ABOUT ELASTOPLASTIC TORSION OF ROD

Full Text

Рассмотрим упруго-пластическое кручение прямого стержня, поперечное сечение которого ограничено выпуклым контуром Г. При достаточно большом значении крутящего момента в стержне образуется пластическая область P. Она начинает образовываться на внешнем контуре Г. Предположим, что пластическая область полностью охватила контур. Тогда в поперечном сечении возникают две области - пластическая P и упругая F, L -граница раздела областей. Решению задачи о напряженном состоянии упруго-пластического стержня посвящено много работ, но большинство из них основываются на некоторых предположениях о форме границы L, которая, вообще говоря, заранее не известна. Оригинальный метод по определению неизвестной границы предложен Б. Д. Анниным [1]. Этот метод основан на контактных преобразованиях и позволяет определить границу раздела между упругой и пластической областью в стержнях овального поперечного сечения. Постановку задачи и под робный обзор результатов можно найти в [1] и цитируемой там литературе. Рис. 1 В предлагаемой работе с помощью законов сохранения определяется напряженное состояние во всех внутренних точках стержня, и предлагаются формулы для аналитических вычислений этих напряжений для случая кусочно-гладкой ориентированной границы поперечного сечения. Законы сохранения уже давно и плодотворно используются для решения многих задач математики и механики. Краткий обзор результатов и решенных задач из разных областей механики можно найти в [2-4]. Математика, механика, информатика Постановка задачи. Пусть Txz, тyz - единственные ненулевые компоненты тензора напряжений. В упругой зоне они удовлетворяют уравнению равновесия dx ду (1) и уравнениям Txz = G0(!x - ^ , Tyz = Ge(fy + xl . (2) Здесь функция 0y(x, у) определяет депланацию поперечного сечения, e - постоянная, G - модуль упругости при сдвиге. Введем функцию напряжения ф по формуле дф дф Txz =~ду ’т yz =-ax (3) тогда для определения ф в упругой области получаем уравнение д2 Ф д2ф = i?+^=a (4) где a = -2G0 - постоянная, не равная нулю. В пластической области компоненты Txz, тyz помимо уравнения равновесия удовлетворяют условию пластичности (5) Txz2 +Т yz2 = 1. Здесь, для простоты дальнейших вычислений, постоянную пластичности считаем равной единице. Вводя в это уравнение функцию напряжения, получаем (* )2- + (Зф )2 = 1. Dx ду (6) д2 ф д2ф —2+ —2 = a . Dx ду2 (7) (^ )2 + (^Ф )2 = 1. дх ду (8) На Г для функции ф выполняются условия Ф = 0 (9) дф дф , дф — = 0 или —I + —l2 = 0 Зі Dx 1 ду (10) на границе раздела L функция ф непрерывна. Требуется найти ф в упругой и пластической областях, а так же найти границу раздела L. Введем обозначения hx = u, фу = v . Тогда уравнения (7)-(8) примут вид F = u'x + vy - a = 0, (11) u 2 + v2 = 1 . (12) В силу введенных обозначений будет выполняться равенство F = uy -vx = о (13) Определение. Назовем вектор (A, B) сохраняющимся током, для системы уравнений (11), (13), если выполнено соотношение дxA +дyB = A1F1 + Д2F2 = 0 . (14) Здесь Д1, Д2 некоторые линейные дифференциальные операторы. Это означает, что для функций A и B справедлив закон сохранения на всех решениях системы (11),(13) д xA + дуВ = 0 (15) Закон сохранения (15) в силу уравнений (11),(9) имеет вид Ax + Auux + Avvx + By + Buuy + Bvvy = 0 или, учитывая, что ux = a - vy и uy = vx , Ax + Aua - Auvy + Avvx + By + Buvx + Bvvy = 0 . Из последнего равенства следует, что функции A и B удовлетворяют уравнениям Граничные условия. Предположим, что боковая поверхность свободна от напряжений. Это означает, что дН = 0 - на контуре Г. Здесь 1 = (l1, l2) - касательная к контуру Г. Отсюда получаем, что ф = const вдоль контура Г. Поскольку Г односвязный контур, то полагаем, что ф = 0 на Г. Окончательно получаем следующую задачу: В области ограниченной кривой L необходимо решить уравнение Ax + Au • a + By = 0 , Bv - Au = ^ Av + Bu = 0 (16) (17) В области ограниченной кривыми L и Г (т. е. в области пластичности P) функция ф удовлетворяет уравнению (16)-(17) - уравнения Коши-Римана. Рассмотрим область D с границей Г, при условии, что область пластичности P полностью охватывает упругую зону F. Пусть Г - гладкая ориентированная кривая, т. е. непрерывно дифференцируемая кривая без особых точек. Из закона сохранения (15) следует, что //(д xA + д yB )xdy = 0. (18) D Из (18),используя формулу Грина, получаем fAdy - Bdx = 0. (19) Г Наша задача найти такую область F принадлежащую, вместе с ее границей L области D , в которой выполняется неравенство u2 + v2 < 1. Пусть A = au + вv, B = av - ви + y , тогда Ax = a xu + aux + в xv + вvx (20) By = ayv + avy -вyu-вUy +Yу . у Ky- K“y ly- (21). 101 Вестник СибГАУ. № 3(49). 2013 Согласно закону сохранения (15) получаем равенство Ax + By = axu + aux +pxv + pvx + (21) + аyv + аУу -Pyu-puy +Уу = 0 из которого следуют условия на функции а,р и у ах -py = а ■р X +а У = °, (22): аа + yy =°. Рассмотрим два решения системы уравнений (22). Первое имеет вид P1 = (x - xo) + (у - У°) У - У° (X - x° )2 + (у - у° )2 X - x° Y1y = -a тогда (x - xo) + (y - y°) У - y° Y1 = -a • arctgx - x° (23), (24) а 2 = Соответственно второе возьмем в виде У - У° x - x° P2 =• (x - xo) + (у - У°) (x - xo) +(у - У°) У - y° Y 2 y =-a- (25) (x - x° ) +(y - У° ) тогда Y2 =--j •ln(x - x° )2 +(y - У° )2 ) Перепишем уравнение (19) для функций A и B : fAdy - Bdx = f (au + Pv) dy - (av - Pu + y) dx = r l Л -а — + P l1 vdy udx - Г l -а— + P і1 ^ dy -dy ’ ( І А а —-P V l2 J а — -P — dx - $Ydx = V і2 М Г ґ ІА Г V l1 У V І2 У Г Г ду = faudy - (av + y) dx = ° f -a — vdy - a — dx - ^ydx + fP(—ф dy+~фdx) = 1 L r r dy dx (26) Разобьем границу Г на части, т. е. Г = Г1 + Г2 + Г3 + Г4, где Г3 - окружность (X - x° )2 + (у - у° )2 = R2. Тогда fAdy - Bdx = faudy - (av + y) dx = Г Г = faudy - (av + y) dx + faudy - Г1 Г2 (27) (av + y) dx + faudy - (av + y) dx + Г3 + faudy - (av + y) dx = 0. Г4 Очевидно, что faudy - (av + y) dx + faudy + Г2 Г4 + (av + y) dx = 0. С учетом этого условия уравнение (25) примет вид faudy -(av + y) dx = - faudy -(av + y))x . (28) Г3 Г1 Вычислим интеграл f, где Г1 - окружность ра- Г1 диуса R. Пусть X - Xn a = a1 = P = P1 = (x - x° ) +(y - У° ) У - y° (X - x° )2 + (y - y° )2 (29) Y = Y1 = -a • arctg У - У° x - x° Введем полярную систему координат T x - x° = Rcosф IУ - У° = RsinФ тогда (3°), dx = -Rs^dф cos^ „ sin ф , a=--,P =-— ,Y = -aф . (31) dy = Rcosфd ф R R В результате вычислений при R ^ ° получим faudy-(av + Y)dx = nu (x°. y° ). (32) Г1 Аналогично при a = a2, P = P2, Y = Y2 faudy-(av + Y)dx = nv (x°. y° ). (33) Г1 В результате из (14) имеем fa1udy-(a1v + y1 )dx =nu (x°. y° ), (34) Г3 fa2udy-(a2v + y2)dx =nv(x°.y°) . (35) Рис. 2 Г Г 102 Математика, механика, информатика Зададим кривую Г3 в параметрическом виде: x = f (t), у =ф(t), 0 < t < T (36), f (t),ф "(t) соответственно производные функций f (t) и ф (t). Тогда функции u (xq.Уо),v(xq.Уо) из (28), (34) будут вычисляться по следующим формулам u (xo.y„ ) = П Г(f f)-x" )(f A ))2 + (H"(t ))2 + n 0 V(f (t)-xQ)2 + (H(t)-Уо)2 + af'(t) arctg Hft)) Уо )dt, f (t)- xo vf y ) 1 r,(H(t)-Уо)(f'(t))2 + (ф "(t))2 , 4xQ.yo) - l( і——-2-—-2 + П Q V(f (t)-xQ) + (H(t)-Уо) + 2 f'(t)ln(( f f)- xo)2 + ff)- Уо)2 ) dt. Для получения этих соотношений использованы решения (34) и (35) соответственно. Теперь вычисляем значение выражения u 2 + v2 (38) в точке (xQ, yQ). Те точки, в которых (38) больше или равно единице, принадлежат пластической области, а те в которых выражение (38) меньше нуля - упругой. На основе формул (34), (35) созданы программы, которые позволяют с любой точность строить пластические и упругие области в скручиваемом стержне. Решение тестовых задач показало хорошее совпадение с известными решениями.

About the authors

S. I. Senashov

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev

Email: sen@sibsau.ru
31 “Krasnoyarskiy Rabochiy” prosp., Krasnoyarsk, 660014, Russia

O. N. Cherepanova

Siberian Federal University

79 Svobodny рrosp., Krasnoyarsk, 660041, Russia

A. V. Kondrin

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev

31 “Krasnoyarskiy Rabochiy” prosp., Krasnoyarsk, 660014, Russia

References

Supplementary files