To calculation of plates in the conditions of the flat tension on temperature loadings with the help of the variation and differential method in tension functions

Full Text

Одной из причин появления напряжений в теле является неравномерное его нагревание. Температура как в земных условиях, так и в космическом пространстве изменяется ежесекундно. Опасные напряженные состояния возникают необязательно при высоких или низких температурах; опасными должны быть неравномерные изменения температурных воздействий как по области конструкций, так и по времени. Важным случаем температурного воздействия являются моменты входа аппарата и пластин солнечных батарей в тень Земли и выхода из тени. Также в период эксплуатации системы конструкций действует постоянное многоцикловое неравномерное нагревание и охлаждение. Возможны явления усталости материалов, приводящие к локальным разрушениям при сравнительно низком уровне напряжений. Казалось бы, изменения температуры действуют постоянно, а учету дополнительных температурных напряжений, с целью их добавления к напряжениям от силовых факторов, уделяется второстепенное значение (конечно, за исключением оригинальных конструкций). Подход к анализу конструкций односторонний, ограниченный, с пренебрежением к дополнительным факторам, дающим дополнительные напряжения от изменения температуры, а в какие-то моменты они могут проявиться и как основные напряжения, может привести к исключительным нештатным ситуациям. Поэтому работу, посвященную разработке метода расчета конструкций, в частности тонких пластинок, на температурные воздействия с целью исследования напряженного состояния, следует считать актуальной. Tаким образом, требуется разработать подход к решению задач оценки напряженного состояния свободных от закреплений прямоугольных пластин на нагрузки, возникающие при воздействии стационарного теплового потока (температура является функцией координат). Для решения задачи воспользуемся методом устранения деформаций [1; 2]. В этом методе для изотермического нагружения объемные и поверхностные силы определяются через температурное поле T(x,y,z) исходной температурной задачи. Известно, что модуль упругости стали при нагревании уменьшается [2], а модули упругости сплавов при нагревании как уменьшаются, так и увеличиваются (причем в 1,5-2 раза) [3]. Чтобы в разрешающие уравнения не входили упругие постоянные материала [1], краевую задачу формулируют в напряжениях. Определенное научное содержание работы заключается: - в полученном выражении функционала Касти-лиано в функциях напряжений, учитывающем изменение температуры; - алгоритме формирования разрешающей системы уравнений и ее правой части c использованием первой и второй вариаций функционала; - составленной программе расчета; - расчете напряженного состояния пластинки при неравномерном нагреве. Рассмотрим вариационную формулировку [4], для которой получим функционал Кастилиано с учетом изменения температуры. В первую очередь, из уравнений равновесия для плоской задачи теории упругости [5] получим вариационное уравнение "ЯК Se x + Txy Sy xy +CT ySe y ) dxdy +jj[ Su + Y Sv]drdv_ + j (Su +T y=0 xy Sv y=b = 0, (1) y=0 68 Математика, механика, информатика где ctx , тxy, ay - компоненты тензора напряжений; 8ex, 8у^, 8є - вариации компонент тензора деформаций; X, Y - объемные силы; Su , 5v - вариации век- ~ о * * тора перемещений; S - площадь пластинки; ax , тxy, a*,, T*yx - заданы на контуре напряжения. Добавив в (1) закон Гука [2], точнее, вариации деформаций, выраженные через вариации напряжений, 8ex = -1 (8ax - ^8ay ) + 8(aT) , Se y = -1( 8a y -|a8a x ) + S(aT ), 8 2(1 + ц) 8 SY xy =-8т E xy вынесем оператор 8 : 8{ -JJ2E\ax2 -2^axay +ay2 + +2(1 + ц) t^, + 2EaT (a x + a y )] dxdx + y=b l-JJ[Xu + Yv]xdy + I (axu + Txyv x=a y=b "i + I (ayv +Tyxu) | = °. x=0 y=0 J Тогда (5) примет вид 8Э = 0. l-JJ[Xu + Yv]xdy + I (axu + Txyv S y=0 = y=b + I (ayv +Tyxu)dx x=0 y=0 da дт --u +---u + Xu = 0 , dx dy дт xy da y ^v +-y v + Yv = 0. dx dy Из (8) и (9) перенесем в левую часть произведения объемных сил на перемещения, сложим их и проинтегрируем: [[(.& + Yv )<Ыу = -Я(% ~u + dx дт da у дт Л +^xu +-у-v + ^v Idxdy . (10) dy dy dx J Интегрирование по частям в правой части (10) по (2) типу (3) d da x du T-(axu) =-Г-u +axT" , dx dx dx (4) d dT yx + du - ( т yxu) =-- u + т yx-... dy dy dy член даёт равенство I (1) JJ(Xu + Yv)dxdy = JJ[ax |x + (11) du dv dv . +tdy+ay dy+txy dx[dxdy - (5) y=b -!(■ y=0 a~u + T xyv )dy -J (ayv +Tyxu ) x=0 x=0 y=b y=0 (12) (6) которое с учетом геометрических уравнений Коши приводит к [J (Xu + Yv )dxdy = E [J [ax2 - 2^ax aу + где Э - выраженный в напряжениях функционал Лагранжа: Э =-JJ 2E [a x'- 2^a xa y +a y2 + S 2E +2(1 + ц) t^ + 2EaT (a x +a y )] dxdx + y=b +ay + у=b, _ J ( y=0 2(1 + Ц)ту.] dxdy )dy a.u +t xyv (7) x=0 y=b y=0 (13) Рассмотрим вариант исключения из выражения (7) объемных сил X, Y и интегралов на контуре. Для этого формально умножим уравнения равновесия бесконечно малого элемента на перемещения u = u(x, у) и v = v(x, у): (8) (9) Подставив (13) в (7), получим искомое выражение энергии деформирования пластинки в напряжениях, называемое функционалом Кастилиано: ЭК (ax , aу , Тxy ) = JJ 2E [ax2 - 2Ц ax aу + aу2 + S 2E +2(1 + ц) т^, + 2EaT (a x +a y )] dxdx, (14) где E = E ( x, y ) - модуль упругости; ц = ц( x, y ) - коэффициент Пуассона; a = a( x, y ) - коэффициент линейного температурного расширения материала; T = T(x, y) - температурное поле. С приложением функционала Кастилиано краевая задача формулируется так, что из всех возможных напряженных состояний действительное напряженное состояние сообщает функционалу (14) максимальное значение [5]. x=0 x=0 x=0 69 Вестник СибГАУ. № 2(54). 2014 Введем в функционал (14) функцию напряжений ф(x, y) (функцию Эри [6]) без учета объемных сил: д2ф ст y = d 2ф т = yx д2ф dy2 y dx2 ’ yx dxdy ' определяющую искомый функционал эк «=fl 2E fd 2фА dx 2 „ д2ф д2ф - 2ц-2--- + dx dy fd 2фА V-2/ +2(1 + ц) f d2 A2 d ф dxdy + 2E aT fd 2ф d 2фА dx2 + dy2 SЭк (ф( x, y)) = jj E d2ф d2Sф dx 2 dx 2 -2 ц fd^ф d2ф ö^ö^A dx2 dy2 + dx2 dy2 d2ф d^ф + %? "dÿ^+ +2(1 + ц) d ф d Sф+ EaT dxdy dxdy fd 2 Sф d 2SkA dx2 + ~ dy2 dxdy ; (16) адад=Jj E dx2 dx2 -2ц dx2 dy2 dy2 dy2 д^52ф д2S1ф 0 f d2S^p д2S1ф + д2S1ф д2S2ф " +ixr іу2dxdy , (17) +д252ф5251ф+ 2(1 + ц) д2s2Ф d 2slФ dxdy dxdy аппроксимации которых легли в основу предлагаемого алгоритма решения задачи. Применим вариационно-разностную постановку. Выберем на области пластинки (рис. 1) прямоугольную равномерную сетку юі]- ={(xi = iXx, yj = jXy ), i = 0, 1,...,m, j = 0, 1, ..., n} на отрезках [0,lx] и [0, l ]. Здесь x = xi и y = ys- - узлы сетки; X x = lx / m и X y = ly / и - шаг сетки, а lx и ly - размеры пластинки по направлениям осей координат x и y . Введем сетку с узлами п: Ю4П = {(x4 = Xx / 2 +iXx, у] = Xy / 2 + jXy X i = 0, 1, ..., m -1, j = 0, 1, ..., n -1}. Континуальную область в (16) и (17) заменим дискретной. Тогда: 1 S2(S:\ ))=Х£i=1 j=1 Ei,j д^2ф д^ф dx2 dx2 - 2ц д^2ф д2S1ф ~dy2~1ÿ~ д^2ф д^ф д2S1ф д^2ф dx2 ду2 + dx2 дУ2 ду 2 dxdy, (15) j n m-2 +zz j=1 4=1 s-,j +ZZ i=1 n=1 (1+ц) У д2S2ф д2S1ф dxdy dxdy (18) Si,T| + (1+ц) д^2ф д2S1ф и сформулируем для краевой задачи с учетом температурного члена, что из всех возможных напряженных состояний находящейся в равновесии пластинки действительное напряженное состояние сообщает (15) стационарное значение. Чтобы найти напряженное состояние пластинки для формирования разрешающей системы уравнений и ее правой части, предлагается прием использования первой и второй вариаций (15): Юк (SM x, y)) = ХХ i=1 j=1 dxdy dxdy aT УД’ f д2S1ф + d2S^A Sx 2 dy2 S, . (19) Здесь площадки интегрирования Saß равны: X xX - во внутренних узлах области; XxX y /2 -в узлах, расположенных на контуре; XxX /4 - в узлах, расположенных в углах пластинки. Дифференциальные операторы в (18) и (19) заменяются конечноразностными аналогами: f d 2Sk фА v dx2 v yi,J f я2я Skфі+1, j - 2Skфі,j + Skфі-1„ xx d2Skф j = Skфі,j+1 - 2Skфі,j + Skфі,j-1 dy 2 x 2 (20) fdVA dxdy f d 2Sk ф A dxdy y Skфi+1, J+1 +Sk фі-1, J+1 -Sk фі-1, j +Sk фі+1, j M,n J j,4 J +1 П . j n-1 j -1 Sk фі+1, J+1 + (k = 3 Xx , 2X xX y Sk фі, J+1 -Sk ф 2X xX y 1, 2). ; 1 Xx i, j-1 + Sk фі+1, i 1 i i i i i i 1 1 1 1 1 1 - ly i i i _ “I i i -i- 1 1 1 ~f 1 1 -1- Xy -1 4-1 i i +1 Рис. 1. Конечно-разностная сетка, нанесенная на область пластинки Для задания функции ф на контуре пластинки используем «рамную аналогию» [5; 6]. Построим алгоритм формирования системы уравнений и правой части. Пусть функционал (15) в дискретной форме содержит вектор p переменных 70 Математика, механика, информатика ф = (ф1, ф2, ..., ф^ ). Тогда (18) содержит вариации вект°ра ^ф= (8lф1,8lф2, ...,81фр) и 82ф = (82фl,^ ...,82фр). Элемент матрицы aj системы линейных алгебраических уравнений вычисляется как av = 8 Эк (8ф, 82ф) = 82(81 Эк (8іф, 82ф)) = p | = Z- k=1 дфk 82Фk = ( ^ 1ЭК ( 81ф, 82ф) 8 8 Z К | 8іфі 82фи, V l=1 іфі (21) 1, при k = i 8іфі = 0, при k Ф і i = 1, 2, ..., p; j = 1, 2 1, при l = j 0, при l Ф j ’ p. (22) Цикл (22) из равенства (21) формирует квадратную симметричную относительно главной диагонали матрицу. Соответственно, вектор правой части определяется из (19) циклом и _я ^ (я ф) = Z 1ЭЛ (81ф) S . bi = 81ЭЛ (81ф) = Z я.. 81ф ; l=1 і = 1, 2, , p ; 8іфі = іфі 1, при l = і (23) Эпюры напряжений приведены на рис. 3. Для удобства анализа напряженного состояния разделим значения напряжений, приведенных в эпюрах, на введенный в расчет модуль Юнга. Наибольшие нормальные напряжения ax = -(2 / 5)EaT действуют в облас-а растягивающие напряжения возникают в окрестности у = 0 . В более нагретых местах возникают сжимающие температурные напряжения ax. Условия равновесия элементов пластинки диктуют проявление и растягивающих напряжений ax. На свободных кромках x = lx и x = 0 напряжения a x = 0 . ти у = ± ly /2 a x = (1/10)E aT {0, при l Ф i В контурных узлах значения функций Эри известны. В законтурных узлах ф вычисляется по формуле dф / dv = N, где v - нормаль к контуру рамы, окаймляющей собственно пластинку; N - продольное усилие в раме. Для расчета пластинки на температурные нагрузки составлена программа расчета на основе пакета Maple. Приведем пример тестового расчета пластинки на изменение температуры по закону T(x, у) = T(2у / ly )2 такое распределение температуры рассматривается для балок в [1; 2; 7]. Пластинка квадратная в плане размерами lx = 0,2 м и ly = 0,2 м. Конечноразностную сетку примем с шагом 40 х 40 . Модуль Юнга E = 2 • 1011 Па; коэффициент Пуассона 0,5. График распределения установившейся температуры в пластинке по заданному закону приведен на рис. 2. Рис. 2. Эпюра температурного воздействия -график установившейся температуры в пластинке. Множитель T Нормальные напряжения су, наоборот, достигают наибольших сжимающих значений на кромках x = lx и x = 0, а растягивающих значений - в средней зоне области пластинки. Условия неразрывности деформаций требуют возникновения этих напряжений. Порядок напряжений a такой же, как порядок напряжений ax . Касательные напряжения достигают значений Txy = ±(3 / 40)EaT; наибольшие значения приобретают в областях у = ±ly /4, x = ±lx / 4. б Рис. 3. Эпюры нормальных и касательных напряжений в пластинке: а - ax; б - a; в - тxy (здесь размерность кГ/см2; множитель aT ) а в 71 Вестник СибГАУ. № 2(54). 2014 aET /3 2aET /3 Рис. 4. Эпюра напряжения сx в поперечном сечении стержня, полученная методом сопротивления материалов Характер распределения напряжений ax согласуется с характером распределения аналогичного напряжения в стержне температурной задачи, рассмотренной в [7]. Распределение напряжений показано на рис. 4 для стержня шириной b = l . Эпюра нормальных напряжений в стержне во всех поперечных сечениях, включая и контур, постоянная. В стержне действие напряжений a у и касательных напряжений т xy не учитывается. Таким образом, применение подхода к решению краевой задачи с использованием первой и второй вариаций функционала Кастилиано с конечноразностной аппроксимацией позволили создать универсальный алгоритм расчета напряженного состояния пластинок на температурные воздействия; расчеты напряженного состояния пластинки были выполнены на различных сетках; исследования сходимости решений в напряжениях от сгущения сетки показали достаточность редкой сетки 6 х 6 (т. е. наблюдается достаточно хорошая сходимость напряжений в зависимости от сгущения сетки к напряжениям напряженного состояния, обеспечивающего неразрывность деформаций в дискретной задаче); характер распределения напряжений ax согласуется с характером распределения аналогичного напряжения в балках; скромность требуемых ресурсов для реализации позволяет внедрить методику решения рассмотренной плоской задачи в учебный курс теории упругости как добавление к традиционно используемой дифференциальной формулировке краевой задачи в виде бигармониче-ского уравнения неразрывности деформаций.

About the authors

Rasheed Altavovich Sabirov

Siberian State Aerospace University named after academician M.F. Reshetnev

Email: rashidsab@mail.ru
Candidate of Technical Sciences, associate professor, associate professor Technical Mechanics

References

Supplementary files