STIFFNESS OF THE SANDWICH PANEL WITH FREE EDGE AS A CONSTRUCTIONAL PART OF A SPACECRAFT

全文:

При проектировании трехслойных пластин, применяемых в конструкциях космических аппаратов, часто возникает задача расчета устойчивости пластины, когда один из ее краев свободен. Задача устойчивости такой пластины наиболее подробно изучена для случая, когда к шарнирно закрепленным краям приложена равномерная сжимающая нагрузка. Вместе с тем большой практический интерес представляет случай, когда к шарнирно закрепленным краям пластины приложены линейно изменяющиеся усилия. Уравнения устойчивости такой пластины содержат переменный коэффициент, и поэтому их интегрирование оказывается затруднительным. В данной статье решена задача определения критических усилий для трехслойной пластины со свободным краем под действием линейно-изменяющейся нагрузки. Рассмотрим трехслойную пластину с одинаковыми композитными несущими слоями и ортотропным заполнителем. Два противоположных края пластины шарнирно-оперты, а один край жестко закреплен. Пластина нагружена в своей плоскости линейно -изменяющимся усилием. *Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение № 14B37.21.0405. 68 Математика, механика, информатика Запишем выражения для потенциальной энергии деформации трехслойной пластины [1]: ' 0 0 36*. dx + 2D, 12 5^ 5^ Sx dy 2 + D. 22 dy + D, 33 - + dy dx + Kx dw У Г dw . +— I + K„ | 0 y + Sx dy и для работы внешних сил: ' 0 0 ,r0 і dw )2 плг0 dw dw ,r0 fdw^ N | —j + 2N°—— + №| — ^ dx dy y | dy dx При рассматриваемом нагружении N0 = - N| 1 - 2 P Вариация энергии деформированной пластины *u=ff 0 0 50. D11 —r~ + A2—" dx dy 30 y VS0 51 i+ dx f D12 dx-+d22 d0y 1 dx dy dP +D 33 Г o0x O0y )J50 —-+—dy dx 5 dp j + + D3 Г30. 50 y ) " + dy dx Г 50„) dx У V У dw + Kx I0 x +■д— I50 x + (4) ff 0 0 50„ Dn^ + D12 ~d~ dx dy 5^ + ( 50„ D12 ~d~+D22 ~~~p dx dy vdv, Г 50 y ) + D33 d0x+£0, ) dy dx d0x dP +D3 Гэе, + авр 1 dy dx dx \ J + Kx I 0x + dw dx ■ + Kx I 0x + + Ky I0 P +fy y y y dw I5| dw dx )5V dx )5| dw )5V dy J - N1 - 2 P Y—Уа" b JV dx J V 5r Согласно методу Канторовича, представим прогиб и углы поворота в следующем виде w = wm (У) sinKx 0x = 0xm (y)cosXmx nm a nm. 0y =0ym (У)sinKx Xm =- (m = 1,2,3,...) (7) Подставим (7) в (6) и выполним необходимые преобразования. Тогда получим dxdy (1) 2 d 0 ym ) DX0xm - A2Xу—^ dy 50xm + 22 dxdy (2) dy d 0„ " D12X m 0 xm Г d 0 1 ym + D33I 4xm + Xm0ym I5 xm dy dy d 0„ dy n? = 0, №y = 0. (3) +D33 I Xm d0 dy xm + Xm0ym j 50ym + +Kx (0xm + Xmwm ) 50xm + Kx (Xm0xm + ХУРт ) 5wm + +Ky|0 Pm + ^ , K I 0 , dwm U dwm -,m + K,|<>ym *-? J5^ - X2 N! 1 - 2 P j w 5w /■*ю±у | x ^ b yvm m dy = 0. (8) Далее выполним операцию варьирования функционала в уравнении (8), и получим три вариационных уравнения с естественными граничными условиями +k ^+f Ml)+Ky V0 y+% J50 y+ +K?^ y +f J5!]! J] и вариация работы внешних сил 5A=-ЩК1-2і)(!тНІр)Л* <5> Таким образом, получим основное вариационное уравнение деформированной трехслойной пластины Kx (Xm0xm + X2mwm ) - ) Г d0ym d 2 dy dy -X2NI 1 - 2P j wm f Kx (0 xm +Xmwm ) + 5wmdy + Ky ^ym + ‘Py I5w~ Г d 0) = 0, D„xm0xm -D12Xm ?m dy - D, 33 Г d 0xm +x d0?m 2m dy dy D I d0xm +x 0 33 | j m ym xm dy d + = 0, (9) Ky | 0ym +Xm dw dy D d 0ym d X d0xm D22 , 2 D12Xm dy d0 + D33IX + X m 0 ym dxdy = 0 . (6) dy Г d 0 - A2Xу 0xm dy ym ym d + = 0. Получим решение уравнения (6) с помощью метода Канторовича и обобщенного метода Галеркина [2; 3]. Решим систему вариационных уравнений (9) обобщенным методом Галеркина. В соответствии с этим, представим прогиб и углы поворота в следующем виде + 69 Вестник СибГАУ. № 3(49). 2013 wm = AmUy (у) , 0xm = BmUy (у) , 0ym = CmVy (у) , (10) здесь Am , Bm , Cm - неизвестные числа, подлежащие определению; Uy (y), Vy (y) - известные функции, аппроксимирующие прогиб и углы поворотов. Эти функции имеют вид Uy (у)=b vy (у )=У .{ ..2 2L-L+1 3b2 b \ (11) где уу = Kyb2 D22 Вариации функций (11) будут wm = UySAm , 0xm = UySBm , 0ym = VySCm . (12) Подставив (10) в (9), с учетом (12), получим Kx (XmBmUy +^mAmUy )- Ky -X2 NI 1 -2 L I AmU„ dVy Cm —L + A, m y dy m dy Uy SAmdy + K dUy I CmVy + Am У dy Uy SAm = 0. J ( , dVy I A^U,-D^mCmdl -D3 I d2Uv dVy _у + X c _У , 2 m m і V dy2 dy y Bm Uy SBmdy + I dUy Bm~T + XmCmVy dy Ky CmVy + Ля' dUy I A dy (13) Uy SBm = 0, d Vy dUy 22 m j 2 12 m m dy dy + D 33 XmBm dUy , I — + XmCmVy dy Vy SCmdy + У dVy D22C^^ - D12XmBmUy dy Vy SCm = 0, dUy Uy ~~-L b\ -Ky [w I) - A XiNJ[1 -2 -y J U2 dy =0 b I b b AmKxXm J Uy2dy + Bm Kx J Uy2dy + DnXm J Uy2dy - V 0 b d 2U - D33 J Uy dy + D3: dy2 Uy dUy dy - C v-'ra b dV b dV D12Xm J Uy -У-dy + D33Xm J Uy^dy - D33Xm \UV ]b) 0 = 0, dy (14) b dU I b dU AmKyJVy-^dy + Bm DxlXmJVy-y^y + 0 -y V 0 -y b dU y + DjjX" JVy-^dy - D12Xm [UyVy ] +Cm b Л2 d 2V„ D33Xm J Vy2 dy - D22 J Vy^2ydy 0 0 — + Ky J Vy2 dy + Dz Vy dVL dy b = 0. Введем обозначения входящих в уравнения (14) интегралов и безынтегральных членов I1y = lU;dy; J1L = JVL dy; 00 b d2Uy b. d 2Vy 12у =JUL-d-TdL ; J2у =JVL-d“2-dL ; 0 dy 0 dy b dVy b dUy ^ =J ^ J„ =J ^ 11y =J [1 - 2 LjUj dy; (15) Ry =[ULVL t; RУ = dUy U y dy ; R3 у = dy Численные значения интегралов и безынтеграль-ных членов(15) будут t = _8b. • j = b 1y 315Y1y; 1y 14 T =- 12 • 12 у = - У 2 у ; '2 у 35b Учитывая произвольность вариаций SAm , SBm и SCm получим систему разрешающих уравнений обобщенного метода Галеркина в следующем виде ґ b b - 2u Am Kxxm J U2y dy - Ky J Uy^L-у + Ky 0 0 — b ( b -v + BmKxXm J U2y dy - Cm Ky J Uy —-dy -0 V 0 — J2 L = 5b ; І3 L = h 35 y T3 у = ZiL • 35 ; 6 - 2b = J3 у =—Y3 у; 11y =-—Y1y; R1y =Y1y; 35 315 12- R2 у = b Y1L ; R3 У “ 0; (16) где Y1y = 91 + 999yу + 3024y2y ; Y 2 у =-5 + 28Y у + 560Y b 0 70 Математика, механика, информатика Tly = 220 + 2043уy + 4536y2 ; Yiy =1+4y y; Y3 y =5+14y y; Y3 y =5+56y y . (17) Принимая во внимание, что R1y -13 — J3 , и подставляя (16) в (14), получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных чисел Am , Bm и Cm азі — ai - 2 8* ^m 8Ъ Kx К 315 Y1y + Ky 35Ъ У 2 y + Ky~b Y1y I Am + 12 35Ъ 6 - ■Y3. 8Ъ + KxXm 315Y 1yBm +Ky 35Y3yCm -XmN3^5Y1 yAm = 0> 8Ъ 12-■Y 2* 15 ,2 8Ъ KxXm 315 Y1 yAm +1 Kx ИЗ Y1 y + D11^m 315 Y1 y + 12 12- + D33 35Ъ Y2у + D33 Ъ Y1y IBm + С 6 — Y3 ^ D33X — y3 -АД — 33 m 35 /3y 12 m 35 C, — 0. Ky 35 Y3yAm + D33Xm 35 Y3y D12Xm 35 +1 k,, Ъ+d,—+am Icm — 0. ~y 14 22 5Ъ 3314' 'm ^m Приведем систему (18) к удобному для вычислений безразмерному виду. Для этого умножим обе час- 315Ъ ти каждого уравнения на величину —-—, , 27?m4D11D22 и, обозначив Fxm — aBm и Fxm — ЪСП1, получим следующее матричное уравнение AF — O где A — F — a11 -ПЪ11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 , ' Am 0 F xm ; O — 0 . r F y J m 0 Элементы матрицы A имеют вид r + 54Y 2 y Y y 1890Y1yYy 2 2 п m r Ъи — Y1y; a12— 4Y1yYxr . nm 2 2 п m r 27Y3y Y y a13 — 2 2 п m r a01 — a a22 — 4Y1y Y x' 2 2 п m - + 4Y1yr + 54Y 2 yr33 1 890Y1yr33 2 2 п m 2 2 п m 23 пm 2пm a33 — 45y y a32 — a2 63 45r3 -.22 22 2п m r п m r Величина n, входящая в уравнение (19) и определяемая равенством П — rnz 4DnD: (22) 22 (18) называется безразмерным коэффициентом устойчивости трехслойной пластины. Однородная система (19) будет иметь нетривиальное решение только тогда, когда будет выполнено условие det(A) — 0 . (23) Решив уравнение (23), получим аналитическое выражение параметра n, которое после упрощения с учетом равенств (28) примет следующий вид П — a11a22 a33 + 2a12 a12 a23 a11a23 a22 a13 a33a12 Ъ11 (a33a22 a23 ) . (24) (19) Величина n зависит от числа полуволн деформации m вдоль оси ординат. Точке бифуркации формы равновесия пластины, очевидно, соответствует такое m , при котором n принимает минимальное значение. Это значение и будет соответствовать критическому коэффициенту устойчивости пластины пкр . При известном значении пкр, из равенства (22) определим критическое усилие для трехслойной пластины ^кр — Пк sjD11D22 Ъ2 (25) (20) (21) В качестве примера расчета, определим критическое усилие для трехслойной пластины, с рассматриваемым закреплением краев. Суммарная толщина несущих слоев пластины принимает значения t = 0.001, 0.002 м; толщина слоя заполнителя h = 0.01, 0.05, 0.1 м. Материал несущих слоев характеризуется модулями Юнга Ex = Ey = 54.55 ГПа, модулями сдвига Gxy = 20.67 ГПа, Gxz = Gyz = 3.78 ГПа, и коэффициентами Пуассона vxy = 0.32, vyx = 0.32. Материал заполнителя характеризуется только модулями сдвига Gxz = 440 МПа, Gxz = 220 МПа. Размеры пластины в плане: a = 0.5; 1; 1.5; 2; 3; 5 м; Ъ = 1 м. Результаты расчетов для пластины представлены в табл. 1. Верификация результатов расчета критического усилия выполнена в конечно-элементном пакете COSMOS/M с помощью конечного элемента SHELL4L [4] (табл. 2). Сравнение результатов обоих расчетов позволяет сделать вывод о достаточной точности предлагаемого метода, так как расхождение результатов не превышает 5 %. 71 Вестник СибГАУ. № 3(49). 2013 Таблица 1 Критические усилия для трехслойной пластины Параметр a, м; (b=1 м) 0.5 1 1.5 2 3 5 h, м; (t = 0.001 м) 0.01 пкр 75.402 28.766 22.358 22.846 22.358 22.086 Nm, кН/м 114.08 43.524 33.828 34.566 33.828 33.416 m 1 1 1 1 2 3 0.05 пкр 71.962 28.616 22.441 22.963 22.441 22.189 Nm, кН/м 2577.8 1025.1 803.88 822.61 803.88 794.86 m 1 1 1 1 2 3 0.1 пкр 67.838 28.347 22.474 23.045 22.474 22.250 Nm, кН/м 9909.6 4140.8 3283.0 3366.4 3283.0 3250.2 m 1 1 1 1 2 3 Таблица 2 Критические усилия для трехслойной пластины, вычисленные МКЭ Параметр a, м; (b=1 м) 0.5 1 1.5 2 3 5 h, м; (t = 0.001 м) 0.01 Nm, кН/м 111.13 42.611 33.342 34.169 33.394 33.047 m 1 1 1 1 2 3 0.05 Nm, кН/м 2493.7 996.57 786.76 807.61 787.88 780.53 m 1 1 1 1 2 3 0.1 Nm, кН/м 9621.2 3997.8 3190.6 3281.4 3195.3 3169.2 m 1 1 1 1 2 3 Таким образом, решена задача определения критических усилий трехслойной пластины со свободным краем, у которой два противоположных края шарнир-но-закреплены, а один край жестко закреплен. Для решения уравнений устойчивости был использован метод Канторовича и обобщенный метод Галеркина. Выполнена верификация полученного аналитического решения, показавшая, что определение критических усилий может быть выполнено с достаточной инженерной точностью без значительных вычислительных затрат. Поэтому полученные формулы могут быть полезными при проектировании трехслойных пластин.

作者简介

A. Lopatin

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev

31 “Krasnoyarskiy Rabochiy” prosp., Krasnoyarsk, 660014, Russia

P. Deev

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev

Email: prokhor777@gmail.com
31 “Krasnoyarskiy Rabochiy” prosp., Krasnoyarsk, 660014, Russia

M. Rutkovskaya

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev

31 “Krasnoyarskiy Rabochiy” prosp., Krasnoyarsk, 660014, Russia

参考

补充文件