Group saturated GL 2(q)

详细

The author presents the obtained structure of infinite local-finite groups saturated with complete linear groups of 2 dimensionality of the finite fields.

全文:

Группа G насыщена группами из множества X, Пусть 3={GL2(pn )}. Отметим, что ни характериесли любая конечная подгруппа K из G содержится стика p конечног2о поля, ни натуральное n не фикси-в подгруппе группы G, изоморфной некоторой груп- „ X [1] fj ’ f fj руется. Доказана следующая. пе ?? } ]. г„ Теорема. Локально конечная группа G насыщен- В работах [2; 3] изучались периодические группы с дополнительными условиями конечности, насы- ная группами из множества ^, изоморфна GL2(Р) щенные множеством {GL2(3n)} . В данной работе для некоторого л°кальн° к°нечн°г° поля Р. Известные факты и определения. продолжены исследования в этом направлении. 96 Математика, механика, информатика Предложение 1. Пусть L = GL2 (q), где q = 2n . Тогда: 1. R = 1 a ч0 1 группа группы L . a є GF(q) > - силовская 2 - подa 0 0 a 2. Nl (R) = R X (Z x T), где Z = (a 0)^1=q -1,. 5. Nl (Z x T) = Z x T X (ю), где ю = I 1 центр группы L, T = 3. R - абелева группа периода 2 и R с SL2(2n). 4. Cl (R) = (R x Z). 0 1 0 6. Все силовские 2 - подгруппы группы L сопряжены и пересекаются тривиально. 7. Пусть M =< a >x< b >, где |a| = |b| = k > 2 подгруппы L. Тогда k делит q -1 и для некоторого g є L Mg с (Z x T) и Nl (M) = Nl (Z x T). 8. L = L2(2n ) x Z. 9. L = . L - L2(2n ) [4]. 2. Nl (R) = R X (Z x T ), где Z =^ a )У î: ;}■ t ■ q-1 центр W o ay/ /(a 0)\ . . группы L, T = 3. R - абелева группа периода p и R с SL2(pn ). 4. Cl (R) = (R x Z). ч / V ( 0 1 5. Nl (Z x T) = ( Z x T ) Х(ю), где ю = І 1 o 6. Все силовские p -подгруппы группы L сопряжены и пересекаются тривиально. 7. Пусть M = (a) x (b), где a| = |b| = k > 2 подгруппы L . Тогда k делит q -1 и для некоторого g є L , Mg с (Z x T) и Nl (M) = Nl (Z x T). L = SL2(pn ) X T = (SL2 (pn )Z ) \(t) , где h 0 t = \ o 1 I и h элемент поля GF(pn ) из которого не извлекается корень квадратный. 9. Если q = -1(mod4), то L = ( SL2(q) - Z ) X (a). 10. Если* g = l(mod4) то L/Z(L) = L2(pn \ (u), где u инволюция, являющаяся образом элемента и= ta при гомоморфизме L ^ L / Z (L) [4]. 11. Если q = 1(mod4), 2s - 2 часть числа q -1, ïпримитивный корень степени 2s из 1 в GF (q) то силовская 2-подгруппа S -порядка 2S+1 является Z ( L) Предложение 2. Пусть G = L2 (q), где q = 2n > 2 и P - силовская 2-подгруппа группы G. Тогда: 1. Р - элементарная абелева группа, и любые две различные силовские 2-подгруппы группы G пересекаются тривиально. 2. CG (a) = Р для любой инволюции a є P . 3. Ng (P) = P X H - максимальная подгруппа в G, являющаяся группой Фробениуса с ядром Р и циклическим дополнением H порядка q -1, действующим транзитивно на множестве инволюции из P. 4. Ng ( H ) - группа диэдра порядка 2(q -1). 5. Если K - подгруппа в G и K обладает нетривиальной нормальной подгруппой нечетного порядка, то Ng (K) - группа диэдра порядка 2(q -1) или 2(q +1) [5]. Предложение 3. Пусть L = GL2 (q), где q = pn и p - нечетно. Тогда 171 a) 1 1. R = •< I o 1J, a є GF(q)j-- силовская p - подгруппа группы L . сплетением '% 0 Z Z2 S= групп 1 0)(0 1 ) o 1 д o ^1 0y 12. Если q = -1(mod4), 2s - 2 часть числа q +1, £, примитивный корень степени 2S+1 из 1 в GF (q2) то силовская 2-подгруппа S - является полудиэдральной группой Kï 0 ) ( 0 порядка 2 s+2 S= 0 ï + ïq Предложение 4. Группа L2 (q), где q = pn - степень простого числа p , имеет следующие подгруппы: 1) q +1 сопряженных абелевых элементарных подгрупп порядка q ; 2) (q ± 1) / 2 сопряженных циклических подгрупп (q ± 1) порядка 2 и 1 берутся в знаменателе согласно 2;1 p > 2 и p = 2; Z (G). 3) q (q ± 1)/2 сопряженных циклических подгрупп порядка q-1 h,qT делит 4) M (q)/2dT сопряженных групп диэдра порядка 2dT , где dT - нечетное число и M (q) = q(q2 -1) для p = 2 и M (q) = q(q2 -1)/2 для p > 2; 5) две системы, каждая из M(q)/4d ^ сопряженных групп диэдра порядка 2dT, где dT - нечетное число, большее 2; и 97 Вестник СибГАУ. № 1(47). 2013 6) для pn = 8h ± 3 одно множество из M (q) /12 сопряженных нециклических подгрупп порядка 4; ^ (pn -1)(pn - p)...(pn - pm-1) 7) -— множеств, каждое (pm -1)(pm - p)(pm - pm-1) p2n -1 из -£-;- сопряженных коммутативных групп (2,1; 1)(pk -1) порядка pm, где (2,1; 1) означает 2,1 или 1 согласно одному из случаев: p > 2 и четное число, p > 2 и n/ k - нечетное число; или p = 2 и n / k - целое число; k делитель m, зависящий от свойств группы порядка pm ( pn -1) pn 8) множество из (2,1; 1)(pk -1) Фробениуса порядка pmd, где k и d- зависят от m; 9) (2,1;1) множеств, каждое из M(p ) M(q)/(2,1;1) сопряженных подгрупп, изоморфных PSL(2, pk ), k - делитель n; 10) две системы, каждая из M(q)/2M(pk ) сопряженных подгрупп, изоморфных PGL(2,pk) -p> 2, и/ k - четное число; 11) для q = 8й ± 1 два множества, каждое из M (q)/24 сопряженных подгрупп S4; 12) для q = 8h ± 1 два множества, каждое из M (q)/24 сопряженных подгрупп A4; 13) для q = 8h ± 3 или q = 2n, n - четное число, M (q) /12 сопряженных подгрупп A4; 14) для q = 10/ ± 1 две системы, каждая из M (q) / 60 сопряженных подгрупп A5 [5]. Доказательство теоремы. Лемма 1. Пусть K1, K2 - группы, K с K2 , K - GL2(pn1 ) K2 ~ GL2(pn ). где z = z ( K1) центр K Z2 = Z2(K2)) - центр K2 . Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим следующие ситуации: 1) p = p,=2 2) p = 2, p, >2, 3) p1 > 2 p, = 2, 4) p1>2 p, > 2. Пусть K1 = K K K2 = -K^! 2 Z(K,) Ясно, что K1 < K2. z ( K2) z (K2) n z (K1) Z1 и z1 =z1 n z, 1) по предложению 1 (пункт 9), K2 = L2 (2n ) x z2 и K1 = (2й1) x z1. Тогда L,(2n1) сопряженных групп K1 — L2(2n1) x z 1. Из предложения 2 (пункты 1, 2) вытекает, что z1 = 1. Итак, в ситуации 1 лемма доказана; 2) по предположениям 1-3, K = L2(2n1) x z1 и K 2 = L2(pn2) X (t). В силу того что K1 порождается 2'- элементам, то K1 ç L2(pn2). Но из предложения 4 вытекает, что при z1 Ф 1 таких подгрупп в L2 ( pn2 ) нет. Итак, z1 = 1 и в ситуации 2 лемма доказана; 3) по предложениям 1-3, K1 = L2(pИ1)X (t)и K2(2n2) = L2(2n2). Но силовская 2-подгруппа в K2 элементарная абелева, а в K1 нет (предложение 3, пункт 11, 12, предложение 2, пункт 1). Противоречие. Таким образом, ситуация 3) невозможна; 4) по предложению 3 (пункты 8-10). Следовательно, K = ( L, ( pn ) X z 1) ^(^1), K2 = L,^) ^t^ и Если 2 g n(z2 n z1 ), то возьмем инволюцию x1 из z рассмотрим в K подгруппу по- Тогда R = x1 x ((x^ x (x3)), где (x^ x ^x^ подгруппа рядка 4 из K1. R лежит в некоторой силовской 2 подгруппе S2 из K2 и S2, либо полудиэдральная групп, либо группа диэдра (предложение 3, пункты 11, 12). Но в обоих случаях в S2 нет элементарных абелевых подгрупп порядка 8. Это означает, что z1 содержит инволюцию, а K1 содержит элементарную абелеву подгруппу R порядка 8. В силу включения K с K2 R лежит в некоторой силовской 2 подгруппе S из K2. Но S не содержит подгруппу типа R (предложение 3, пункты 11, 12). Таким образом, z1 нечетного порядка. Следовательно, L2 (p1n1 ) x z1) ç L2 (p,?2 ). Но таких подгрупп в L2 (p’f2 ) нет, при z1 ф 1 (предложение 4). Таким образом, z1 = 1 и в ситуации 4 лемма доказана. Лемма доказана. Лемма 2. Пусть K є 3(1) . Тогда z (K) ç z (G). Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем конечную подгруппу K є 3(1). Следовательно, K - GL2(p^0). Пусть g є z (K) покажем, что g є z (G). Предположим обратное. Тогда найдется такой x є G, что gx ф g. По условию насыщенности конечная группа (K,x) çK - GL,(pk1). и и и 98 Математика, механика, информатика Пусть Z1 = Z (K1 ). Из леммы 1 вытекает, что Z(K) с Z(K1), а значит, gx = g. Противоречие cвыбором x. Лемма доказана. Лемма 3. Z (G ) - локально циклическая группа. Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, пусть (x1,x2,...xn) - конечно порожденная подгруппа из Z (G ). По условию насыщенности (x1, x2,...xn ) с K2 - GL2 (p2 ). Ясно, что (x1,x2,...xn^ с Z2 = Z2(K2). Так как Z2 - циклическая группа, то и (x1,x2,...xn} - циклическая группа. Лемма доказана. Рассмотрим теперь фактор группу G = G / Z. По лемме 3 и [4] G локально конечная группа насыщенная множеством групп {GL2(pn)/Z(GL2(pn))}, (предложения 1-3). Рассмотрим в G подгруппу L порожденную всеми подгруппами K такими, что K = L2 ( pn ). Лемма 4. L - L2 (P), где P - подходящее локально конечное поле характеристики p . Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что группа L насыщена множеством 31 = {L2(pn )}. Возьмем в L конечную подгруппу M . По определению группы L, M £ L1,...Li,...,Lm > для некоторого набора конечный подгрупп Lг с L таких, что Lг — L2 (pr‘i ) и і = 1,m. Пусть M и L, - некоторые конечные прообразы групп M и L в G такие, что M £ < А, ... Li, .., Lm > По условию насыщенности L ..., L.., ..., L.) £ N с G и N - GL2(p^1). По предложению 1, (пункт 8) и предложению 3 (пункты 8-10). N = N / Z (G) = ~1 x (ta ), где Lm+1 - L2 (p^1 ) , t -инволюция и стє {0,1}. Итак мы можем записать вложение (L1,...Li ^.^Lm) £ Lm+1 X = N . Так как все L, ко нечные простые неабелевы группы, а Lг n Lm+1 < Lг (заметим, что Lm+1 < N), то либо Lг n Lm+1 = 1, либо Li n Lm+1 = L, . Первый случай невозможен, поскольку тогда N: Lm+^ > |^| > 2, а с другой стороны |N: Lm+\ = |Lm+1 x(U)): Lm+^ = 2. Противоречие. Следовательно, остается второй случай. Но тогда все Li лежат в Lm+1 , а значит, и M лежит в Lm+1. Итак, насыщенность L группами из множества 31 доказана. По основному результату из [6] L - L2 (Р) для некоторого локально конечного поля P характеристи ки p . Лемма доказана. Зафиксируем простое p из леммы 4. Лемма 5. |G: l| < 2. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если p = 2, то утверждение леммы очевидно (предложения 1, 2). Пусть p ф 2. Возьмем в G конечную подгруппу Gk =■ GL2 (pmk ) и рассмотрим ее образ Gk в G. Тогда Gk = Lk X (t^, где Lk — L2 (pmk ), а t -инволюция. Если t є L для любой Gk , то Gk с L, поскольку Lk лежит в L по определению, G = L и |g: l| = 1. Пусть для некоторого t g L . Покажем, что G £ L X , так как обратное включение очевидно. Действительно, пусть g є G а g некоторый его прообраз в G. По условию насыщенности (t,g) с Gk - GL2(pm) и при переходе к G получаем g) £ Gk = Lk X f) с L X 0 где Lk - L2( p^k ). Значит g є L X ('>• В силу произвольности выбора g получаем G с L X (t^ и окончательно G = L X 0. Лемма доказана. Завершим доказательство теоремы. Пусть L и Р из условия леммы 4. Так как P - локально конечное поле, то оно счетно. Выберем в P цепочку конечных подполей Р с р с ... с Р с... ад такую, что и р1 = Р. Выберем в L цепочку конечный i=1 подгрупп L с L2 с... такую, что L7 — L2(Рг) и ад _ U Lг = L. Обозначим через Lг некоторый конечный і=1 прообраз L{ в G. Так как Z (G ) - локально циклическая группа, то она счетна. Выберем в Z (G ) цепочку конечных подгрупп Z1 с Z2 с... с Zг с... такую, что ад U Zi = Z (G). По лемме 5 любой элемент g группы i=1 G представим в виде g = z, ujt*, где z, є Zt, u j є Lj , а є {0,1}, и где t - фиксированный элемент четного порядка из G. По условию насыщенности, < z1, L1t > с G1 - GL2(pm1) = GL2(p*), где p* - конечное подполе из P и p* = pm1 (лемма 4). Предполо 99 Вестник СибГАУ. № 1(47). 2013 жим, что мы определили группу Gl — GL2(pm1) для l > 1. По условию насыщенности, конечная группа < z/+1, Li+1, Gl > с Gl+1 - GL, (pml+1 ) = GL, (P^ ), где Pl+1 подполе из P и P^l = pm+1 по лемме (4). По построению ад G1 с G2 с ... с Gi с Gi+1 с ... , UGl = °. i =1 Р*с Р... с Pi с Pl+1 Значит, GL2(Р*1) с GL2(Р*2)< ад и U GL2P ) = GL,(P). U Pi= p. l=1 ... с GL2(P*). l=1 В силу изоморфизма Gl — GL2(P*), получаем, что ад G = U Gl - GL,( P). l=1 Теорема доказана.