MAGNETIC CONTRIBUTION TO FRESNEL COEFFICIENTS AT MAGNETOELLIPSOMETRIC INVESTIGATION

全文:

Синтез новых наноструктур с чередованием магнитных и немагнитных слоев чрезвычайно актуален в связи с бурным развитием нового направления электроники - спинтроники, основанном на спин-поляризованном электронном транспорте [1]. Это обуславливает актуальность разработки высокоточных и удобных в использовании методов контроля свойств получаемых структур. В контексте данной ситуации представляется перспективным развитие нового метода магнитоэллипсометрии, сочетающего в себе возможности классической эллипсометрии и измерения магнитооптического эффекта Керра. Предлагаемый метод обладает несколькими явными преимуществами. Он обеспечивает возможность не только ex situ исследования оптических, структурных и магнитных свойств наноструктур, но и диагностики материалов в процессе их создания, а значит, позволяет синтезировать наноматериалы с управляемыми на атомном уровне составом, структурой и свойствами. При этом метод не изменяет свойств исследуемых объектов, является неразрушающим и обладает достаточной поверхностной чувствительностью. Магнитоэллипсометрия позволяет получать информацию также и о связи электронной структуры с магнитными свойствами исследуемого материала. Однако, существует проблема интерпретации экспериментальных данных, особенно при магнитных измерениях, так как в этом случае требуется определенный математический аппарат, позволяющий по эллипсометрическим измерениям анализировать магнитные свойства образца. В этой связи, в данной работе была рассмотрена возможность в рамках одного эксперимента исследовать как оптические, так и магнитные свойства наноструктур. 1. Анализ основных отражающих моделей в случае проведения магнитоэллипсометрических измерений. Метод классической эллипсометрии основан на том, что при падении плоско поляризованной волны на исследуемый образец меняются ее поляризационные характеристики и после отражения волна становится в общем случае эллиптически поляризованной. В эксперименте измеряются эллипсометрические параметры / и A, на основе которых рассчитывается комплексный эллипсометрический параметр р [2], равный отношению комплексных коэффициентов отражения или пропускания для двух типов поляризации световой волны: в плоскости падения (индекс p) и перпендикулярно к ней (индекс s). Уравнение, связывающее экспериментальные данные и внешние параметры (угол падения света ф0, комплексный показатель преломления внешней среды N0, длину волны X) с интересующими нас свойствами отражающей поверхности, влияющими на значение коэффициентов отражения (распределением оптических постоянных в приповерхностных слоях, рельефом) получило название основного уравнения эллип-сометрии [3]: р = tgyexp(/'A) = Rs (1) В случае проведения магнитоэллипсометрических измерений необходимо учитывать наличие магнитного поля при расчете коэффициентов отражения тонких пленок. Изменение намагниченности исследуемой структуры приводит к изменениям эллипсометрических углов, благодаря вкладу экваториального магнитооптического эффекта Керра (экваториальная конфигурация рассматривается здесь как наиболее приемлемая с точки зрения экспериментальной реализации в условиях измерений in situ) в состояние поляризации. Экваториальный эффект Керра наблюдается при перпендикулярном расположении вектора намагниченности относительно плоскости падения и параллельно плоскости отражения [4] и состоит в изменении интенсивности и сдвиге фазы линейно-поляризованного света, отраженного ферромагнитным образцом [5]. В связи с этим требуется рассмотреть уравнения Максвелла для случая экваториального эффекта Керра в том диапазоне длин волн, на котором предполагается проводить измерения. В рамках данной работы мы будем рассматривать оптический видимый диапазон, поскольку большинство эллипсометров в настоящее время работают именно на этих частотах. Ввиду того, что металлооптика формально совпадает с оптикой прозрачных тел при замене в волновых уравнениях величины действительной диэлектриче- 2 ской постоянной є = n на комплексную величину є = (n - ik)2 , (2) где n - показатель преломления; k - показатель поглощения [6], для описания магнитооптических эффектов в ферромагнетиках принято исходить из общих дифференциальных уравнений электромагнитного поля 1 дН Я --= -rotE, с dt 1 dD - --= rotH, с dt (3) (4) и тензорного уравнения D = [є]Е, (5) где [є] - тензор диэлектрической проницаемости намагниченного ферромагнитного металла. 213 Вестник СибГАУ. № 3(49). 2013 Решение уравнений Максвелла в данном случае рассматривают в виде плоской неоднородной волны [6]. При этом целесообразно выбрать плоскость YX в качестве плоскости падения, YZ - в качестве граничной плоскости. В данной геометрии эффекта рассматриваются выражения для комплексной амплитуды электрического вектора падающей, отраженной и преломленной волн, с учетом показателей преломления соответствующих сред, и, соответственно, коэффициентов отражения. Тензор диэлектрической проницаемости намагниченного ферромагнитного металла строится на основе вынужденной анизотропии и выглядит следующим образом [6]: є —isQ 0 [є] = iєQ є 0 , (6) 0 0 є где є = Єї - іє2 - комплексная диэлектрическая проницаемость среды; є1 - действительная часть диэлектрической проницаемости среды; є2 = 4лс/ю - мнимая часть диэлектрической проницаемости среды; Q - магнитооптический параметр, зависящий от намагниченности тела; ст - удельная электропроводность; ю - циклическая частота. При намагниченности равной нулю, что означает равенство нулю магнитооптического параметра Q, недиагональные компоненты тензора обращаются в нуль. При интерпретации результатов эллипсометрического эксперимента обычно используют три основные модели отражающих систем [2]: модель полубеско-нечной среды, однослойная модель и многослойная модель. Рассмотрим для этих моделей влияние намагниченности на состояние поляризации в случае экваториального магнитооптического эффекта Керра. 1.1. Модель полубесконечной среды в случае экваториального магнитооптического эффекта Керра. Необходимо рассмотреть обобщенные формулы Френеля для случая, когда электромагнитная волна падает из немагнитной диэлектрической среды, характеризуемой показателем преломления N0, на ферромагнитный металл с показателем преломления n. В ходе вычислений становится очевидным, что колебания, параллельные силовым линиям (внутри ферромагнетика), совершенно отделяются от колебаний, перпендикулярных силовым линиям. В привычных обозначениях эллипсометрии (ф0 и ф1 - углы падения и преломления света, измеряемые в плоскости падения света от нормали к отражающей поверхности) отношения амплитуд электрического вектора отраженной и падающей волн принимают вид: N0 cos ф0 — n cos ф1 Rs - N0 cos ф0 + n cos ф1 R„ = n cos ф0 — N0cos ф1 . 2QN02sin ф0cos ф0 p n cos ф0 + N0 cos ф1 (n cos ф0 + N0 cos ф1)2 (7) . (8) выражение для Rs определяется обычной формулой Френеля для немагнитных сред. Влияние намагниченности на отражение света выражается вторым слагаемым правой части формулы для Rp (8). При намагниченности равной нулю, Q также обращается в нуль (поскольку Q пропорционален намагниченности), и выражение (8) принимает вид формулы Френеля для немагнитного образца. Именно второе слагаемое отвечает за влияние магнитного поля на эллипсометрические характеристики материалов для модели однородной полубесконечной среды. 1.2. Однослойная модель в случае экваториального магнитооптического эффекта Керра. Пусть на среду 1 из среды 0 (причем внешняя среда 0 и полубеско-нечная подложка 2 - немагнитные диэлектрики, среда 1 - ферромагнитный металл толщины d) падает электромагнитная волна (рисунок 1) и расщепляется на каждой границе раздела на две: отраженную и прошедшую [2]. В результате образуется бесконечный ряд парциальных волн, амплитуды которых уменьшаются по геометрической прогрессии. Однослойная модель Комплексные амплитудные коэффициенты отражения R определяются с помощью формул для бесконечной геометрической прогрессии, используемых для сложения комплексных амплитуд последовательности парциальных волн, образующих результирующую отраженную волну в среде 0, и в случае экваториального эффекта Керра имеют вид: Rp = r01 p + RS = r01S f01 /10pr12p exp(—12e) 1 — r10pr12p exp(—12e) t01St10Sr12S exp(—і2в) 1 — r10Sr12S exp(—і2в) где P - это фазовая толщина плёнки: 2п Р - kЛ - — N1 cos ф1d , X (9) (10) (11) Очевидно, что намагничивание не влияет на интенсивность отраженной s-компоненты света, т. е. где Л - оптическая длина пути; k - волновое число. Коэффициенты r01s p и r12s p в выражениях (9) и (10) - это коэффициенты отражения для границ раздела 0-1 и 1-2 соответственно. Именно о них шла речь выше при расчете модели полубесконечной среды, где они были обозначены заглавными буквами R, так как там они характеризовали всю структуру, а не одну 214 Технологические процессы и материалы границу раздела из нескольких имеющихся, как это происходит в данном случае. Таким образом, коэффициенты r01s p и r12s p выглядят следующим обра зом: Г01 p = -i- N1 cos ф0 - N0 cos ф1 N1 cos ф0 + N0 cos ф1 2QNq sin ф0 cos ф0 (N1 cos ф0 + N0 cos ф1)2 N2 cos ф1 - N1 cos ф2 p N2 cos ф1 + N1 cos ф2 2QN12 sin ф1 cos ф1 (N2 cos ф1 + N1 cos ф2 )2 N0 cos ф0 - N1 cos фх '15 — ' N0 cos ф0 + N1 cos фх N1 cosф1 - N2 cos ф2 (12) (13) (14) (15) + l - Nj cos ф0 + N0 cos ф1 2QN03 sin ф0 cos ф0 N1(N1 cos ф0 + N0 cos ф1)2 2N0 cos ф0 t015 = (16) (17) N0 cos ф0 + Nx cos фх Коэффициент t01 соответствует направлению распространения волны из среды 0 в среду 1, а t10 - соответственно, в обратном направлении. При рассмотрении распространения волны в обратном направлении в случае модели структуры, состоящей из немагнитных сред, френелевские коэффициенты отражения и пропускания на границе 1-0 связаны с соответствующими коэффициентами на границе 0-1 соотношениями [2]: Г10 = -r01 , (18) ^10 = (1 - r01)/ ^01, (19) В случае магнитооптического эффекта Керра выражения (18) и (19) действительны только для s-поляризации. Они позволяют упростить выражение (10): Г015 + Г125 exP(-i2P) Rs = (20) (21) (22) N0 cos ф0 + N cos фх Для р-поляризации из-за наличия второго слагаемого в Rp вид коэффициентов отражения несимметричен и не позволяет использовать упрощающие вид формул выражения, таким образом: rws = ?105 = 1 + Г015Г125 ехР(-'2р) N cos фх - N0 cos ф0 N1 cos фх + N0 cos ф0 ’ 2 N1 cos фх r10p = -i- + l ■ N0 cos ф1 - N1 cos ф0 N0 cos ф1 + N1 cos ф0 2QN12 sin ф1 cos ф1 (N0 cos ф1 + N1 cos ф0)2 2 N1 cos ф1 (23) N1 cos ф0 + N0 cos ф1 2QN13 sin ф1 cos ф1 (24) N1 cos ф1 + N2 cos ф2 Коэффициенты t01 и t10 в выражениях (9) и (10) -это коэффициенты пропускания, которые равны: 2N0 cosф0 N0 (N1 cos ф0 + N0 cos ф1) Углы ф0, ф1 и ф2, фигурирующие в представленных выше формулах, связаны законом Снеллиуса. Таким образом, получены основные формулы, необходимые для анализа данной модели: коэффициенты отражения всей структуры (9, 10) и коэффициенты отражения и пропускания, соответствующие границам раздела сред (12-17, 21-24). Также можно отметить, что магнитное поле вносит вклад в коэффициенты отражения только при р-поляризации падающей волны. 1.3. Многослойная модель в случае экваториального магнитооптического эффекта Керра. При диагностике свойств многослойных наноструктур широкое распространение получила модель, основанная на использовании матриц рассеяния [2], описывающих каждый отдельный слой и соответствующую границу раздела. Матрица 2x2 рассеяния слоистой структуры 5 рассчитывается следующим образом: 5 = I01L1I12 L2...I(j-1) jLj ...LmIm(m+1) . (25) где Im - матрицы рассеяния отдельных границ раздела; L j - матрицы рассеяния отдельных слоев Полный коэффициент отражения слоистой структуры для линейных поляризаций (p) и (s) равен: R p , (26) 511 p R5 = 5215 511 (27) L p = L5 = (28) В монографии [2] показано, что матрицы слоя L одинаковы для р- и s-поляризаций: exp(i'P) 0 _ 0 exp(-i'P) _ где Р - фазовая толщина слоя, Однако, матрицы 5p и Ss не равны друг другу, так как матрицы границы раздела I различны для ри s-поляризаций: I 1 ab p ab p 1 ab p 1abs -bap ^bap^abp rabprbap 1 1 rabs bs t rabs 1 (29) (30) Экваториальный магнитооптический эффект Керра дает вклад только в коэффициенты отражения структур в случае р-поляризации, поскольку именно для неё у коэффициентов отражения и пропускания 215 Вестник СибГАУ. № 3(49). 2013 (12-17, 21-24), соответствующих границам раздела сред, определяющих элементы матриц (29, 30), возникает второе слагаемое. Таким образом, с помощью выражений (12-17, 21-30) можно рассчитать любую многослойную изотропную структуру, чередующиеся слои которой могут носить как немагнитный, так и ферромагнитный характер. 2. Связь эллипсометрических и магнитооптических данных. При наличии магнитного поля возникают некоторые изменения эллипсометрических параметров 5у и 5Д. Запишем основное уравнение эл-липсометрии (1) в виде: Rp (Q) RP — iQP tgy exp(i^) -- = (31) rs- R0 + rs- R0, r; - r; 0+r;1. (35) Обозначим у0, До, эллипсометрические углы в отсутствие магнитного поля (Q = 0). Тогда при наличии магнитного поля (Q Ф 0) измеряемые эллипсометрические параметры будут равны у = у0 + 5у, Д = Д0 + 5Д. Выразим эллипсометрические параметры у, Д и у0, Д0 через введенные в (31-35) обозначения. В результате получим, что значения возникающих при перемагни-чивании изменений эллипсометрических параметров 5у и 5Д равны: 5у-у — у0 - arctg (-J1 + A + B tg (^0)) — V0, (36) где A- B- (QS0Qp1) + (Qp1RS0) + 2Qp0Qp1(RS0 + Qs0 ) (Rp0RS0 + Qp0QS0) +(QS0(p0 — Qp0Rs0 ) (R' rs0)2 + (RPQ0)2 + 2Rp0Rp1(RS02 + QS02) (Rp0RS0 + Qp0QS0) + (QS0Rp0 Qp0RS0 ) 8Л - Л — Л0 - - arctg QS 0(Rp 0 + Rp1 ) (Qp0 + Qp1) RS 0 (Rp0 + Rp1) RS 0 + (Qp0 + Qp\)Qs 0 —. (37) — arctg QS 0Rp 0 Qp0RS 0 Rp 0 RS 0 + Qp 0QS 0 Рассмотрим случай, когда вклад от магнетизма мал, то есть Q'pi«Q'p0, R'p1«R'p0. Тогда можно ввести два малых параметра a=Q'pI/Q'p0 и /3=R'p1/R'p0 и разложить по ним в ряд выражения для ду и ЗА:: 5у- tg^0 Q'p02 ( r; 02 + Q’p 02)(1+tg2 у 0) tg^0 R'p02 а + ( r; 02+q; 02)(1+tg2^ 0) e+ + а2 tg^0 Q';02(R';02 + tgVpRp2 — 2QP02) + 2 (r; 2 + q;02 )2(1+tg2^ 0)2 + P2 tg^0 R';0Z(Q';0Z + tg2^0(QP02 — 2^2) + Rs Rs — iQS где R'p и R's - действительные части комплексных коэффициентов отражения для p- и s-поляризаций, Q'p и Q's - мнимые части соответственно. Выделим у коэффициентов отражения вклад, вносимый магнитным полем и обозначим его у мнимых частей Q'p1 и Q's1, у действительных R'p1 и R's1, немагнитные слагаемые обозначим R'p0, R's0, Q'p0 и Q's0. Из выражений для коэффициентов отражения (7 и 8, 9 и 10, 26 и 27 для модели полубесконечной среды, однослойной модели и многослойной модели, соответственно) следует, что в случае экваториального магнитооптического эффекта Керра 5Rs = 0, а Шр Ф 0 - это второе слагаемое в Rp, откуда следует, что Q's1= 0, R's1= 0: QS - Q0 + Q1 - Q0, (32) Q'p - Qp + Qp. (33) (34) (RP2 + QP02) (1+tg2V0)2 +ар tg^0 QP02 RP02(1 + 3tg2^0) (r; 2 + Q'p 02 )2(1+tg2 у 0)2 (38) 5 Л Rp0Qp0 e Rp0Qp0 2 Rp0Qp0 5Л--а-£—-—- + B-£—-—- + а --—--- — RP02 + QP02 RP02 + QP02 (RP02 + QP02 )2 —p2 QP0RP03 +ар QP0Rp0(RP02 — QP02) (39) ( 02 + QP02 )2 ( 02 + QP02 )2 Очевидно, что в нулевом приближении параметры 5у и 5Д равны нулю. В первом приближении наблюдается пропорциональность 5у и 5Д первой степени магнитооптического параметра Q. При рассмотрении разложения с учетом второй степени по а и в в 5Д, как и в 5у, возникают слагаемые, пропорциональные квадрату Q. Линейная зависимость магнитооптического параметра Q, а, следовательно, и всех линейных магнитооптических эффектов, от намагниченности образца позволяет использовать эти эффекты для измерения петель гистерезиса и кривых намагничивания. Таким образом, предложена методика интерпретации магнитоэллипсометрических измерений с использованием моделей отражающих слоистых магнитных структур в геометрии экваториального магнитооптического эффекта Керра. Аналитически были получены выражения, связывающие классическую эллипсо-метрию и магнитооптику, выделен вклад, вносимый ненулевой намагниченностью исследуемой структуры. Впервые получены поправки 5Т и 5Л в эллипсометрические углы Т и Л, возникающие при воздействии на образец внешним магнитным полем.

作者简介

O. Maximova

Kirenskiy Institute of Physics of the SB RAS; Siberian Federal University

Email: maximo.a@mail.ru
50, bld. 38 Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russia; 79 Svobodnyy Prospect, Krasnoyarsk, 660041, Russia

S. Ovchinnikov

Kirenskiy Institute of Physics of the SB RAS; Siberian Federal University

50, bld. 38 Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russia; 79 Svobodnyy Prospect, Krasnoyarsk, 660041, Russia

U. Hartmann

Saarland University

Postfach 151150, D-66041 Saarbrucken, Germany

N. Kosyrev

Kirenskiy Institute of Physics of the SB RAS

50, bld. 38 Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russia

S. Varnakov

Kirenskiy Institute of Physics of the SB RAS; Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev

50, bld. 38 Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russia; 31 “Krasnoyarskiy Rabochiy” prospect, Krasnoyarsk, 660014, Russia

参考

补充文件