ON NONPARAMETRIC MODELING SPINNING SYSTEMS WITH DELAY

全文:

Введение. Идентификация многомерных стохас- понент соответствующего вектора, в частности тических процессов является довольно актуальной проблемой для многих технологических производст- венных процессов дискретно-непрерывного характе- ра. В многочисленных многомерных реальных про- цессах выходные переменные доступны измерению не только в различные моменты времени, но и через длительное время. x< j> (t ) = (u (t ), u (t ), x (t ), x (t )) , либо другой набор. При этом основной особенностью моделирования подобного процесса в условиях непараметрической неопределенности является тот факт, что вид функций (1) неизвестен. В этом случае система уравнений (1) может быть представлена в следующем виде: На практике это часто означает, что контроль не- Fˆ (u< j> (t ), x< j > ( ) . . = 0, j = 1, n , (3) которых компонент вектора выходных переменных значительно превышает постоянную времени объекта. Это приводит к тому, что динамические по своему j где , . . xs us t , xs , us ) - временные векторы (набор данных, похарактеру процессы вынуждены рассматриваться как ступивший к s-му моменту времени), в частнобезынерционные с запаздыванием. сти, xs = (x1, …, xs ) = (x11, x12 , …, x1s , …, x21 , x22 , …, Настоящая статья посвящена задачам идентификации процессов, выходные переменные которых стоx2 s , …, xn1 , xn2 , …, xns ) , но и в этом случае хастически зависимы заранее неизвестным образом. Fˆj (×), j = 1, n , продолжают оставаться неизвестными. Такого рода процессы в дальнейшем и называются Т-процессами [1]. А задача идентификации в данном случае состоит в построении Т-моделей многомерных статистических объектов. Следует обратить внимание на то, что термин «процессы» ниже рассматривается не как процессы вероятностной природы, например, изложенные в [2], такие как стационарные, гауссовские, марковские и др. Ниже речь пойдет о Т-процессах, реально проте- кающих или развивающихся во времени. В частности, это технологический процесс, производственный, экономический процесс, процесс выздоровления че- ловека и многие другие. Данные процессы впервые были упомянуты А. В. Медведевым [3]. Т-модели. Система уравнений, описывающая Т-процессы, в общем виде может быть представлена следующим образом [4]: Fj (u (t ), x (t )) = 0, j = 1, n , (1) где u (t ) - вектор входных переменных; x (t ) - век- тор выходных переменных. Но на практике часто имеет место ситуация, когда на основании априорной информации система уравнений (1) может быть пред- ставлена в виде j F (u< j> (t ), x< j> (t )) = 0, j = 1, n , (2) В теории идентификации подобные задачи не только не рассматриваются, но и не ставятся. Чаще всего идут по пути выбора параметрической структуры (1), но, к сожалению, преодоление этого этапа затруднено из-за недостатка априорной информации [5; 6], и требуется длительное время для определения пара- метрической структуры, т. е. представления модели в виде j F (u< j> (t ), x< j> (t ), a) = 0, j = 1, n , (4) где a - вектор параметров. Далее следует процедура оценки параметров по элементам обучающей выборки ui , xi , i = 1, s , с последующим решением системы не- линейных взаимосвязанных соотношений (4). Успех построения модели в данном случае будет зависеть от качественной параметризации системы (4) [7; 8]. В дальнейшем рассмотрим задачу построения Т-моделей в условиях непараметрической неопреде- ленности, т. е. в условиях, когда система (3) не из- вестна с точностью до параметров [4; 9]. Вычислительный эксперимент. Для вычисли- тельного эксперимента был взят простой много- мерный объект с пятью входными переменными u (t ) = (u1 (t ), u2 (t ), u3 (t ), u4 (t ), u5 (t )) , принимающими случайные значения в интервале u (t )Î[0; 3] , где u< j> (t ), x< j> (t ) - составные векторы. Составной и четырьмя выходными переменными x (t ) = ( x1 (t ), x2 (t ), x3 (t ), x4 (t)) , принимающими знавектор - это вектор, составленный из некоторых комчения в следующих интервалах: x1 (t) Î[-2; 15] , где j = 1, n, , < m > - размерность составного вектора x2 (t) Î[-0,8; 33] , x3 (t) Î[-0, 7; 28], x4 (t) Î[-12; 47]. uk , < m > £ m , в дальнейшем это обозначение ис- Для данного объекта сформируем выборку входных и выходных переменных исходя из системы уравнений пользуется и для других переменных. Колоколооб- æ u¢ - u [i] ö (уравнение выбрано произвольно, но для алгоритма идентификации они неизвестны): разные функции Фç k k ÷ k c è su ø и параметр размыто- ìx1 (t ) - 2u2 (t ) + u5 (t ) - 0, 3x2 (t ) = 0; ï сти csu удовлетворяют некоторым условиям сходи- í 2 1 3 1 ïx (t ) - u3 (t ) - 0, 3u (t ) - 0, 5x (t ) = 0; ïx3 (t ) - u4 (t ) - - 0, 2x4 (t ) = 0; k (5) мости и обладают следующими свойствами: Ф(×) < ¥ ; ï 2 c s i ò ïîx4 (t ) - u2 + u3 (t ) - 0, 4x3 (t ) = 0. s s i i Система уравнений (5) не является описанием реаль- -1 s W(u ) Ф(c-1 (u - u ))du = 1; ного процесса, она принята только в данном вычисли- тельном эксперименте. Данная система вводится lim s®¥ c-1Ф(c-1 (u - u )) = δ(u - u ) ; для того, чтобы провести вычислительный эксперимент и сравнить результаты оценок компонент вектора выхоlim s®¥ cs = 0, lims®¥ scs = ¥ [11]. да, которые получатся с помощью Т-модели, с истин- ными значениями, известными из системы (5). Данная система приведена только для исследования. Если бы мы имели дело с реальной задачей, то обучающая и тестовая выборка были бы получены при многочисленных Также можно представить невязки в виде следую- щей системы: ï 1 Fx1 1 2 2 5 ìε (i) = ⌢ ( xi (t ), xi (t ), ul (t ), ul (t )); ïε i = ⌢ i i l l опытах, проводимых с изучаемым объектом [10]. ï 2 ( ) Fx 2 (x1 (t ), x2 (t ), u1 (t ), u3 (t )); Таким образом, решая систему (5) относительно íε i = ⌢ i i l l (8) x (t ) = ( x1 (t ), x2 (t ), x3 (t ), x4 (t)) , получим обучающую ï 3 ( ) ï Fx3 (x3 (t ), x4 (t ), u4 (t ), u5 (t )); ⌢ ïîε (i ) = F (xi (t ), xi (t ), ul (t ), ul (t )). выборку ui , xi , i = 1, s . Далее необходимо решить систему (5). Для этого необходимо решить ее относи- тельно x (t ) при известных значениях u (t ) , при этом значения u (t ) могут быть сформированы случайным 4 x 4 3 4 2 3 Соответственно, каждая невязка соответствует кон- кретному выходу объекта. Для данного эксперимента будем менять параметр размытости cs . Параметр размытости будет лежать образом из указанных выше интервалов: ì ⌢ в интервале cs Î[0, 3; 1, 2]. Объем выборки зададим Fx1 ( x1 (t ), x2 (t ), u2 (t ), u5 (t )) = 0; s = 1000 . Для каждого выхода объекта ( ï ⌢ ïFx2 í ⌢ x1 (t ) , x2 (t ) , u1 (t ) , u3 (t )) = 0; (6) x1 (t ), x2 (t ), x3 (t ), x4 (t ) ных значений. приведем графики прогноз- ï ⌢ ïFx3 ( x3 (t ), x4 (t ), u4 (t ), u5 (t )) = 0; ïîFx4 ( x3 (t ), x4 (t ), u2 (t ), u3 (t )) = 0. Таким образом, при известных значениях u (t ) = (u1 (t ), u2 (t ), u3 (t ), u4 (t ), u5 (t )) необходимо дать оценку значений выходных переменных. Это является основным итогом решения задачи идентификации. Конечно, хотелось бы назвать систему уравнений (5) моделью исследуемого процесса, но это не так, по той простой причине, что функции F ( x) неизвестны. Именно поэтому в качестве Т-модели выступает цепочка соответствующих непараметрических статистик. Для начала вычисляются невязки для каждого ком- понента вектора выхода по следующей формуле [4]: Так как объем выборки большой и чтобы наглядно было видно, приведем на графике прогнозные значе- ния выхода модели с частотой через каждые 50 точек выборки. На рис. 1-4 точками обозначен объект, а крести- ками обозначена модель объекта. Приведенные рис. 1-4 показывают истинные зна- чения выходных переменных и их прогнозные значе- ния. Как видно, истинные значения и прогнозные зна- чения компонент вектора выхода дают довольно точ- ный результат. Это свидетельствует о высокой точно- сти Т-модели. εj j j Второй эксперимент проведем с помехой 10 %. При этом помеха будет накладываться на значения компоненты вектора выхода объекта. Для данного j ε (i) = F (u< j> , x (i )) = x (i) эксперимента, как и в первом случае, будем менять s <n> æ u¢ - u [i] ö параметр размытости cs и процент помехи. Объем å x j [i]ÕФç k k ÷ (7) выборки зададим s = 1000 . Для каждого выхода приk - i=1 k =1 è csu ø , ведем графики x (t ), x (t ), x (t ), x (t ) . s <n> æ u¢ - u [i] ö 1 2 3 4 k ç ÷ åÕФ k k i=1 k =1 è csu ø На рис. 5-8 точками обозначен объект, а крести- ками обозначена модель объекта. Рис. 1. Прогноз значений выходной переменной x1 без помех, при s = 1000 и cs = 0,3 Fig. 1. Prediction of values of output variable x1 , without interference, at s = 1000 and cs = 0,3 Рис. 2. Прогноз значений выходной переменной x2 без помех, при s = 1000 и cs = 0,3 Fig. 2. Prediction of values of output variable x2, without interference, at s = 1000 and cs = 0,3 Рис. 3. Прогноз значений выходной переменной x3 без помех, при s = 1000 и cs = 0,3 Fig. 3. Prediction of values of output variable x3, without interference, at s = 1000 and cs = 0,3 Рис. 4. Прогноз значений выходной переменной x4 без помех, при s = 1000 и cs = 0,3 Fig. 4. Prediction of values of output variable x4, without interference, at s = 1000 and cs = 0,3 Рис. 5. Прогноз значений выходной переменной x1 при s = 1000 и cs = 0,3 , помеха 10 % Fig. 5. Prediction of values of output variable x1 , at s = 1000 and cs = 0,3 , interference 10 % Рис. 6. Прогноз значений выходной переменной x2 при s = 1000 и cs = 0,3 , помеха 10 % Fig. 6. Prediction of values of output variable x2, at s = 1000 and cs = 0,3 , interference 10 % Рис. 7. Прогноз значений выходной переменной x3, при s = 1000 и cs = 0,3 , помеха 10 % Fig. 7. Prediction of values of output variable x3, at s = 1000 and cs = 0,3 , interference 10 % Рис. 8. Прогноз значений выходной переменной x4, при s = 1000 и cs = 0,3 , помеха 10 % Fig. 8. Prediction of values of output variable x4, at s = 1000 and cs = 0,3 , interference 10 % На рис. 5-8 показаны истинные значения выход- ных переменных и прогнозные значения выходных переменных. Как можно заметить из графиков, при помехе 10 % некоторые точки выборки отклоняются от истинных значений. Возможно, это происходит из- за того, что присутствует 10 %-я помеха и на вход могут поступать некорректные значения. Также для сравнения увеличим объем выборки s = 2000 . Как и в предыдущих экспериментах, будем менять параметр размытости cs . Параметр размытости будет лежать в интервале cs Î[0, 3; 1, 2]. Также для наглядности для каждого выхода при- ведем графики x1 (t ), x2 (t ), x3 (t ), x4 (t ) . И то же проделаем с помехой 10 % для каждого из выходов. На рис. 9-16 точками обозначен объект, а крести- ками обозначена модель объекта. Как можно заметить из приведенных графиков, с увеличением помехи до 10 % объект отклоняется от модели. А при увеличении объема выборки точ- ность прогноза увеличивается. Заключение. В данной работе была рассмотрена задача идентификации безынерционных многомер- ных объектов с запаздыванием при неизвестных стохастических связях компонент вектора выхода [12-14]. Проведенные вычислительные эксперименты показали высокую эффективность Т-моделиро- вания. Также при моделировании были произведе- ны эксперименты с различным объемом выборки и помехами [15]. Рис. 9. Прогноз значений выходной переменной x1 без помех, при s = 2000 и cs = 0,3 Fig. 9. Prediction of values of output variable x1 , without interference, at s = 2000 and cs = 0,3 Рис. 10. Прогноз значений выходной переменной x2 без помех, при s = 2000 и cs = 0,3 Fig. 10. Prediction of values of output variable x2, without interference, at s = 2000 and cs = 0,3 Рис. 11. Прогноз значений выходной переменной x3 без помех, при s = 2000 и cs = 0,3 Fig. 11. Prediction of values of output variable x3, without interference, at s = 2000 and cs = 0,3 Рис. 12. Прогноз значений выходной переменной x4 без помех, при s = 2000 cs = 0,3 Fig. 12. Prediction of values of output variable x4 , without interference, at cs = 0,3 Рис. 13. Прогноз значений выходной переменной x1 при s = 2000 и cs = 0,3 , помеха 10 % Fig. 13. Prediction of values of output variable x1, at s = 2000 and cs = 0,3 , interference 10 % Рис. 14. Прогноз значений выходной переменной x2 при s = 2000 и cs = 0,3 , помеха 10 % Fig. 14. Prediction of values of output variable x2, at s = 2000 and cs = 0,3 , interference 10 % Рис. 15. Прогноз значений выходной переменной x3 при s = 2000 и cs = 0,3 , помеха 10 % Fig. 15. Prediction of values of output variable x3, at s = 2000 and cs = 0,3 , interference 10 % Рис.16. Прогноз значений выходной переменной x4, при s = 2000 и cs = 0,3 , помеха 10 % Fig. 16. Prediction of values of output variable x4, at s = 2000 and cs = 0,3 , interference 10 %

作者简介

A. Tereshina

Siberian Federal University

26/1, Kirensky Str., Krasnoyarsk, 660074, Russian Federation

D. Yareshchenko

Siberian Federal University

Email: YareshenkoDI@yandex.ru
26/1, Kirensky Str., Krasnoyarsk, 660074, Russian Federation

参考

补充文件