ABOUT THE ACCURACY OF SYSTEMS RELIABILITY DEFINITION WITH STATISTIC METHODS

Full Text

Традиционно точность статистических оценок, в том числе и надежности, принято определять, используя известные методы расчета доверительных вероятностей на доверительных интервалах. Но эта оценка относится к номинальным значениям, полученным в результате вероятностно-статистических расчетов. При этом сама оценка принимается как безусловная данность. В предлагаемой работе рассматриваются диапазоны возможного рассеяния расчетных оценок надежности элементов и функциональных систем. Рассеяние характеристик надежности элементов определяется по результатам их испытаний. А рассеяние характеристик надежности систем определяется случайным процессом их формирования из элементов. Функциональные системы самолетов (например, гидравлическая, топливная, кондиционирования воздуха, система электроснабжения и др.) формируются путем последовательного и параллельного соединения элементов в определенные структуры. Элементами систем являются механические и гидромеханические агрегаты, электронные блоки и преобразователи. Характерной особенностью эксплуатации самолетных систем является их восстанавливаемость. После посадки самолета любой отказавший элемент заменяется исправным. При расчете надежности таких систем традиционно применяют теорему умножения вероятностей, в соответствии с которой при последовательном соединении перемножают вероятности безотказной работы, а при параллельном - вероятности отказов. Границы применимости такого подхода подробно проанализированы в работах [1-3]. В предлагаемой работе, в порядке обсуждения, исследование вопросов точности и рассеяния вероятностных оценок надежности систем, выполнено с использованием нового методологического подхода, в котором теорема умножения вероятностей не применяется [4; 5]. Предлагаемый подход основан на том, что вероятность первого отказа элемента в системе определяется суммарным параметром потоков отказов элементов, составляющих систему, и ее наработкой. В работах [3-5] предложено, при стационарном процессе эксплуатации восстанавливаемых авиационных систем, в качестве математической модели вероятности времени отказов элементов, принимать распределение равномерной плотности. Тогда вероятность отказа первого элемента в системе определится как 1 t1 = 1 ql(t) = roz-t, 0 < t < (1) ю £ где - суммарный параметр потока отказов N элементов, составляющих систему, определяемый как N J£=Z®i , (2) i=1 где ю, - параметр потока отказов i-го элемента в системе. В случае когда все элементы системы имеют одинаковые параметры потоков отказов выражение (2) будет иметь вид ю£ = N•ю . Данный подход обеспечивает возможность определения времен отказов элементов, при которых происходит изменение структуры системы. И позволяет рассчитывать надежность систем как без учета восстановления, так и с его учетом. Методы решения этих задач применительно к расчету надежности функциональных систем самолетов гражданской авиации, изложены в работах [6-8]. В предлагаемой работе оценка точности значений времени до отказа элементов выполнена только применительно к первому отказу в системе. Следует сразу отметить, что при решении задач вероятностно-статистическими методами мы не можем заранее знать, какой именно элемент откажет в момент времени t1. (4) Положив вероятность первого отказа qx (t) = 1, определим из (1) время первого отказа в системе как В целях получения и сравнения числовых оценок рассмотрим расчет для приближенного аналога гидросистемы самолета Ту-154М. Гидросистема состоит из N = 60 элементов, расположенных в трех параллельных подсистемах, по 20 последовательно включенных элементов в каждой. В расчетах аналога, примем параметр потока отказов для всех элементов одинаковый и равный ю = 1 • 10-4 ч-1, так как гидросистема самолета Ту-154М имеет примерно такие же значения для агрегатов. Время до первого отказа в системе не зависит от схемы соединения элементов и в рассматриваемом случае в соответствии с [6; 8] и выражением (1) при qx(t) = 1 определится как 1 = 166,6 ч. N •ю 60 110- Следует отметить, что эта расчетная наработка на отказ элемента в системе близка к наработке элементов в системе Ту-154М, определенной по эксплуатационным данным. Параметр потока отказов элемента системы определяется его средней наработкой на отказ ю= —. tcp При этом tcp определяется по результатам испытания большой совокупности однотипных элементов по плану испытаний с восстановлением. Таким образом, t^ является статистически средним для функции распределения вероятности отказа элементов q*(t) (см. рисунок). При распределении равномерной плотности, диапазон возможных наработок элементов на отказ изменяется от 0 до 2^р. Авиационные элементы изготавливают на сертифицированных предприятиях по сертифицированным технологиям. Элементы, устанавливаемые в системы самолета при комплектовании или замене отказавших, берутся из партии случайным образом. При этом в системе с одинаковой вероятностью могут устанавливаться элементы с различными наработками на отказ, изменяющимися в диапазоне от 0 до 24р. Допустим, что в системе, при сохранении ю£ неизменным, установлен один из наугад выбранных элементов, имеющий наработку на отказ, равную ti = 1 ч. Вероятность события р, выбора наугад из всей партии элементов именно такого элемента, определится как _ь_ 2t, cp Поскольку в рассматриваемой системе-аналоге 60 элементов, вероятность события ^60, попадания в нее такого элемента, выше и равна 1 (5) (3) t1 =" ю £ P60 =■ 60 • t 2tc Схема учета среднеквадратических отклонений при определении минимальной наработки на отказ элемента системы Поскольку рассматриваемый элемент с вероятностью, равной q(t) = 1, отказывает не в точке времени tt, а на интервале [0, tt ], то естественно допустить, что он откажет в середине этого интервала, т. е. за время t = 0,51. Отсюда вероятность отказа рассматриваемого элемента на отрезке [0, tt ] будет 60 q(t) = (6) 0,5 • t Тогда время до отказа этого первого элемента в системе, при условии попадания его в ее структуру, составит совокупности. Но поскольку racp = -N-, то и юср и t1 также не зависят от числа N выбираемых наугад элементов. В теории надежности из экспериментально построенного распределения вероятности отказа q*(t) используется только одна его числовая характеристика, это t^ стремящееся к математическому ожиданию. Но если учесть и другую характеристику, т. е. среднеквадратическое отклонение с, то возможные значения времени до отказа конкретного типа элементов определятся в диапазоне от tmin до tmax (см. рисунок), т. е. 0,5 • ti t .min , t = tcp -CT .max , . t = tcp +CT. cp 60 (7) ti =" (8) 60 При 60 элементах, имеющих t = 1 • 10 ч, это время составит 166,6 ч, т. е. тоже, что и t1, рассчитанное ранее по (3). Расчеты показывают, что если принять наработку на отказ выбранного наугад элемента системы равной 10, 100 либо 150 ч, то время до отказа первого элемента в системе t1 останется прежним и равным ti = 166,6 ч, как и определено по выражению (3). Таким образом, в работе рассмотрена процедура вероятностного комплектования системы элементами выбором их наугад. В соответствии с ней, оценивая время до отказа системы с учетом наименее надежного элемента, необходимо в вероятностной постановке учитывать и вероятности реализации события попадания в систему такого элемента. Второй вывод из полученных результатов указывает на то, что время первого отказа в системе t1 устойчиво к процедуре ее комплектования выбором наугад элементов и определяется суммарным параметром системы по (3) либо средней наработкой на отказ t^ по (7). Таким образом, показано, что и t1 не зависят от процедуры выбора элементов наугад из некоторой Неравенство Чебышева (закон больших чисел) указывает на то, что вероятность отклонений случайной величины от ее математического ожидания может выйти за пределы трех среднеквадратических отклонений не более чем на 1/9. При распределении равномерной плотности вероятность выхода случайной величины за пределы ст составляет 0,71, за пределы 2ст - 0,42, и за пределы 3ст - 0,13. В связи с изложенным проблема определения возможных границ отклонения случайной величины, наработки на отказ элемента, от ее математического ожидания представляется актуальной. Ее решение возможно сопоставлением результатов расчета надежности систем с экспериментальными значениями. Выполненные авторами ускоренные испытания восстанавливаемой системы из ламп накаливания показали приемлемость оценки отклонения 2ст . При этом для распределения с равномерной плотностью вероятности [9] оценка отклонения примет вид 2ст = ■%. V3 Распределение q*(t) определяет надежность одного конкретного типа элементов. Но существует еще рассеяние времени отказов элементов относительно t^, зависящее от числа N выбираемых наугад элементов. Это рассеяние также может быть определено среднеквадратическим отклонением ctn . Нетрудно понять, что при N = 1 стN = ст, определяемому по (9), а при увеличении N до бесконечности ctn ^ 0 . Тогда при распределении равномерной плотности ctn естественно определить как tm (10) СТ N = yf3~N' Этот же результат получается при использовании одной из основных теорем теории больших чисел теоремы Чебышева [9]. Таким образом, нами получено подтверждение необходимости использования теоремы Чебышева в расчетах надежности систем. В системах самолетов используются элементы с различными законами распределения вероятности времени до отказа q*(t). При стационарном процессе эксплуатации q*(t) для всех элементов определится распределением равномерной плотности, но со своими числовыми характеристиками t^ и стг-. Обобщенная теорема Чебышева для независимых случайных величин доказывает правомерность использования одной из основных теорем закона больших чисел (теоремы Чебышева) и для случаев с различными q*(t) [9]. Для зависимых случайных величин, правомерность использования теоремы Чебышева доказана в теореме Маркова. Поскольку для систем самолетов, отказы которых приводят к катастрофическим ситуациям, важно знать нижнюю границу оценки надежности, то в расчетах надежности элементов необходимо использовать оба среднеквадратических отклонения: и ст, и стN . Таким образом, вначале необходимо для исходного распределения q*(t) конкретного типа элементов определять среднеквадратическое отклонение и минимальное время до отказа как (11) t tcp Vs' Поскольку 4р и tmin не зависят от N, то затем следует учитывать Чебышевское среднеквадратическое отклонение для элементов системы, с учетом их числа в системе. Например, для рассматриваемого случая при равенстве средних наработок на отказ всех элементов минимальное время до отказа первого элемента в системе определится как tm (12) V3N' Тогда с учетом среднеквадратических отклонений ст и ст N значение параметра потока отказов элемента, используемое для расчета надежности систем, следует определять в виде 1 (13) tm Таким образом, показано, что в расчетах надежности систем, при определении параметра потока отказов, необходимо учитывать как значение средней наработки элементов на отказ, определенное по результатам их испытаний, так и среднеквадратическое отклонение этой наработки. Кроме того, поскольку при комплектовании системы элементы из партии берутся наугад, то в расчете надежности системы необходимо учитывать среднеквадратическое отклонение, зависящее от числа элементов в системе и определяемое одной из основных теорем закона больших чисел (теоремой Чебышева).

About the authors

E. A. Furmanova

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev

O. G. Boyko

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev

Email: bouko1962@yandex.ru

References

Supplementary files