Calculation of eigenvalues in the problem of unsteady heat transfer through a cylindrical wall with mixed boundary conditions

Full Text

Известно, что аналитические методы дают полную, всеобъемлющую картину моделируемого процесса или явления в отличие от численных методов, которые требуют огромной вариативной проработки искомой задачи каждый раз при новом наборе исходных данных. В этом плане следует отметить, что получение точных аналитических решений линейных и нелинейных задач теплопроводности для однослойных и многослойных конструкций с переменными в пределах каждого слоя физическими свойствами среды, а также с переменными по координатам и во времени граничны- 15 Вестник СибГАУ. № 1(47). 2013 ми условиями представляет серьезные математические трудности. Аналитические решения получены лишь для незначительного круга отдельных частных задач, к тому же при весьма существенных допущениях. В связи с этим актуальность разработки новых эффективных аналитических (приближенных аналитических) методов решения краевых задач для моделирования процессов теплопереноса не вызывает сомнений. Аналитические решения задач нестационарной теплопроводности обычно представляют собой бесконечные функциональные ряды, члены которых зависят как от пространственных координат и времени, так и от корней соответствующих характеристических уравнений. При проведении практических расчетов температурных полей, как правило, достаточно знать несколько первых собственных значений этих уравнений, вид которых определяется типом граничных условий на поверхностях тела. Для облегчения использования теоретических решений в инженерной практике принято дополнять их подробными таблицами собственных чисел и начальных тепловых амплитуд. Наряду с табличными представлениями корней характеристических уравнений разрабатываются и аналитические зависимости для их нахождения. Аналитический расчет процесса нестационарной теплопередачи через цилиндрическую стенку связан с задачей нахождения собственных чисел на основе сложного характеристического уравнения [1]: Bi1 J0 (ц) + J (ц) _ Bi2 Jo (у*ц) - J1 (*ц) Bii Yo (ц) + ц71 (ц) Bi2Y (y* ц) - ц7і (*ц) (1) Jо (ц) Ji (*ц) Yo (ц) Yi (*ц) (2) Если предположить, что искомые корни дя > 3, то допустимо аппроксимировать функции Бесселя Jo(^), 70(ц), J1(^*^) и 71(^*ц) следующими приближениями [2]: 1 J0 (ц)_Н= /ocos0о; л/ц Yo (ц)^-Г fosin 0о; л/ц (3) (4) где 0o описывается выражением 0o _ц-0,785 398 16-o,o41 663 92|- -o,ooo 039 54 (А ) + 0,002 625 73 ( 3 -0,000 541 25|-) - 0,000 293 33 {-1 + +0,000 135 8| - | +є, .ц, здесь є <7 -10- J1 (У * ц)_ i—~ fi cos 0*, л/У*ц Y (у * ц)_ Л- f1*sin 0*; А* где 01 описывается выражением 0* _цу* -2,356 194 4 + 0,124 996 12 (5) (6) (7) ( 3 ) +0,000 056 50 цу - 0,006 378 79 цу +0,007 434 8 + 0,000 798 24 ( 3 )5 где Bi1 = a1R1rk, Bi2 = a2R2/X - безразмерные числа подобия (числа Био); у = r/R1, - безразмерная радиальная координата (1 < у < у*); у* = R2/R1. В связи с большим числом параметров в зависимости (1) составить расширенные таблицы корней весьма затруднительно. Поэтому первоначально имеет смысл установить возможные пределы для искомых чисел ц„. С этой целью рассмотрим частный случай уравнения (1), а именно, примем, что Bi1 =>œ, а Bi2 = 0, т. е. на внутренней поверхности полого цилиндрического тела действуют граничные условия первого рода, а на внешней поверхности - граничные условия второго рода. Тогда формула (1) вырождается в соотношение (цУ у -0,000 291 66 ,-8 цу цу + є, (8) здесь є <9 -10 С учетом (3), (4), (6) и (7) уравнение (2) запишется в виде cos 00 _ cos 0* (9) sin 00 sin 0J Согласно [3] зависимость (9) эквивалентна формуле sin(0* -00 )_ 0. (10) Отсюда вытекает, что 0j -00 _ (n -1)п , n _ 1,2,3,... (11) Подставив в (11) вместо 00 и 0] соотношения (5) и (8) и ограничиваясь в них первыми тремя слагаемыми, составим квадратное алгебраическое уравнение для вычисления д„: 2 1,570 796 33 + (n - 1)п цп * " цп + У -1 3 (0,124 996 12 + 0,041 663 92y* ) + V (* -1) Решая это уравнение, найдем искомые корни _ 0, (12) 8 16 Математика, механика, информатика _ 1,570 796 33+ (n - 1)п + Цп _ " “ " + 2 (у* -1) (1,570 796 33-(n - 1)п) 4 ( -1)2 3 (0,124 996 12 + 0,041 663 92у* ) (13) У (у* - О В табл. 1 приведены значения первых трех собственных чисел цп для у* = 5/4; у* = 5/3 у* = 5/2, рассчитанные по предложенной методике и приведенные в [2] для случая Bi\ =>œ; Bi2 = 0. Аналогичным образом ведется расчет для уравнения (1), когда Bii = 0, а Bi2 =>œ, т. е. на внутренней поверхности полого цилиндрического тела действуют граничные условия второго рода, а на внешней поверхности - граничные условия первого рода. Тогда формула (1) вырождается в соотношение J1 (ц) Y (ц) J0 (у*ц) Y0 (у*ц) (14) Квадратное алгебраическое уравнение для вычисления Цп в этом случае записывается следующим образом 2 1,570 796 33 - nn Цп + * " Ц n у -1 3 (0,041 663 92 + 0,124 996 12у* ) у (у* -1) _ 0. (15) Решая это уравнение, найдем искомые корни -1,57079633+nn Цп _- !(у’ -1) (1,57079633 - nn)2 4(-1)2 + 3 (0,12499612 + 0,04166392у*) у (у* -1) (16) В табл. 2 приведены значения первых трех собственных чисел ци для у* = 5/4, у* = 5/3 у* = 5/2, рассчитанные по предложенной методике и приведенные в [2] для случая Bii = 0, Bi2 =>œ. Корни характеристического уравнения (2) цп (Bi1 =>œ; Bi2 = 0) Таблица 1 + * * Ц1 Ц2 Ц3 Расчет числовым методом Расчет по формуле (13) Расчет числовым методом Расчет по формуле (13) Расчет числовым методом Расчет по формуле (13) у* = 5/4 6,002 58 5,999 86 18,759 02 18,758 94 31,361 74 31,361 72 у* = 5/3 2,120 33 2,107 04 6,993 94 6,993 52 11,736 33 11,736 24 у* = 5/2 0,866 06 0,824 98 3,083 54 3,082 11 5,201 07 5,200 74 Таблица 2 Корни характеристического уравнения (14) цп (Bi1 = 0; Bi2 =>œ) Ц1 Ц2 Ц3 Расчет Расчет Расчет Расчет Расчет Расчет по методике [2] по формуле (16) по методике [2] по формуле (16) по методике [2] по формуле (16) у* = 5/4 6,569 73 6,572 27 18,949 71 18,949 82 31,476 26 31,361 72 у* = 5/3 2,603 28 2,614 37 7,162 13 7,162 62 11,837 83 11,837 99 у* = 5/2 1,242 66 1,270 24 3,226 55 3,229 33 5,288 85 5,289 55 Из табл. 1, 2 видно, что расхождение корней, рассчитанных по предложенному методу и по методике [2] и численному методу, незначительно даже для собственных чисел ц, близких к 3. При числах ц < 3 точность предложенного метода также достаточно высока: расхождение значений собственных чисел для цилиндрических стенок малой толщины не превышает 1 %, что в свою очередь требует дополнительной проверки при проведении инженерных расчетов. Указанный выше диапазон корней цп > 3 в частном случае может быть расширен в меньшую сторону для чисел ц близких к 3, т. е. расчет может быть проведен и для более массивных стенок. Таким образом, произведен расчет собственных чисел в задаче нестационарной теплопередачи через цилиндрическую стенку при различных граничных условиях на внешней и внутренней поверхностях полого цилиндрического тела. Точность расчета повы 17 Вестник СибГАУ. № 1(47). 2013 шается с уменьшением толщины стенки (параметра у*) и увеличением порядкового номера n. Определены предельные значения собственных чисел для смешанных граничных условий. Процесс нахождения собственных чисел упрощается за счет: - уменьшения числа параметров в уравнении; - использования вместо сложных Бесселевых функций известного приближения [2].

About the authors

Yu. V. Vidin

Email: idi86@inbox.ru

D. I. Ivanov

Email: idi86@inbox.ru

References

Supplementary files