About the non-parametric modeling of stochastic objects with memory

Full Text

Проблемы моделирования и идентификации сложных промышленных объектов традиционно имеют высокую практическую значимость. В большинстве случаев реальные технологические процессы можно отнести к классу динамических. Традиционно динамические объекты описываются дифференциальными уравнениями, но следует отметить, что такого рода описание не является единственным. Например, динамический объект может быть описан следующим уравнением: x(t) = f (x(t -1), x(t - 5), u(t)), где u(t) -управляющее воздействие; x(t) - выходная переменная объекта. А. А. Фельдбаум называл подобные объекты объектами с памятью. В дальнейшем мы будем придерживаться этого определения. На практике для управления подобными процессами часто используются типовые законы регулиро вания, такие как П-, ПИ-, ПИД-законы, также функции устройства управления зачастую может выполнять человек-оператор. В некоторых случаях появляется необходимость рассматривать систему «объект -управляющее устройство» как некоторый «макрообъект», который управляется внешним контуром регулирования. При изучении такого рода реальных процессов исследователь сталкивается с неполной информацией о текущих входных данных, которые могут существенно отличаться от реальности. В частности, может возникнуть ситуация, когда контур с регулятором отсутствует и заменен человеком-оператором. В процессе своей работы последний вносит коррекции по ходу технологического процесса на основании имеющейся у него технологической карты. Во многих случаях значения управляющих воздействий, т. е. 6 Математика, механика, информатика действий оператора, из-за недостатка средств контроля остаются неизвестными. Это накладывает свой отпечаток при моделировании тех или иных процессов и обусловливает проблему построения модели при недостатке текущей информации о входных воздействиях объекта. Предметом исследования настоящей статьи является построение модели процесса управления объектом с памятью, в котором итоговое управляющие воздействие, поступающее на вход объекта от управляющего устройства, остается неизвестным. Как было описано выше, это может происходить из-за коррекции входных контролируемых воздействий челове-ком-оператором. Это важный этап для построения внешнего контура управления системой «объект -управляющее устройство». Постановка задачи. Пусть объект представляет собой динамическую систему и описывается уравнением x (t) = f ( x (t - 1), x (t - 2), ..., x (t - k ), u (t ), ^1(t ),ц 2(t ), Ц3(t )), где k определяется на основании имеющейся априорной информации. Блок-схема рассматриваемого динамического процесса представлена на рис. 1. На рис. 1 приняты следующие обозначения: x(t) -выходная переменная процесса; u(t) - входное воздействие; |l(t) = {Hj(t),|l2(t), |l3(t)} - вектор входных неизвестных, но контролируемых воздействий; x(t - 1), x(t - 2) - выходы объекта в предыдущих состояниях; u(t) - неизвестное входное воздействие; x*(t) -задающее воздействие; x(t) - выход модели объекта; t - непрерывное время. Контроль переменных осуществляется через интервал времени At. Таким образом, мы имеем выборку входных-выходных переменных {xt,,ц2i,ц13,ut,i = 1,s} , где s - объем выборки. УУ - устройство управления; блок H выполняет роль сумматора входных воздействий u(t) и Au(t). Следует заметить, что x(t - 1), x(t - 2) фактически играют роль ц(/), но отличаются от ц(/) тем, что представляют собой значения выходной переменной на один и более тактов позже, что и характерно для объекта с памятью. Непараметрическая идентификация. В настоящее время наиболее развитой является теория параметрических систем, которая предполагает предварительную параметризацию модели [1-3]. В случае недостатка априорной информации об исследуемом объекте часто не представляется возможным обоснованно выбрать параметрическую структуру модели. В этом случае исследователь вынужден, обрабатывая имеющиеся выборки входных-выходных переменных, «добывать» дополнительную априорную информацию, которая позволит более обоснованно выбрать параметрическую структуру модели. В случае, когда априорной информации недостаточно, естественно использовать теорию непараметрической идентификации [4; 5]. Непараметрическая теория, в отличие от предыдущей, предполагает, что известны только качественные характеристики системы. Это позволяет полностью уйти от вопроса определения параметрической структуры объекта. В данном случае задача идентификации состоит в оценивании класса операторов на основе выборки {xi, xi-1, xi-2, , ц2і , ц13, ut, i = 1, s}. В качестве непара метрической модели объекта можно использовать непараметрическую оценку [4] : Рис. 1. Блок-схема моделирования динамического процесса 7 Вестник СибГАУ. № 2(54). 2014 £х.• Ф( us ui )Ф( xs-i^ xi-l )Ф( xs-2^ xi-2 ) . Ф( M-is^ hi ) . Ф(ц21_ц21_) . Ф(цз^_ц3і) Cs xs (u, ц) = i=1 Cs Cs Cs Cs Cs £ф(Ц.)Ф( s-1C 1-1 )Ф( c i=1 Cs Cs xs-2 xi-2 ) , Ф(Мг^_М11 ) , Ф( M2s M2i ) , Ф(М3^_М3і) (1) Cs Cs Cs где Ф(-) - ядерная колоколообразная функция; Cs коэффициент размытости ядра, которые удовлетворяют следующим условиям сходимости [6]: Ф(-)<от , C-1n J Ф(Cn-1(x - xi ))dx = 1, z eQ(z), (2) lim n Q( x) Cn _1®(C„^ ( x - xi)) = S( x - x ) : Cn > 0 , n = 1, 2, lim Cn = 0 . (3) (4) Я(С) = £((uk,Mk) - xk) = k фi, (5) k=1 где индекс i фигурирует в формуле (1). Для оценки полученных моделей была использована квадратичная ошибка 1 s 2 Rs =-X(xi - xs (ui, Mi ) ) (6) 1=1 На рис. 2, 3 представлены графики входных воздействий процесса. т В качестве колоколообразной функции Ф(-) могут быть использованы различные ядра, удовлетворяющие условиям (2)-(3). Непараметрические статистики подобного типа подробно исследовались Э. А. Надарая [6]. Параметр размытости Cs при наличии обучающей выборки находится из задачи минимизации показателя соответствия выхода объекта и выхода модели, основанного на методе скользящего экзамена, когда в модели (4) по индексу i исключается k-е наблюдение переменной, предъявляемой для экзамена: где xi - измеренное значение выходной переменной; xis - полученная оценка; Rs - квадратичная ошибка. Также для каждой модели вычисляется относительная ошибка, равная отношению квадратичной ошибки к дисперсии выходной переменной: W = R / Ds, (7) где Ds - дисперсия выходной переменной. Вычислительный эксперимент. Пусть исследуемый объект является динамическим и описывается уравнением вида x(t ) = 0,1x(t -1) + 0,2 x(t - 2) + 3,09u(t) + +1,03ц1 (t ) +1,05ц2 (t ) + 2,03ц3 (t ), где x(t) - выходная переменная процесса; u(t) -входная переменная процесса; x(t -1), x(t - 2) - значение выходной переменной в предыдущие моменты времени; M1(t),M2(t),|M3(t) - контролируемые воздействия. Пусть входное воздействие имеет вид u ( t ) = 2 + 2sin(0,21 ). Входное воздействие, поступающее на объект, примем в виде u ( t ) = 2 + 1,8sin(1,8t ), ц 1 (t) = 0,5 • cos(0,5 • t) , m2(t) = 0,35 • cos(0,4 • t) , M3 (t) = 0,2 • sin(0,6 • t). б Рис. 2. Входное управляемое воздействие (а); вектор неизвестных воздействий (б) Рассмотрим модели, полученные при различных входных данных. Установим значения переменных равными: шаг дискретизации - 0,2, объем выборки -150, помехи отсутствуют (рис. 3). Рис. 3. Выход модели и выход объекта при недостатке текущей информации Квадратичная ошибка модели, представленной на рис. 3, равна 1,54, относительная - 0,36. Как мы можем увидеть из графика функций и значения относительной ошибки, модель получилась достаточно грубой. Сравним полученный результат с моделированием ситуации, когда все входные воздействия, действующие на объект, известны (рис. 4). а 2 8 Математика, механика, информатика Рис. 5. Выход модели и выход объекта в условиях недостатка текущей информации при увеличении шага дискретизации В данном случае квадратичная ошибка равна 1,85, относительная - 0,41. Приведем результаты моделирования, схемы при полной текущей информации, при тех же параметрах моделирования (шаг дискретизации - 0,4, объем выборки - 50) (рис. 6). На данном рисунке квадратичная ошибка равна 0,54, относительная - 0,067. Рис. 6. Выход модели и выход объекта в условиях полной текущей информации при увеличении шага дискретизации Как мы можем заметить, в обоих экспериментах при увеличении шага дискретизации относительная и квадратичная ошибки увеличиваются. Но тенденция того, что моделирование при полной текущей информации о входных данных намного качественней, сохраняется. В целом картина зависимости относительной ошибки от шага дискретизации представлена на графике, изображённом на рис. 7, и табл. 1. Рис. 4. Выход модели и выход объекта при полной текущей информации Здесь квадратичная ошибка равна 0,16, относительная - 0,03. Как мы и предполагали, модель, полученная в условиях полной текущей информации о входных воздействиях, намного качественней. Теперь проанализируем зависимость ошибки моделирования от шага дискретизации. Увеличим шаг дискретизации до значения 0,4, объем выборки уменьшится до 50. Результаты моделирования при отсутствии информации, поступающей на вход объекта от устройства управления, представлены на рис. 5. Таблица 1 Зависимость относительной ошибки от шага дискретизации Шаг 0,05 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 Ошибка моделирования 0,15 0,22 0,32 0,36 0,41 0,64 Рис. 7. Зависимость относительной ошибки от шага дискретизации Анализируя выше представленные табл. 1 и график (рис. 7), можно говорить о том, что зависимость относительной ошибки моделирования от шага дискретизации имеет пропорциональный характер: с увеличением уровня помехи относительная ошибка моделирования увеличивается. Рассмотрим зависимость квадратичной ошибки от уровня помех. В качестве помехи мы будем брать случайную величину, распределенную по нормальному закону распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной 1. Установим значения параметров, равными: шаг дискретизации - 0,2, объем выборки - 150, уровень помех - 10 % (рис. 8). хф і д^ДДД. ї(і) -і-і-■-.-і-.- -1-і-1-!-1-■-1-1-1-k-1-■- Рис. 8. Выход модели и выход объекта в условиях недостатка текущей информации при уровне помех 10 % В случае, представленном на рис. 8, квадратичная ошибка равна 2,54, относительная ошибка - 0,62, результат моделирования при полученных ошибках можно считать неудовлетворительным. Сравним 9 Вестник СибГАУ. № 2(54). 2014 полученный результат с моделированием при полных текущих данных о контролируемом входном воздействии при тех же параметрах (шаг дискретизации - 0,2, объем выборки - 150, уровень помех - 10 %) (рис. 9). х(1) -s -,-1 і-.-і-.-.-I-і-.-- О 10 29 Н t Рис. 9. Выход модели и выход объекта в условиях полной текущей информации при уровне помех 10 % Здесь квадратичная ошибка равна 1,67, относительная - 0,31. Как мы можем наблюдать из рис. 9, полученная модель является более точной, чем модель, соответствующая эксперименту, представленному на рис. 8, хотя обе модели были получены при одинаковых условиях (равный шаг дискретизации, объем выборки и уровнь помех). Общий анализ зависимости относительной ошибки моделирования от уровня помехи, действующей на объект, представлен на рис. 10 и в табл. 2. Таблица 2 Зависимость относительной ошибки от уровня помехи Помеха, % 0 1 5 10 15 20 Ошибка моделиро вания 0,32 0,34 0,53 0,62 0,71 0,89 W О 2 4 6 8 10 12 14 16 1S 20 Уровень помех, % Рис. 10. Зависимость относительной ошибки от уровня помехи Из табл. 2 и рис. 10 мы можем сделать вывод, что с увеличением уровня помехи относительная ошибка моделирования также увеличивается. Подводя итог, следует заметить, что рассматривается очень важная с практической точки зрения задача идентификации в замкнутом контуре для дискретнонепрерывных процессов в условиях непараметрической неопределенности. Актуальность рассмотренной задачи обусловлена тем, что в настоящее время в некоторых случаях на промышленных предприятиях при управлении сложными технологическими процессами роль устройства управления выполняет человекоператор. Естественно, действия оператора регламентируются технологической картой, а также опытом управления на данном объекте. Зачастую его действия по корректировке входных управляемых воздействий по тем или иным причинам не контролируются. Это приводит к тому, что при моделировании исследователь сталкивается с неполнотой текущей информации об объекте, а также о значениях управляемых воздействий, поступающих на объект. В этом случае исследование процесса построения модели представляет специальный самостоятельный процесс. В статье приводятся непараметрические модели для многомерных дискретно-непрерывных процессов при частичном отсутствии текущей информации о входных данных, поступающих на объект исследования. Достаточно подробно изложены результаты численного исследования, которые проводились для двух случаев: в первом случае действия человекаоператора оставались неизвестными, а во втором случае они измерялись. Как и следовало ожидать, в первом случае модель объекта с памятью оказалась сравнительно грубой, чем во втором, при этом важно отметить, что нарушение технологического регламента не происходило. Как и следовало ожидать, действия оператора существено сказываются на управлении, хотя ведутся в рамках технологического регламента. Также была рассмотрена зависимость ошибки моделирования от шага дискретизации и уровня помех. Приведенные исследования открывают возможность для построения внешнего контура управления в дальнейших исследованиях с целью оптимизации ведения технологического процесса в рамках технологического регламента.

About the authors

Anastasia Vladimirovna Bannikova

Siberian Federal University

Email: bannikova.anast@gmail.ru
postgraduate student of Institution of Space and Information Technology

Natalia Alexandrovna Sergeeva

Siberian Federal University

Email: bannikova.anast@gmail.ru
Candidate of Engineering sciences, associate professor of the Department of Informatics, Institution of Space and Information technologies

References

Supplementary files