ON GENERALIZED SOLVABILITY OF MIXED VALUE PROBLEM FOR NONLINEAR EQUATION WITH PSEUDOPARABOLIC OPERATOR OF HIGHER POWER

Abstract

In this article the author proves the theorems about the generalized solvability of mixed value problem for nonlinear partial differential equations with pseudoparabolic operator of arbitrary natural power.

Full Text

В области D рассматривается уравнение 2 m+1 _^+(-1)m v——2_ dt dt d x2m d t d x4 m d x4 m (1) l(t, x) = f (t, x, u (t, x) ) ^ф(4nm 2)(y) dy = 0, j = 1, n, 0 D = DT x Dt, DT = [ 0,T ] , Dt = [ 0,l ] 0<l<ад,0<T<ад , 0<v,ц с начальными (t, x)|x=0 = j u (t,y) dy = d x (4) и граничными условиями u (t, x)| x=0 = uxx(t, x)| x=0 d 2(2nm-1) —u (t, x)| t=0 =Ф; (x), j = 2, u (t, x)| t =0 =Ф1 (x), 2(2nm-1) dj-1 d t: малаге параметры, n, m - натуральные числа. Следует отметить, что изучению разного типа ли-(2) нейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных и их систем посвящено много работ и при этом применены разные методы (см., например [1-4]). В данной работе, как и в работах [5; 6], используется метод разделения переменных, основанный на поиске решения смешанной задачи (1)-(3) в виде i(t, x) = Z al (t) • bt (x) (3) г =1 l = j uyy (t, y) dy =... = j u (t,y)dy = 0, 2(2nm-1) d y 0 где f (t, x, u) e 0(D x R), ф; (x) e C 2nm+1(Dl), Фj (x)|x=0 = фj "(x)|x=0 = . . . = ф j4nm-2)(x)|x=0 = a (t) l l l j Ф j (y) dy =j фj "(y) dy = ... = j ф(4nm-2)(y) dy = 0 : где bi(x) = ^2sinX-x, X* = . Множество {a(t) = (ai(t))| ai(t) e C(DT), i = 1, 2, ...} введением нормы 2 (T ) ад f > 2 ~ z max ai (t) i=1 t teDT становится банаховым пространством и обозначается через B2(T). Наряду с пространством B 2 (T) рассмотрим и пространство B ^ (T) с нормой дn-’ д -Ф + n n+4m-2 = j Ф1(у) Ф+ д tn- 2 д у4 m д tn n+4 m-1 n (n -1) д 2 д tn-3 д у4 m+2 n (n -1) д Iя (t)l Ib n (T ) = N f \ 2 ~ IX max aN (t) i=1 t tmDT Ф + n Ф+ + ... + 4 nm-4 4 nm-2 2 д t д у д у n+6m-2 f д n+2 m-1 д tn-1 д у2 m д Ф + n Ф+ +v д tn-2 д у6 m Для каждого элемента a (t) е B 2(T) определяется ад оператор: Qa (t) = Xat (t)• bt (x). i =1 Обозначено через E2(D) множество значений оператора Q . Здесь очевидно, что Q : B2 (T) ^ E2(D) и E2(D) с L 2(D). Обозначается через W2(k^(D) множество функций д 2 d 2(2»m-1) Ф(t, x) таких, что Ф(^ x), —- Ф(t,x),..., ———— Ф(t,x) дх2 dx2(2nm-1) при фиксированном t е DT принадлежат области оп n (n -1) дn n (n -1) Ф+ ... + n-3 ry . 6m+2 2 дtn-3 ду 4nm+2m-3 д -Ф + n x 4nm+2m-4 4nm+2m-2 дt ду +v ц ду f д n+4 m-1 д tn-1 д у4 m n+8 m-1 Ф + n Ф+ д tn-2 д у8 m n (n -1) n (n -1) д Ф+... + n-3 д,,8m+2 2 д^-3 ду 2 Л j t=0 -Ф + ёу- Ф + n Ф x 4nm+4m-2 дt ду4 nm+4 m-4 ду l - ... +jФn-J^.У) д‘ 4m ределения оператора имеют производные ,4 nm-2 д x ду4 ^ 6 m ^ Ф д t порядка к по t, принадлежащие L 2(D), и обращаются в нуль при t > T-5 (0 <5 - зависит от Ф(t,x)). Определение. Если функция и (t, x) е E2 ( D) удовлетворяет интегральному тождеству f д 2 m+1 дt ду 2 m f д 4 m+1 , 4 m Ф + n- 6 m ду д Ф + n дt ду4m ду 2 m t =0 д2m д4m Ф + V -—Ф + VU -— Ф д у2m д у4m T l д ” д -Ф + n д tn Ши (t, у) ф+ ёу - jфn (у) д tn-1 д у4 m ёу t=0 n (n -1) дn Ф + ... + для любого Ф (t, x) е W^n'} (D), то она называется обобщенным решением смешанной задачи (1)-(3). Покажем, что коэффициенты разложения ai (t) решения смешанной задачи (1)-(3) удовлетворяют следующей счетной системе нелинейных интегральных уравнений (ССНИУ): дtn-2 ду4m+2 2 4 nm-2 n (n -1) д Ф + n Ф+- Ф+ дt 2 ду 4nm-4 f д n+2 m 4 nm-2 4 nm дt ду ду Ф + n Ф+ +v дtn ду2m дtn-1 ду6m n+6 m n (n -1) д n (n -1) ai (t) = Wi (t) + Ф+... + д tn-2 д у6 m+2 2 54nm+2m-2 (5) t i +H f ( 5, у, Q a (s) )bi (у) Pi (t, s) ёу ds, Ф + n Ф д t 2 д у 4nm+2m-4 4nm+2m-2 д t д у где f д n+4 m д tn д у4 m n+8m (t) = Хф , -p- X e 1-к (v , ц): к=1 (к 1)! j=к t j-к X--exp I -e { (v , ц) t}, (j-k)^l 1iV r (n - 1)!(t - s)n e n0i (V, Ц) Ф + n Ф+ +V Ц д tn-1 д у8m n (n -1) д n (n -1) Ф+ ... + 2 Stn-2 ду8m+2 - f Ф> йуЛ = Ф+n -Ф {-e 1i (v , ^(t - s)}, Pt (t, s) = -• exp дt 2 ^ 4nm+4m-4 дt ду 0 n0i (V, Ц) 0 n0i (V, ц) = (1 + VX 2m +VЦX 4m ) l ф ki = jф k (y) bi(y) dy. + n (n2-l) X 4nm+2m-4 at »(t) + nX 4nm+2m-2 ai '(t) | + +v ц ( X 4ma(n) (t) + n X 8m a(n-1) (t) + + n {n-1) x 8m+2 a(n-2)(t) + ... + + n (n -1) x 4nm+4m-4 a^ »(t) + nX 4nm+4m-2 at '(t) I- Нас интересует укороченная система нелинейных интегральных уравнений (УСНИУ): (7) -jf (t,y, Q a(t))• bi(y)dy dt = 0 . ai(t) = wi(t) + (6) Так как h (t) - любая функция, удовлетворяющая указанным выше условиям, то ai (t) имеет обобщенные производные порядка n по t в смысле Соболева на отрезке DT . Из (7) следует, что t l +Я f ( s,y,QN a(s)) bi (y)Pi(t,s)dy ds, 0 0 где wN (t) = z ф N-^ Z 01-k (V, Ц) (k -1)! k=1 j=k a(n) (t) + nX 4m a(n-1) (t) + n (n 1) X 4m+2a(n-2) (t) + ... + t {-0 1i(V, Ц) t}, • exp (j -k)! n (n ^ 4nm-4 , л 4nm-2 . л 4nm /,>4 . +--X i ai (t) + nX i ai (t) + X i ai (t) + exp{ 0 {(V,M-)(t s)}, v ( X2ma(n)(t) + nX6ma(n-1)(t) + n(n 1) X6m+2 a(n-2)(t)- (n - 1)!(t - s)n-1 0 n0i (v , Ц) P (t, s) = л • 0 1 (V , Ц) = ~~ 0 n0i (V, Ц) 0 n0i (V , Ц) = (1 + VX 2m +V^ Г )n, QN a(t) = uN (t,x) = XXN(t)• b i (x). 4 nm+2 m - 2 ai (t) I + С учетом (4), в силу того что Ф = Ф j (t, x) = = h (t) bj (x) e ^2(n) (D) в определении и bj (x) полны и ортонормированы в L 2(Dt), где h (t) e С n (DT), j = 1, 2, ..., следует T j h (t) [ a(n\t) + nX 4ma(n-1)(t) + 0 + n (n - 1) X 4m+2a(n-2) (t) + n (n - 1)(n - 2) x 2 г ' ' 3! xX4m+4 a(n-3)(t) + ... + n(n - 13)(n -2) X4nm-6 at m(t) + + n (n-1) x 4nm-4 at «(t) + nX 4nm-2 al '(t) + X 4nm al (t) + v ( X2ma(n)(t) + n X6m a(n-1)(t) + X6m+2 a(n-2)(t) + + n (n -1)(n - 2) x6m+4 a(n-3)(t) + ... + 3! , n (n 1)(n 2) x 4nm+2m-6 a ms+\ , +--X i ai (t) + 3! j + n(n - 1)(n -2) x6m+4 a(n-3)(t) + ... + 3! j j , n (n - 1) (n - 2) x 4nm+2m-6 tttr+\ , + -X i ai (t) + 3! + n (n -1) x 4nm+2m-4 at »(t) + nX +уц ( X 4ma(n) (t) + nX8m a(n-1) (t) + + n (n2-1) X ®m+2 a(n-2)(t) + ... + n (n - 1^ 4 n m+4 m - 4 ai "(t) + nX 4nm+4m-2 ai (t) I = 2 (8) : jf (t,y,Qa(t))• bi(y)dy . Решая систему (8) методом вариации произвольных постоянных, получаем a (t,V,ц) = (Сц + C2it + C3it2 + C4it3 + ... + Cm tn-1 )x 11 xexp{ -0 li(V,ц)t ] + jj f (s,y, Qa(s) )x (9) 0 0 xb i(y)P*(t, s) dy ds, t e DT. Используя условия ai (0) = фи , ai '(0) = ф2i , ai "(0) = ф3- , ..., a(n-1)(0) =фm для определения коэффициентов Cj (j = 1, rnb из (9) получаем (6). Теорема 1. Пусть выполняются следующие условия: . j f(t,x,QNw(t))| dt < Д < ад; L2 (Di) I. f (t, x, и) е Lip {l (t, x) |u } . решения: a (t) е B(T) и S (t) е B(T). Тогда для их разности справедлива оценка L (s , x П L,( D, )ll a (s)-S (s)ll B 2N (T ) ds . |a (t) S (t) || BN (T) < M1, NM2,N 1 2 X (14) где 0 < HI L(s,x) ||L ) ds <ад; 3. Ilw(t)IIb2n(t) <ад, где I lw (t )l Ib?(t ) = N f > 2] X max ai (t) i=1 t tеDT j Тогда УСНИУ (6) имеет единственное решение в пространстве BN (T). Доказательство. Используется метод последовательных приближений: a 0 (t) = wi (t), t е DT , a k+1 (t) = wi (t) + t i Применение к (14) неравенства Гронуолла-Белл-мана дает, что || a (t) - S (t) | In (t , = 0 для всех t е DT . II II B 2 (T ) Отсюда следует единственность решения УСНИУ (6) в пространстве B(T). Рассмотрим формулу (4) как следующее предельное соотношение: N и (t,x) = lim uN(t,x) = lim X af(t)• bt(x). (4') N^ад N^ад . i =1 Подставляя ССНИУ (5) в предел (4’), получим формальное решение смешанной задачи (1)-(3): +j jf (s, у , QNak (s)) bi (у)р'(t, s) ёу^ k = (10) u (t, x) = lim X [ wt (t) +j jf (s, у, QN a (s)j 0 0 N ^ад i =1 0 0 (15) = 0,1,2,3,..., t е DT . bi (у) Pi (t, s) d у d s ] • bi (x). Теорема 2. Пусть выполняются условия теоремы 1 Учет условий теоремы в (10) дает оценки и w (t) 2 (T ) (11) (T) < (12) < Д M1, N M2, N ,q j || L (s, x ) || L 2 (D/) d s • a4t) - a0(t) N <M1M21q Д. I IIb N (t ) 1 2 la 2( t) - a :(t) I 2 шением УСНИУ (6), то (15) будет обобщенным решением смешанной задачи (1)-(3). Доказательство. Так как a (t) е BN (T), то из ра- N венства lim u N (t,x) = lim Xat (t)• bi (x) = u (t,x) < ад. Если a (t) е B2 (T) является ре i =1 где M1, n HI P (t, s)| M2,N HI b (x)| \1 )• Продолжая этот процесс для произвольного натурального числа к , подобно (12) получаем в силу условий теоремы следует, что lim f ( t,x, uN (t,x)) = f (t,x,u(t,x)) (16) N ^ад ' ' в смысле метрики L 2(D). Рассмотрим последовательность функционалов: T i д n д n+4 m-1 -Ф + n ----— д tn д tn-1 д у4 m \ak+1( t) - ak (t) ^ I II B 2 (T ) Vn =jj] uN (t,у) Ф+ L (s , x)lIl2(D,) ds 1 Л M1, N 1 2 n (n -1) д -Ф + ф+ дt ду4 ф+ +V д tn-1 д у6 m n (n -1) Ф + n 4nm+2m-2 дt2 ду дt ду Существование решения УСНИУ (6) следует из оценки (13), так как при k ^ад последователь- {k ) ад a (t)} сходится равномерно по t к функции a (t) е B 2N (T). Для проведения доказательства единственности этого решения в пространстве BN (T) предполагается, что УСНИУ (6) имеет два M 22kN+1 Д (13) k+1 k! 2 дt2 ду4 nm-4 д 2 д tn-2 д у4 m+2 2 дtn-2 ду6 m+2 ^4 nm+2 m-1 Ф n (n -1) д n (n -1) д дtn ду2m 2 , 4nm+2m-4 Ф+... + 5 n+6 m-1 Ф + n Ф + n 4 nm-2 n+6 m n+4 m X Ф+ ... + ( д n+4 m д --—Ф + n - 5tn дy4m n+8m-1 n+4 m-1 n (n -1) d Ф + ... + Ф+ +v ц d tn-1 d y8 m d tn-3 d y4 m+2 4 nm-3 4 nm-2 n (n -1) dn n (n -1) d 5 n (n -1) -Ф + n -Ф+ ^+ ... + d t 5 y4 n f d n+2 m-1 d tn-1 5 y2 m d y4 nm n+6m-2 3 4nm+4m-2 5 4 nm+4 m-1 d Ф + n Ф + -Ф + n -Ф +V 5tn-2 5y6m d 12 d y 4nm+4m-4 , 4nm+4m-2 l dt dy‘ +f (t,y, uN (t,y))} dydt-jфN(y) n+6 m-1 n (n -1) d -Ф + d tn-3 5 y 6 m+ 2 4nm+2m-2 ^ Ф 4nm+2m-3 n (n -1) d d dn-' 5 Ф + n n+4m-2 n+4 m-1 n (n -1) d Ф + n Ф+ Ф+ 4nm+2m-4 4nm+2m-2 dt dy dy n+8m-2 dtn- 2 dy4 m dtn-3 dy4m+2 dtn f d n+4 m-1 d tn-1 5 y4 m 5 4 nm-3 4 nm-2 n (n -1) d 5 Ф + n Ф + +V ц Ф + n Ф+ + ... + 5 tn-2 5 y8 m 4 nm-4 4 nm-2 d y n+6m-2 n+8 m-1 f d n + 2 m-1 5 tn-1 5 y2 m n (n -1) d 5 Ф + Ф + n Ф+ +V d tn-3 5 y 8m+2 5tn-2 5y6m n (n -1) d ^4 nm+2 m-2 Ф n (n -1) d4 Ф + +... + -Ф + n + ... + 4nm+4m-4 2 d t d y ^4 nm+4 m-2 ^ Ф 2 dt dy4n' 5 n+6 m-1 f d n+4 m-1 n (n -1) d +^^—1;-—Ф + vц dy - + n Ф + 4 nm+4m-2 d y dtn-3 5y6m+2 d tn-1 d y4 m t=0 ... + j ( Ф n-1(y)-jZ Ф (n-1) ibг (y) n (n -1) dn Ф + Ф + n 5tn-2 5y8m dtn-3 5y8m+2 4 nm+4 m-3 n (n -1) d Ф + + ... + -Ф + n- -Ф + V -Ф + nx 2 dt dy4nm+4m-4 4 nm+4m-2 Л d y4 5 d t d 4 m+1 d dy + ... - Ф dy - Ф + n + V ц , 4 m 8m 51 d y l f N -j I ф n (y) -Хф п-А(y) d y t =0 t =0 -j^-i( y) 5 ^ —Ф + n d1 6 m Л Ф + 4m 5 y i=1 5 2 m 4 m d 5 •Ф + n Ф Ф + + V + VЦ dy + Ф + V - Ф + v ц Ф X d y 8m Л dy + jф N (y); d T l -Ф +n- +jj Ф(t,y) f (t,y,Qa(t)) dy8 t=0 (17) (18) Nl -Z jf (t,z,QN a(t))•)(z)d; dy . Ф + V -Ф + v ц -Ф bi (y) dydt. dy1 dy2 t=0 i=1 0 Интегрируя по частям отдельные слагаемые в (17) и учитывая условия теоремы и начальные условия ai (0) = фи , ai '(0) = ф 2i , ai "(0) = ф3i , ..., a(n-1)(0) = фш , получаем f ^ VN = j I ф 1(y)-Хфli bi(y) i=1 J n+4 m-2 0 dn-' d ■Ф + n Ф + 5tn-2 5y4m n-1 d t Очевидно, что первые n интегралы в (18) стремятся к нулю при N ^ад , так как фj (x )e L 2(Dt), j = 1, n. Сходимость последней разности в (18) при N следует из (16). Отсюда ясно, что lim VN = 0 . Это и доказывает теорему. N ^ад