STABILITY OF A COLUMN UNDER THE RETARDING FOLLOWER LOAD

Толық мәтін

Вопрос о воздействии тангенциальной нагрузки на упругий стержень рассматривался во многих работах. Николаи [1] показал, что стержень под действием тангенциальной нагрузки не имеет статических форм потери устойчивости. Беком [2] было найдено, что под действием тангенциальной силы потеря устойчивости происходит по динамическому сценарию (флаттер). Такая потеря устойчивости должна происходить при нагрузках близких к 9 силам Эйлера, но проблемой оказалось экспериментальное подтверждение критической нагрузки. Еще в 60-х Тимошенко [3] писал о невозможности современными методами реализовать стержень Бека. До сих пор этот вопрос открыт, хотя обсуждался многими авторами (см., например, обзор [4]). По моделированию консоли Бека был выполнен ряд работ, например, [5-7]. В работе [5] сопоставлялись частотно-силовые характеристики, полученных теоретически и экспериментально при малых нагрузках совпадали с теоретической моделью, хотя значение критической нагрузки оставалось меньше 9 сил Эйлера. В экспериментах Янге [7] была получена критическая нагрузка около 6 сил Эйлера. В работе [6] рассматривалось влияние воздействия ракетного двигателя на упругую консоль. Из-за сложности реализации данной системы существует несколько теоретических моделей, рассматривающих отклонение от идеального стержня Бека, назовем основные: наличие дополнительной консервативной нагрузки [6], учет трения в системе [8] и колебание положения или значения силы [9]. Данные модели используются для объяснения отличия экспериментальных результатов от идеальной модели Бека. Одни из наиболее подробных исследований тангенциальной нагрузки были проведены в серии экспериментов Сагиямой [6; 15]. Автор использовал для моделирования нагрузки ракетный двигатель. В ходе своих исследований Сагияма представил серию фотографий стержня под действием субтангенциальной нагрузки. Исследования влияния тангенциальной нагрузки проводились не только на консоли, но и на пластинах [10] и маятниках [11]. В работе [11] рассматривались отклонения от идеальной системы, вызванные запаздыванием поворота тангенциальной нагрузки для обычного и двухзвеньевого маятника. Но для стержня исследование запаздывания тангенциальной нагрузки проводилось. В данной работе мы рассматриваем задачу об упругой консоли под действием запаздывающей относительно тангенциального положения нагрузки. Модель запаздывания. Для консоли под действием тангенциальной нагрузки нейтральная линия сво бодного конца должна совпадать с направлением действующей силы. Рассмотрим случай, когда сила при начавшемся повороте стержня не успевает повернуться в тангенциальное положение, и будем назвать такое состояние запаздыванием. Допустим, что существует постоянное время запаздывания т*, тогда угол ф действующей силы к оси Ox 9(t*) = -0( L, t * -T*), (1) где 0(l, t*) - угол наклона нейтральной линии консоли к оси Ox, L - длина стержня, l - криволинейная координата, t* - время. Из уравнения (1) следует, что для поворота силы до угла 0(l, t) необходимо время т* (рис. 1). Запаздывание нагрузки относительно тангенциального положения может быть вызвано разностью времени поворота стержня и силы. Причиной расхождения в положении стержень-сила может быть инертность реактивной струи или другого источника тангенциальной нагрузки. j # I ■;У/ 1 § і • ■ Я Йш Рис. 1. Модель запаздывания тангенциальной нагрузки. Состояние 1 - форма в момент времени t*-T*; 2 - форма стержня в момент времени t*, под воздействием силы P Колебание стержня с запаздыванием. Рассмотрим колебание упругого стержня длиной L, жесткостью EI и погонной массой M, на который действует запаздывающая тангенциальная нагрузка P. Рис. 2. Модель стержня 33 Вестник СибГАУ. № 3(49). 2013 Уравнение колебания такой системы имеет вид М rs2 д w 2 д w ds4 + 4 ds2 + ю д2 w OF = 0, (2) где w(s, t) - амплитуда колебания; s = l/L, q = P/Fэл, t = Qt*, ю2 = Q2Ml a/EI - безразмерные длина, сила, время, частота соответственно; Q - частота колебания стержня; F^ = (n/2)2EI/l2 - сила Эйлера. Граничные условия имеют вид w(0,t) = 0, w'(0, t) = 0, w"(1,t) = 0, w'"(1, t) = -q2 ((1, t) + ф). Здесь штрихи обозначают дифференцирование по координате. Без учета запаздывания в задаче для стержня Бека [2] w'”(1,t) = 0, т. е. при т = 0 угол ф = - w'(1, t). Перепишем условие (3) с учетом условия запаздывания (1) w '(1,t) = -q2 (w'(1,t) - w’(1, t -t)). где т = Qt* - безразмерное время запаздывания. Решение уравнения (2) мы будем искать в виде w(s, t) = W+ (s, t) + W- (s, t), (5) где W+(s,t) и W_(s,t) являются линейно независимыми решениями вида W+ (s, t) = Aeltw+ (s), W- (s, t) = Be~uw_ (s). 2 q2 r22 = -—+ 2 2 ■ ( 2 A2 2 V J + ю ( 2 V + ю ( sinr1 - r1r2 shr2 )С1 + + (r^ cosr1 -r22 chr2)С2 = 0, -rj2 sin r1 - r1r2 sh r2 -r12 cos r1 - r22 ch r2 ( + r1 Pпов )cos r1 - r1 (r22 + Pпов )ch r2 ( - r1 Pпов )sin ) - (r2 + r2 Pпов )sh r2 = 0 (11) Определитель системы (11) приводит к уравнению (3) 4 4 Г1 + r2 +с cos Pпов (r12 - r22 ) + (2r12r22 + Pпов (2 - r22 )) > r1 ch r2 - r1r2 (r22 + 2Pпов - r12 )sin r1 shr2 = °. (12) Используя определения ri, r2 (8), перепишем уравнение (12) (4) (6) Подставим решение (5) в уравнение (2), получим, что w+(s) = w_(s) = w(s) и имеют вид w(s) = С1 sin r1s + C2 cos r1s + C3 sh r2 s + C4 ch r2 s (7) где (8) (10) q4 + 2ю2 - Pпов q2 +(2ю2 + Pпов q2)cos r1ch r2 + + ю(2 - 2 Pпов )sin r1sh r2 = 0. (13) В общем случае частота ю является комплексной и имеет действительную ю' и мнимую ю” части ю = ю'+/'ю". (14) Безразмерная частота ю линейно зависит от Q, которая также является комплексной. Величина нормировки частоты положительна. И тогда решение уравнения (2) будет асимптотически устойчиво при ю'' > 0 для W+(s,t) и ю''< 0 для W_(s,t). Перепишем уравнение (13), используя выражение (14) q4 + 2ю'2 -q2pПов +(2ю'2 + q2pПов)cosr1 chr2 + + (ю' (q2 - 2p,пов ) - 2юХов ) sinr1 shr2 + +i {4^^ + q2PПов +(4ю'ю" -q2pПов )cos r1chr2 + (ю" (q2 - 2^пов ) + 2ю>пов )sinr1 shr2 } = 0 (15) где здесь ю не зависит от координаты и времени. Из первых двух уравнений граничных условий (3) получим С2 = -1r1C1 = -r2C3. (9) Используя третье и четвертое уравнения условия (3), построим систему уравнений PПов =у (1 - cos T), PпOB sin T. (16) + r1 Pпов )cos r1 - r1 (r22 + Pпов )ch r2 )С1 -+ (^ - r1 Pm® )sin r1 -(r23 + r2 Pпов )sh r2 )С2 = 0, где введено обозначение p^ = q2(1 - exp(-iT))/2 для решения W+(s, t). Нетривиальные решения для системы (10) будет существовать при условии Уравнение (15) будет иметь решение, когда действительная и комплексная части (15) будут равны 0 q4 + 2ю'2 -q2pПов +(2ю' 2 + q2P^»)cosr1 chr2 + (ю' (q2 - 2(Пов ) - 2ю>Пов )sinr1 shr2 = 0, 4ю'ю'' + q 2 pПов +(4юю- q 2 P^» )cos r1ch r2 + + (ю" (q2 - 2(Пов ) + 2ю>Пов )sinr1 shr2 = 0. (17) Решения системы уравнений (17) будем анализировать графическим (рис. 3) и численным методами (рис. 4). Для рис. 3 была выбрана серия зависимостей графического решения системы (17) при постоянной на- 2 2 34 Математика, механика, информатика грузке, равной 6 силам Эйлера, и различных значениях т. Пунктирной и сплошной линиями обозначены зависимости ю' ' от ю' для первого и для второго уравнения системы (17) соответственно. Решениями системы уравнений (17) будет пересечения данных зависимостей. Видно, что на рис. 3 пересечения зависимостей происходят в нижней полуплоскости, что соответствует отрицательному значе нию комплексной составляющей частоты. Мы рассматриваем случай для W+(s,t), следовательно, такие состояния неустойчивы. Численным методом были получены частотносиловые характеристики для первой и второй мод колебания при т = 0,01. Из рис. 4 видно, что при нагрузках до 6 сил Эйлера мнимые части первой и второй мод колебаний отрицательны, что соответствует флаттеру. Рис. 3. Частоты колебания при 6 силах Эйлера; a - т = 0,05; b - т = 0,1; c - т = 0,2; d - т = 0,25 b a d c Рис. 4. Частоты колебания при т = 0,01; a - действительная часть первой моды; b - мнимая часть первой моды; c - действительная часть второй моды; d - мнимая часть второй моды a b 35 Вестник СибГАУ. № 3(49). 2013 После достижения этой нагрузки первая мода становится асимптотически устойчивой, хотя вторая остается в неустойчивом состоянии. По этой причине динамическая потеря устойчивости при запаздывании может происходить при любом значении силы, но при малых т этот процесс может быть достаточно медленным. Было показано, что колебание стержня под воздействием силы, запаздывающей относительно тангенциального положения, будет всегда динамически неустойчивым. При малых временах запаздывания нарастание амплитуды будет происходить медленно. Показано, что при изменении нагрузки возможна стабилизация первой моды колебания.

Авторлар туралы

Yu. Zakharov

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev; Siberian State Technological University

Email: yuzakharov@mail.ru
31 “Krasnoyarskiy Rabochiy” prosp., Krasnoyarsk, 660014, Russia; 82 Mira prosp., Krasnoyarsk, 660049, Russia

A. Nikulin

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev

31 “Krasnoyarskiy Rabochiy” prosp., Krasnoyarsk, 660014, Russia

N. Filenkova

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev

31 “Krasnoyarskiy Rabochiy” prosp., Krasnoyarsk, 660014, Russia

A. Vlasov

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev

31 “Krasnoyarskiy Rabochiy” prosp., Krasnoyarsk, 660014, Russia

Әдебиет тізімі

Қосымша файлдар