Modeling of complex processes using autoregressive methods

Full Text

Введение. С давних пор человек пытается предсказать поведение исследуемых объектов в будущем, используя прогноз как инструмент управления и регулирования. Поэтому в теории системного анализа и прикладной математике выделились целые разделы, подчас выступающие как отдельные направления науки. К сожалению, существующий математический аппарат не может дать точного ответа о возможном поведении объекта, поскольку всегда присутствует вероятностная составляющая данного прогноза. В большинстве случаев проблема прогнозирования решается при помощи моделирования случайных процессов. Большинство работ, посвященных проблеме моделирования, основываются на принципах саморегулирования и самоподобия. В практических задачах прогнозирования процессов часто применяется модель авторегрессии p-го порядка. Данному вопросу посвящены труды С. А. Айвазяна, С. Алмон, Т. Андерсон, Дж. Бокса, Р. Г. Брауна, Вольда, Г. М. Дженкинса, Л. М. Койка, Я. Р. Магнуса, А. И. Орлова, П. Р. Уинтерса, С. Хольта и многих других [1-10]. В АЯ(^)-моделях одними из самых актуальных вопросов являются определение p-длины предыстории процесса, а также выбор метода подбора параметров авторегрессии. В статье [11] был предложен метод подбора параметров в моделях авторегрессии на основе числовых рядов. В работах [12-15] доказана взаимосвязь прогнозов по авторегрессии с золотым сечением, треугольником Паскаля и числами Фибоначчи. Помимо этого, указанные работы определили отдельное направление исследований в области моделирования сложных процессов авторегрессионными методами, основанными на числовых рядах. В данных исследованиях остались неразрешенными вопросы о свойствах прогнозов в моделях авторегрессии высоких порядков, а также возможности расширения области применения авторегрессионных моделей с методом подбора параметров на основе числовых рядов. Вышесказанное определило цель работы - обобщение полученных результатов, выявление новых характеристик авторегрессии при моделировании сложных процессов и упрощение процедуры подбора параметров, основанного на использовании числовых рядов. Основные теоретические и прикладные результаты получены на основе методологии системного анализа, теории случайных процессов, а также информационных технологий и методов фундаментальной и прикладной математики. Метод числовых рядов (МЧР). В работе [11] был предложен метод подбора параметров в AR(p)- моделях, основанный на использовании нормированных числовых рядов (сумма которых равна 1). Сделан сравнительный анализ результатов моделирования временных рядов на основе МЧР с другими известными методами. В дальнейшем были рассмотрены не только нормированные, но и другие сходящиеся числовые ряды [14; 16]. Прогнозное значение ум вычисляется следующим образом: p-і yCm,р) = £ ь>; p)х г=0 где m - номер сходящегося числового ряда из некоторой базы рядов; p - порядок модели, верхний индекс (m; p) - указывает на номер ряда и на порядок модели. Для определения оптимального порядка модели p, ад а также вида £ bt будем использовать функцию І=0 Ѳ (m jb0, {, где p0 - граница порядка модели; A1 100 % - среднеквадратическая относительная погрешность модели. Если хг = 0 для некоторых i, то необходимо использовать новую систему координат х' = хг + х0, в которой все х\ф 0, где х0 = const. Последующие теоретические исследования позволили выявить ряд замечаний. Замечание 1. Формула (1) представляет собой авторегрессию, аналогичную разложению по полной предыстории, с коэффициентами, подобранными по модифицированному методу Койка [10]. Замечание 2. Использование нормированных числовых рядов удовлетворяет условию стационарности процесса, поэтому полученные оценки авторегрессии состоятельные, эффективные и несмещенные. Но для моделирования нестационарных процессов необязательно использовать условие нормированное™ ряда. Замечание 3. Если p = T, то формула (1) представляет собой модель прогнозирования по полной предыстории (разложение Вольда [1; 2; 16]) с условием, что прогнозное значение у(+1;p) будет представлять собой сумму предыстории процесса с весовыми коэффициентами, являющимися элементами числового ряда (аналогично методам Альмон [9] и Койка [10]). Замечание 4. Функция (2) аналогична оптимизирующей функции МНК и позволяет не только подобрать оптимальные коэффициенты, но и определить порядок авторегрессии. Свойства прогнозов в моделях авторегрессии. В большинстве задач прогнозирования необходимо делать прогноз на к значений вперед из х{. Как указано выше, прогноз на одно значение вперед согласно методу числовых рядов будет рассчитываться по формуле (1). В МЧР используются в качестве коэффициентов числовые ряды, и это позволило выделить ряд свойств прогнозов в моделях авторегрессии, характерных не только для МЧР, но и в целом для авторегрессионных моделей. 2 1+45' О при b0< 5. ,lim yt+k k іад при b0 = 2 1+45' ад при b0> 5. Kin yt+k k іад 0 при b0< 6. ,Ит yt+k k іад при b0 = 3 (1 +X2 +1) 7. lim yt+k k ад при b0> Предложение 1. Допустим ' bt = 1 - нормироi=0 ванный знакоположительный степенной ряд, где ад О < bi <1 и bn = b0+ , т. е. ''pi = b0 +b2 + b0 + bk + b05 + ’'' i=0 Согласно введенному предложению были сформулированы и доказаны следующие теоремы [12-15]. Теорема 1. Пусть yt+k = a1 (k)xt +а2 (k) xt_1 прогнозная модель AR(2) по МЧР. Тогда справедливы следующие утверждения: 1. a1 (k) = F2 (k + l)b0k, где F2 (k) - ряд Фибоначчи с начальными условиями F2 (1) = F2 (2) = 1. 2. a2 (k) = F2 (k)bok+1. 3. a2 (k) = b12a1 (k _ 1) . 4. lim yt+k k іад 1 1+45 1 2 45 2 Xt + 451+45Xt-1 2 1+45 6. lim yt+k k іад Данная теорема позволяет сделать вывод о том, что любой прогноз в модели AR(2) - это распределение предыстории в будущем через золотое сечение. Теорема 2. Пусть yt+k = a1 (k)xt +a2 (k) xt_1 + + a3 (k) xt_2 - прогнозная модель AR(3) по МЧР. Тогда справедливы следующие утверждения: 1. a1 (k) = F3 (k + 1)b0k , 3pf+^ +1)") где F3 (k) =---------------------------------- - ряд чисел 3W P2 _ 2p+4 трибоначчи, p = ^586 + 102л/33 , X1 = ^19 + 3433 , X2 = 3І19 _ W33 . 2. a 2 (k ) = F3'(k + 1)b0k+1. 3. a3 (k) = F3 (k)b0k+2. 4. a3 (k) = bl3a1 (k _ 1) . 3 ( +^2 +1) P[xt +X2 +[1] x + 3P x + p2 _ 2P + 4 t p2 _ 2P + 4 t_1 27P +_ x (p2 _2P + 4)(^1 +X2 +1)2 t_2 3 (1 +X 2 + 1) Полученная теорема дает возможность делать прогноз в условиях стационарности рассматриваемых процессов без построения самой модели. Доказанные утверждения свидетельствуют о том, что прогноз авторегрессионных моделей при определенных условиях имеет распределение золотого сечения. Для авторегрессионного процесса четвертого порядка удалось выявить ряд свойств, характерных для AR(2) и AR(3) [17]. Так, в общем AR(4) можно представить как yt+k = a1 (k) xt +a2 (k)xt_1 +a3 (k)xt_2 +a4 (k) xt_3 . Доказано следующее: ад Лемма. Пусть ' b0 - нормированный знакополоi=0 жительный степенной ряд, где 0 < bt <1 . Тогда, a1 (k) = F4 (k + 1)b0;, где F4 (k +1) - ряд чисел квадробоначчи, F4 (k +1) = F4 (k) + F4 (k _ 1) + F4 (k _ 2) + F4 (k _ 3), с условием F4 (0) = 0, F4 (1) = 1, F4 (2) = 1, F4 (3) = 2 , F4 (4 ) = 4; a2 (k) = F4' (k +1) bk+1, / где F4 (k +1) - первый модифицированный ряд чисел квадробоначчи, причем F4 (k +1) = F4 (k) _ F4 (k _ 4); a3 (k) = F4" (k +1) bk+2, ft где F4 (k +1) - второй модифицированный ряд чисел квадробоначчи, причем F4 (k +1) = F4 (k)_ _F4 (k_3) = F4 (k)_F4 (k _4)_F4 (k _3); a4 (k) = F4 (k)b0k+3. Лемма доказана и вводит взаимосвязь AR(4) с рядом чисел квадробоначчи. Рекомендации по применению МЧР. На основе доказанных теорем и практических расчетов можно предложить рекомендации по применению числовых рядов при подборе параметров в авторегрессии малых порядков: 1. Для моделирования стационарных динамических процессов необходимо использовать нормированные числовые ряды. 2. Для процессов, имеющих убывающую тенденцию, необходимо использовать нормированные числовые ряды, сумма первых элементов которых меньше 1. 3. Если динамический процесс содержит возрастающий тренд, то эффективнее использовать при моделировании ненормированные сходящиеся числовые ряды. 4. При моделировании периодических процессов лучшими являются знакопеременные и тригонометрические ряды. 5. При краткосрочном и среднесрочном прогнозировании процессов с постоянным средним рекомендуется использовать для AR(2) в качестве весовых 1 1+ V5 1 2 коэффициентов -=---------- и -=-------- = , для AR(3) - S 2 V51 + V5 P[Xj +Х 2 +1] зр 27р [2] 1 [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]

About the authors

Alexey Alexandrovich Gorodov

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev

Email: Glexx84@mail.ru
Cand. Sc., Docent of Applied mathematics department 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660014, Russian Federation

Lubov Vladimirovna Gorodova

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev

Email: Glexx84@mail.ru
postgraduate student, Applied mathematics department 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660014, Russian Federation

Alexander Alekseevich Kuznetsov

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev

Email: kuznetsov@sibsau.ru
Dr. Sc., Professor, Director of Institute of Space Research and High Technologies. 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660014, Russian Federation

References

Supplementary files