THIN CIRCULAR PLATE UNDER A UNIFORMLY DISTRIBUTED LOAD OF THE GRAVITATIONAL TYPE

Full Text

В авиационной, ракетной, кораблестроительной и других областях промышленности всегда большое ния задач изгиба оболочек. В работах [4] и [5] метовнимание привлекают проблемы устойчивости и ко- дом стрельбы решается задача изгиба круглой мемлебаний различных конструкций: оболочек, мембран, браны при радиальном сжатии. В работе [6] решение стержневых систем и т. д. задачи о радиальном сжатии круглой пластины реша- Гибкие пластины и оболочки являются типовыми ется в аналитическом виде. Работа [7] посвящена чисэлементами микроэлектромеханических систем, при- ленному анализу задачи об изгибе круглой мембраны меняемых в устройствах исполнительной автоматики из ферроэласта в однородном магнитном поле. В накосмических аппаратов. Задача об устойчивости обо- стоящей работе предметом исследования является лочек наряду с задачей об изгибе стержней являются изгиб тонкой круговой пластины под действием раввсегда актуальной проблемой механики деформируе- номерно распределенной поперечной нагрузки постомого твердого тела. янного направления. Исследование изгиба круговой пластины под действием гравитационной нагрузки. Рассмотрим круговую пластину под действием распределенной нагрузки, направленной перпендикулярно её плоскости и сохраняющей свое направление. Для записи уравнений равновесия используем цилиндрическую систему координат, как показано на рис. 1. 1 d r dl К )- = 0 (1) Id(rF ) = q , r dr z’ -d(rMr)-M = -Fr sin0 + Fz cos0 r dl r где Fr - погонная (на единицу длины) сила в радиальном направлении, Fф - погонная трансверсальная сила, Fz - погонная сила в аксиальном направлении, q = const - поверхностная плотность внешней распределенной нагрузки, Mr и Mф - соответственно погонные радиальный и трансверсальный изгибающие моменты. Преобразуем третье уравнение системы (1). Для этого применим закон Гука для линейно упругого материала Mr = D (r + ЦКф) M,= D (Кф+ЦК ) где D = EA3/12(1 -ц) - цилиндрическая жесткость; h - толщина пластины; R - радиус; E - модуль Юнга; ц - коэффициент Пуассона; кг и кф - соответственно главные радиальная и трансверсальная кривизны изогнутой поверхности пластины. Далее, учитывая соотношения для кривизн Л d0 sin 0 Кr = cos 0 —, Кф =-, dr r Kr +Кф= 1 d(r sin 0) r dr получаем d (rFr)-H = 0 r dr r cos 0 d (rFz ) = q (2) r dr Dd(1 d(r sin 0) | = -Fr sin 0 + Fz cos 0 dl V rdry n r z Интегрируя первые два уравнения системы (2), имеем С (3) Рис. 1. Система координат Исследование проводится в геометрически нели-dr нейном случае, то есть — = cos 0 , где r - радиальная dl координата, l - криволинейная длина, отсчитываемая от оси w, 0 - угол наклона касательной к полярной оси. В заданной системе координат система уравнений равновесия сил и моментов будет выглядеть следующим образом Подставим (3) в третье уравнение системы (2), вынося общий множитель 1/r за скобки, получим Dd(1 d(rsin0) | = dl V rdry n "(J (p dl + C1 )sin 0 + [ J • qrdr cos 0 + C2 | cos (4) При отсутствии внешней нагрузки, сосредоточенной по краю, в пластине в точке r = R усилия равны 0, значит Fr(R) = 0 и Fz(R)= 0, поэтому С1 = 0 и С2 = 0. Используем следующее стандартное выражение для трансверсальной силы и соотношение между радиальным и трансверсальным продольными напряжениями F, = ha,, a, = cos 0— ф dr r ar cos 0 Радиальное напряжение направлено вдоль касательной, поэтому, как видно из рис. 1 a r = q sin 0, d_ dl a,=^(r tg0) J F, dl = J hqd- (r tg 0) dl = hqJ d (r tg 0) dl = hqr tg 0. dl Подставляя полученное выражение в (4), получа-dr = cos 0dl ем, учитывая, что Dd (1 d ( . 0) 1 D—I--(rsin0) | = — dr V r dr J r - hqr tg2 0 +J qrdr cos 0 (5) Раскрывая скобки в левой части уравнения (5), получим интегро-дифференциальное уравнение D d2 sin ( dr 2 1 d sin 0 + D--r dr 1 r qrdr sin 0 2 1 - D~^~ + hqr tg 0=-J 0 r 2 r cos 0 (6) Построим далее приближенное аналитического решение нелинейного уравнения (6) в предположении малости прогиба пластины. Будем считать, что угол 38 Математика, механика, информатика наклона касательной 0 изменяется очень медленно, следовательно, cos0 под знаком интеграла мало отличается от 1. В свою очередь, r меняется от 0 до R, тем самым определяя поведение подынтегральной функции. Поэтому в интегральном члене можно воспользоваться теоремой о среднем и положить cos0 = 1. После такого упрощения мы получим дифференциальное уравнение ^d2 sin 0 1 d sin 0 sin 0 , . 2n qr D--— + D---D—— + hqr sin2 0 = —, dr2 r dr r2 2 или, объединяя первые два слагаемых, получим 1 d ( dsin0A sin0 , . 2n qr D--Ir-|-D—— + hqr sin2 0 = —. (7) r dr V dr J r2 2 Уравнение имеет ядро r и, следовательно, особую точку при r = 0. Поэтому в центре пластины ставится условие ограниченности решения. Обезразмерим уравнение (7), произведя замену х = r / R, имеем ^„2 1 d ( dsin0A ^„2 sin0 hqxsin2 0 qx DR--1 x-|-DR —— + - x dx V dx R 2R 1 d I xd sin 0| sin 0 + hqx sin 0= qx x dx V dx 2DR 3 • x dx V dx J x2 2 |0(0 )|<<», 0(1) = 0. Обозначая для простоты записи sin (0 (x )) = y (x), и раскрывая скобки, получаем линеаризованное урав нение (10) Решение его найдем методом вариации произвольных постоянных, для этого решим однородное уравнение, соответствующее (10) x2 y" + xy' - y = 0. (11) Решение его пишется сразу y = С x + — . x (12) Считая С и С2 зависящими от x, подставим (11) в (9), тогда получаем систему уравнений С2 С2 k с;x+= 0, с; —2 =- x. (13) Разделим первое уравнение (13) на x и сложим со вторым, затем умножим второе уравнение на -x и сложим с первым. Получим k С2 =-kx3, с; =-x. 2 4 1 4 Следовательно, С2 = —— x4 + С20, С, = — x2 + С10. 2 16 2 1 8 10 Подставляя (15) в (10), имеем окончательно sin 0 = С10 x + —20 +-—x3 . x 16 (14) (15) (16) Ввиду первого граничного условия (9), С20 = 0. Применяя второе условие (9), получаем С = - 10 k 16 Тогда Введем новый безразмерный параметр нагрузки k = q/(DR3), тогда уравнение преобразуется к виду 1 d ( dsin0A sin0 . 2 k --1 x-|--— + hkxsin20= — x. (8) x dx V dx J x 2 2 Граничные условия при жестком закреплении по контуру имеют вид |0(0)|<С», 0(1) = 0 (9) Так как прогиб пластины мал, можно считать, что sin 0 >> sin2 0 . Из того, что 0 < x < 1, следует sin0 2 —— >> hkx sin 0 , значит, можно положить hkx sin 0 = 0, тогда уравнение (8) приводится к виду 1 d ( d sin 0A sin 0 k x-|--— = — x, (17) (18) Криволинейная длина и прогиб определяются по формулам l (r ) = Jdr w (r W- R • „2 sin2 0(r )dr 0^1 - sin2 0(r) r 1 - sin2 0(r) С учетом (17), выражения (18) принимают вид dx . (19) l (r W 0^1 - k- (x3 - x)2 w (r ) = -J - k;2 (x3 - x) dx (20) ■Jl - k2 (x3 - x) Здесь введено обозначение k; = k/16. Построенное решение (20) соответствует первой моде статического нагружения пластины. Из условия неотрицательности подкоренного выражения в интегралах (20) следует, что максимальное значение k и 2,5. Так как в данной работе рассматривались малые прогибы, то мы ограничились значениями k; < 1. При этом прогиб не превосходит значения 0,1. Формы изогнутой пластины приведены на рис. 2. Величина внешней нагрузки q, геометрические и физические параметры пластины и параметр k; связаны соотношением 16k; = q/(DR3) Построенные решения качественно совпадают с численными решениями Л. И. Шкутина и уточняют известные приближенные аналитические решения [1-3]. x 39 Вестник СибГАУ. № 3(49). 2013 В работе проведено исследование изгиба тонкой круговой пластины, находящейся под действием постоянной равномерно распределенной нагрузки гравитационного типа. При условии малости величины прогиба по сравнению с радиусом самой пластины построено уточненное приближенное аналитическое решение поставленной задачи с учетом геометрической нелинейности. W > 0,1 А ,=0,9 -аин 0.06 *,=0.7 0.04 *,=0,5 0.02 *,■03 -I -0.5 0 0.5 і Рис. 2. Формы изгиба тонкой круговой пластины при различных значениях безразмерной нагрузки kl.

About the authors

Yu. V. Zakharov

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev; Siberian State Technological University

Email: yuzakharov@mail.ru
31 “Krasnoyarskiy Rabochiy” prosp., Krasnoyarsk, 660014, Russia; 82 Mira prosp., Krasnoyarsk, 660049, Russia

K. G. Okhotkin

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev

31 “Krasnoyarskiy Rabochiy” prosp., Krasnoyarsk, 660014, Russia

A. V. Pashkovsky

Siberian State Technological University

82 Mira prosp., Krasnoyarsk, 660049, Russia

A. D. Skorobogatov

Siberian State Technological University

82 Mira prosp., Krasnoyarsk, 660049, Russia

I. V. Uvaev

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev

31 “Krasnoyarskiy Rabochiy” prosp., Krasnoyarsk, 660014, Russia

References

Supplementary files