюдаются в часы пик или в условиях фотохимического смога. Для оценки точности модели использовался метод скользящего экзамена, при котором последовательно каждая i-я точка исходной обучающей выборки при- нимается в качестве контрольной ситуации с после- дующим исключением её из процесса обучения, и по оставшейся части строится дерево, с помощью кото- рого и осуществляется прогнозирование. Результаты расчетов согласуются с данными натурных наблюде- ний, т. е. разработанная модель в общей мере отража- ет экологическую ситуацию в городе. По результатам проверки вышеописанным методом использование параметра плотности застройки улучшило качество построенной модели на 10-15 %. Для оценки эффективности алгоритма моделиро- вания использовалось значение ошибки модели, кото- рое рассчитывалась по следующему алгоритму: - построенная модель экологической обстановки с использованием данных всех постов наблюдения (как основных, так и дополнительных) принимается за истину; - поочередно исключается из модели по одному стационарному основному посту и рассчитывается, насколько модель стала грубее; - усредняются полученные результаты снижения точности модели. Усовершенствование модели с помощью учёта данных с семи дополнительных автоматизированных постов региональной наблюдательной сети монито- ринга загрязнения атмосферного воздуха КГБУ «Центр реализации мероприятий по природопользованию и охране окружающей среды Красноярского края» по- зволило улучшить качество прогноза на 20-23 %. Заключение. Настоящее исследование открывает перспективу формулировки и решения различных задач, имеющих непосредственное отношение к эко- логии города. Очевидна необходимость дальнейшего развития данного направления. Несмотря на очевид- ные преимущества передвижных постов наблюдения перед стационарными, на данный момент не сущест- вует единого способа построения их маршрутов. Да- лее авторами планируется разработка маршрутов движения передвижных постов наблюдения, что бу- дет способствовать сокращению времени на принятие управленческих решений в области обеспечения каче- ства экологических систем и, как следствие, сокраще- нию уровня загрязнения атмосферного воздуха в го- роде.

Об авторах

Е. Н. Бельская

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева

Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

А. В. Медведев

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева

Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

Е. Д. Михов

Сибирский федеральный университет

Email: edmihov@mail.ru
Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, просп. Свободный, 79

О. В. Тасейко

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева

Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

Список литературы

Дополнительные файлы