TO THE QUESTION OF THE FUNCTIONAL APPROXIMATION OF NONLINEAR CHARACTERISTICS OF THE OBJECTS OF AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS OF THE CONTINUOUS TECHNOLOGICAL PROCESSES

Full Text

В условиях непрерывного технологического процесса (ТП) сложных динамических систем, режимы работы которых сопряжены с постоянным изменением регулируемых параметров, не представляется возможным получить экспериментально статическую характеристику объекта системы автоматического регулирования (САР). Однако задача повышения качества регулирования, улучшения характеристик переходных процессов, в том числе уменьшения перерегулирования, и в целом, снижения избыточного энергопотребления на собственные нужды, требует построения динамической модели, способной отразить вполне достоверно технологический объект управления. Наличие априорной информации, в настоящем случае входных и выходных нелинейных характеристик объекта, позволяет ускорить процесс идентификации объекта, точнее, получение его абстракции, выраженной передаточной функцией, с высокой степенью достоверности. Обращаясь к прикладным программным средствам, в частности, System Identification Toolbox пакета Matlab [1], проанализируем имеющуюся априорную информацию для объекта (рис. 1), выполняющего функцию поверхностного теплообмена. Априорная информация представлена как входной характеристикой объекта - изменение температуры теплового агента подающего трубопровода (Со) по времени, так и выходной характеристикой - изменение температуры теплового агента обратного трубопровода (Со) по времени. Продолжительность временного ряда 502 200 секунд. Анализ временных рядов основан на чередовании передаточных функций с переменным количеством полюсов и последующим отысканием оптимальных значений коэффициентов преобразования Kp и постоянной времени Tpt методом Гаусса-Ньютона, итерационным численным методом нахождения решения задачи наименьших квадратов [2], средствами System Identification Toolbox, при которых апостериорная выходная характеристика максимально будет приближена к априорной выходной характеристике посредством метода функциональной аппроксимации [3; 4]. Input and output signals x 10s x 10S Рис. 1. Нелинейные характеристики объекта: а - входная; б - выходная Анализ временных рядов полной продолжительности при чередовании передаточных функций с переменным количеством полюсов показал, что с увеличением количества полюсов передаточной функции степень достоверности кривых - F возрастает (рис. 2), однако достигнутый максимум составляет F = 36,04 % (табл. 1). Исходные знания об объекте позволяют судить о том, что процесс поверхностного теплообмена весьма инерционный по своей природе, следовательно, переходный процесс из одного устойчивого состояния в другое, в рамках статической характеристики, также 13 Вестник СибГАУ. № 3(49). 2013 является продолжительным по времени. Таким образом, задача повышения степени достоверности кривых основана на выделении статической характеристики из временного ряда полной продолжительности. Measured and simulated model output Рис. 2. Выходные характеристики объекта: а - исходная (априорная); б - апостериорные Не принимая во внимание конструктивные особенности объекта, значение температуры наружного воздуха и температуры внутри помещения, проведем исследование участков временных рядов с переменным количеством точек опроса путем разделения и последующего анализа исходных временных рядов полной продолжительности. Данный подход также позволит проанализировать численные характеристики полученных случайных величин при условии достаточного количества участков временных рядов. Первым шагом является выделение трех участков (N = 3) из исходных временных рядов полной продолжительности. Введем понятие условной вероятности Pi - вес определенной структуры передаточной функции в решении задачи аппроксимации кривых -N участков временных рядов, где i - количество полюсов передаточной функции. Полученные результаты (табл. 2), в том числе условная вероятность P1 = 0,67 и P3 = 0,33, не позволяют сделать однозначный вывод о функциональной зависимости между такими параметрами как N, Pi и F, а также о характере закономерности между Pi и F при переменном N. Отметим, что при N = 3, передаточной функции меньшего веса (P3) соответствует большая степень достоверности кривых F = 65,28 %. Для получения ответов на поставленные вопросы продолжим анализ участков временных рядов полной продолжительности при N = 10, 20, 40. По мере увеличения количества участков (N = 10, 20, 40) при разделении исходных временных рядов полной продолжительности и их последующего анализа получены следующие результаты - табл. 3-5, а также численные характеристики степени достоверности F, как дискретной случайной величины. Настоящие результаты позволяют наблюдать проявление следующей закономерности: в задаче аппроксимации участков кривых превалирует вес передаточной функции с большим количеством полюсов и по мере увеличения количества участков (N = 10, 20, 40) степень достоверности кривых возрастает. При этом характер данной закономерности в рамках настоящего исследования не определен, однако полученные характеристики могут быть представлены в следующей функциональной зависимости: Mn (F)-£ F • P j=1 (1) Выражение (1) есть математическое ожидание [5] степени достоверности F в решении задачи аппроксимации участков N посредством передаточных функций с различным количеством полюсов i и условными вероятностями Pi. Интересным результатом в ходе анализа временных рядов является передаточная функция (2) с количеством полюсов i = 3, степенью достоверности F = 92,59 % и математическим ожиданием Mn(F) = 73,74%: G (s ) = 132,85 (1 + 5085,5*s)(1 + 2822,1*s) x x (1 + 1.8351-e • 7*s) (2) Таблица 1 Результаты анализа временных рядов полной продолжительности (N = 1) Кол-во точек опроса Кол-во полюсов функции, i Степень достоверности F, % Вид передаточной функции Коэффициент преобразования (Kp), постоянная времени (Tpi) 0 0,8487 G (s )- Kp Kp = 0.85645 1 3,326 G (s )- Kp v ’ 1 + Tp1 * s Kp = 9.7479 105 Tp1 = 3.8744 1012 1000 2 -0,7483 G (s)- Kp v ’ (1 + Tp1 * s)(1 + Tp2 * s) Kp = 1.1288 Tp1 = 9.9328 Tp2 = 0.001 3 36,04 G (s)- Kp (1 + Tp1 * s)(1 + Tp2 * s)(1 + Tp3 * s) Kp = -1.6904 106 Tp1 = 5.1621011 Tp2 = 3.3646 105 Tp3 = 0.0072673 14 Математика, механика, информатика Таблица 2 Результаты анализа временных рядов c выделением трех участков (N = 3) Номер участка, n Кол-во полюсов функции, i Степень достоверности F, % Вид передаточной функции Коэффициент преобразования (Kp), постоянная времени (Tpi) 0 15,62 G (s)- Kp Kp = 1.0143 1 53,94 G (s)- Kp v ’ 1 + Tp1 * s Kp = 2.9232 109 Tp1 = 6.71231014 1 2 64,19 G (s)- Kp v ’ (1 + Tp1 * s)(1 + Tp2 * s) Kp = 1.3771 107 Tp1 = 2.2671 1012 Tp2 = 20874 3 65,28 G (s)- Kp (1 + Tp1 * s)(1 + Tp2 * s)(1 + Tp3 * s) Kp = 1.6958 Tp1 = 415.23 Tp2 = 48912 Tp3 = 48877 0 -17,4 G (s)- Kp Kp = 0.85647 1 0,2478 G (s)- Kp v ’ 1 + Tp1 * s Kp = 3755.5 Tp1 = 3.2386 1010 2 2 -16,75 G(s) - Kp v ’ (1 + Tp1 * s)(1 + Tp2 * s) Kp = 0.85558 Tp1 = 133.83 Tp2 = 133.86 3 -16,16 G (s)- Kp (1 + Tp1 * s)(1 + Tp2 * s)(1 + Tp3 * s) Kp = 0.85515 Tp1 = 0.001 Tp2 = 724.31 Tp3 = 0.001 0 11,24 G (s)- Kp Kp = 0.78145 1 39,89 G (s)- Kp v ’ 1 + Tp1 * s Kp = 0.75835 Tp1 = 13616 3 2 39,26 G(s) - Kp v ’ (1 + Tp1 * s)(1 + Tp2 * s) Kp = 0.7676 Tp1 = 0.001 Tp2 = 8885.3 3 29,98 G (s)- Kp (1 + Tp1 * s)(1 + Tp2 * s)(1 + Tp3 * s) Kp = 0.71991 Tp1 = 1588 Tp2 = 39273 Tp3 = 39268 Таблица 3 Результаты анализа временных рядов c выделением 10 участков (N = 10), количеством точек опроса - 100 Кол-во полюсов функции, i Условная вероятность, Pt Степень достоверности F, % (среднее) Математическое ожидание Mn(F), % Вид передаточной функции 0 0,1 -6,745 G (s)- Kp 1 0 0 G (s)- Kp v ’ 1 + Tp1 * s 2 0,1 29,09 37,09 G (s)- Kp v ’ (1 + Tp1 * s)(1 + Tp2 * s) 3 0,8 43,57 G (s)- Kp (1 + Tp1 * s)(1 + Tp2 * s)(1 + Tp3 * s) 15 Вестник СибГАУ. № 3(49). 2013 Таблица 4 Результаты анализа временных рядов с выделением 20 участков (N = 20), количеством точек опроса - 50 Кол-во полюсов функции, i Условная вероятность, Pi Степень достоверности F, % (среднее) Математическое ожидание Mn(F), % Вид передаточной функции 0 0 0 G (s)- Kp 1 0,1 68,17 G (s)- Kp v ’ 1 + Tp1 * s 2 0,4 52,74 60,37 G (s)- Kp v ’ (1 + Tp1 * s)(1 + Tp2 * s) 3 0,5 64,9 G (s)- Kp (1 + Tp1 * s)(1 + Tp2 * s)(1 + Tp3 * s) Таблица 5 Результаты анализа временных рядов с выделением 40 участков (N = 40), количеством точек опроса - 25 Кол-во полюсов функции, i Условная вероятность, Pi Степень достоверности F, % (среднее) Математическое ожидание Mn(F), % Вид передаточной функции 0 0 0 73,74 G (s)- Kp 1 0,05 67,84 G (s)- Kp v ’ 1 + Tp1 * s 2 0,225 77,88 G (s)- Kp v ’ (1 + Tp1 * s)(1 + Tp2 * s) 3 0,725 72,87 G(s) - Kp (1 + Tp1 * s)(1 + Tp2 * s)(1 + Tp3 * s) Полученное выражение (2) с максимальной степенью достоверности определяет функцию поверхностного теплообмена на одном из N = 40 участков (n = 32) и не позволяет описать прочие 39 участков с подобной достоверностью, однако, условная вероятность, для данного типа передаточной функции - P3 составляет 0,725, что говорит о максимальном весе передаточной функции данного типа в решении задачи аппроксимации кривых N участков. Таким образом, повысить степень достоверности кривых можно, выполнив следующие шаги: - выделение участков временных рядов с переменным количеством точек опроса; - анализ участков временных рядов, чередованием передаточных функций, с переменным количеством полюсов i и последующим отысканием оптимальных значений коэффициентов преобразования Kp и постоянной времени Tpt методом Гаусса-Ньютона; - получение и последующий анализ численных характеристик степени достоверности F. Допустимо предположить, что итоговым результатом данного подхода является величина математического ожидания степени достоверности - Mn(F), физический смысл которой, в рамках настоящего исследования, может быть интерпретирован в виде показателя проявления статической характеристики из временного ряда полной продолжительности, выраженной в процентном отношении, в решении задачи аппроксимации кривых чередованием четырех передаточных функций при переменном N. Результаты, полученные в рамках настоящего исследования, а именно методологические аспекты идентификации объекта САР в условиях непрерывного ТП, могут быть применены в качестве одного из подходов при оценке степени достоверности передаточной функции в решении задачи аппроксимации кривых.

About the authors

A. V. Bolsavichus

Siberian State Technological University

Email: bolsavichus@gmail.com
82 Mira prosp., Krasnoyarsk, 660049, Russia

I. V. Kovalev

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev

Email: rector@sibsau.ru
31 “Krasnoyarskiy Rabochiy” prosp., Krasnoyarsk, 660014, Russia

V. V. Losev

Siberian State Technological University

82 Mira prosp., Krasnoyarsk, 660049, Russia

References

Supplementary files