About a Sylow 2-subgroup in the periodic group with a given set of finite subgroups

Full Text

Введение. Группа G насыщена группами из множества групп M , если любая конечная подгруппа K из G содержится в подгруппе группы G, изоморфной некоторой группе из M [1]. Пусть группа G насыщена группами из множества групп M и K - конечная подгруппа из G. Через M(K) обозначим множество всех подгрупп из G, содержащих K и изоморфных группам из M . В частности, если 1 - единичная подгруппа G, то M(1) - множество всех подгрупп группы G , изоморфных группам из M [2]. Под символом e в данной работе будет пониматься единица группы G. В [3] доказано, что произвольная периодическая группа, насыщенная группами из множества групп {(pn)}, где p и n не фиксируются, изоморфна L2 (Q), где Q - локально-конечное поле. Там же этот результат удалось обобщить на случай, когда группа насыщена группами из множества групп |SL2 (pn)}. Естественно рассмотреть случай, когда периодическая группа насыщена группами из множества групп {(pn)}. Гипотеза. Пусть периодическая группа G насыщена множеством групп |GL2 (pn)}, где p, n не фиксируются. Тогда G - GL2(Q) для некоторого локально-конечного поля Q . Следующий пример показывает, указанная гипотеза в классе периодических групп неверна. Рассмотрим группу G = L2(2n) х B(m, p), где m > 1; p = 2n -1 - простое фиксированное число. большее 665; B(m, p) - свободная берсайдова группа с m образующими и периода p . Так как GL2(2n) = L2(2n) х Z (GL2 (2n)), |z(GL2(2n))| = 2n -1 = p и порядок любой нетривиальной конечной подгруппы из B(m, p), как показано в [4, с. 296], равен p, то G насыщена множеством M = {GL2 (2n )}, состоящим из одной группы. Как показано в [4, с. 262], B(m, p) для указанных m и p не является локально-конечной группой. Следовательно, G не локально-конечная группа. Таким образом, возникает задача выделения в периодических группах классов групп, в которых данная гипотеза имеет место. В [5] данная гипотеза доказана в классе локально-конечных групп. Одним из классов, в котором эта гипотеза может оказаться верной, является класс групп Шункова. Для доказательства гипотезы в классе групп Шункова предлагается следующая схема: 1. Доказать, что центр Z (G) нетривиален и является локально-циклической группой. 2. Доказать, что G = G \ Z (G) является группой Шункова и насыщена группами из множества {PGL2(pn)} и, как следствие, вывести отсюда, что Gизоморфна PGL2(Q) для некоторого локальноконечного поля Q . 3. Используя верность гипотезы для локальноконечных групп, показать, что G изоморфна GL2 (Q). В [6; 7] данная схема реализована в классе периодических групп Шункова при дополнительном ограничении - фиксированности p. Попытка отказаться от условия фиксированности p привела к необходимости классификации силовских 2-подгрупп в указанных группах. В данной работе эта классификация сделана. Пусть M = {GL2 (pn )} , где p - простое нефиксированное число и натуральное n не фиксируется. Доказан следующий результат. Теорема. Пусть периодическая группа G насыщена группами из множества M. Тогда силовская 2-подгруппа S группы G одна из следующих: 2 . v 2" -1 = v = 1, a = a группа и |S = 2n+1. 2. S = ( a, w сплетенная 2-группа и |S| = 2n+2. 3. S - конечная элементарная абелева 2-группа. ,,, 1 Om Om dw = d~la2 b2 = (i2) = 1 dw = b 2m_ lal, 4. S - бесконечная элементарная абелева 2-группа. 5. S = SK, где S - полная 2-группа 2 ранга не более 2, K - конечная 2-группа, изоморфная некоторой подгруппе группы диэдра порядка 8. 6. В G существует силовская 2-подгруппа S = (A х B)X(w), где A - бесконечная локальноциклическая 2-группа; w2 = e; Aw = B . Известные факты и определения. Предложение 1. Определение черниковской группы. Группа называется черниковской, если она является конечным расширением прямого произведения квазициклических групп, взятых в конечном числе [8]. Предложение 2. Пусть G-p - группа Шункова. Если ранги конечных элементарных абелевых p подгрупп из G ограничены в совокупности, то G - чер- ни-ковская группа [9-11]. Предложение 3. Пусть G = (AхBw) - конечная сплетенная 2-группа, т. е. A = (а}, B = (b), aw = b, a2 = b2 = w2 = 1. Тогда: 1. Центр Z = Z(G) = (ab) = (z) , где z = ab . 2. G = (A х B)X(w) = (Z х A)X(w), zw = z, aw = b = = aba_ = za~l, aw = (za ~')w = (za-1)-1 = zz ~la = a. 3. G = (Z х B), zw = z, bw = a = abb- = zb1. 4. Пусть x є (A х B) и |x| = 2m. Тогда |xw| < 2m+1, (xw)2 є Z , в частности, если x = a , то (aw)2 = ab = z, и если x = b , то (bw)2 = ab = z . 5. (aw)(bw) = azb_ = ab_ z. 6. (abl)w = awbw = ba_ и R = 1 ab \x(w) - группа диэдра. ?m _i i 7. Пусть d = a ‘b‘ и w 0m i i 2m i i 2m 0m ddw = a2 -lblb2 -lal = a2 b2 = d-1 z2m ,| d| = 2k. 8. Если m = k и (d) = (ab '^, тогда (d)X(w) = = (ab^X(w) = R - группа диэдра. 2m 2m 9. Если m = k _1, то a - инволюция из A , b инволюция из B и a b = z1 - инволюция из D n Z = b) . Тогда ddw = z1, dw = d~1z1 и D = (d) X(w) - полудиэдральная группа. 10. N({b w » = (b ^ Xzb , где zb инволюция из (b), (bw)zb = bwz1. 11. N (( aw)) = ( aw) Xza, где za - инволюция из b , (aw)za = awz1. 12. Пусть b х(d) c G. Если |c| = \d\ > 2, тогда b х( d) c A х B . 13. Пусть G1 = ((c)х(^)Х^^, cw1 = d, wj2 = e и G1 c G. Тогда имеет место одно из следующих утверждений: 1) G1 = ((q)х(d1)')X(w2), где cw = d1,w^ = e и ((bх(d-^)) c A х B ; 2) G1 = ((v^ X(w3^), где |v| = 4, v є A х B , w^ = e, vw3 = V1. Доказательство пункта 12. Предположим, что (c) х(d) < A х B . Тогда для некоторого x є ((c) х ^d)), x = yw, где y є A х B . Ясно, что для любого v є (A х B) П ((c) ^d)), vx = xv. Следовательно vyw = = ywv , yvw = ywv, vw = wv и v є Z . Следовательно, (AхB)П((c)х(d)) c Z . Так как Z - циклическая группа, то и (A х B) П ((c) х(d)) - циклическая группа, а это не так, в силу условия И >2 . Противоречие. Пункт доказан. Доказательство пункта 13. Поскольку x2 = e, то yw = y~1. Если w1 є (A х B), то ((c) х(d))X(w^) = = (( z^) х( x) )X( w^ = (( z^ х( w1 ))X( x), положив w1 = c1, w1 = d1, x = w2, получаем пункт 1 предложения 12. Пусть w1 g (A х B). Тогда w1 = vw для некоторого v є (A х B). Посчитаем w1 x = vwyw = vy~1 є (A х B). Очевидно, vy~1 Ф e, так как в противном случае v = y и x = w, что невозможно по условию. Если |vy~^ = 2, то vy~1 = z1, v = yz1, vw = z1 yw, w1 = z1 x, что невозможно. Итак, vy~1 > 2, значит |vy~11 = 4 . Положив v = w1x и w3 = w1, получаем утверждение 2 предложения 13. Предложение доказано. Предложение 4. В GL2 (pn), где p - нечетно, нет подгрупп, изоморфных A4. Доказательство. Предположим обратное: пусть H c GL2(pn) и H и A4 . Тогда H = (a) х(b) X(v), где a2 = b2 = v3 = e,av = ab [12; 13]. Возьмем инволюцию z є Z(GL2(pn)). Если z лежит в H , то (a)х х^b) х(z) - подгруппа в GL2(pn), что невозможно. Следовательно z є H , что противоречит структуре A . Предложение доказано. Предложение 5. Пусть G - периодическая группа, c - инволюция из G , а b - элемент порядка 4 из G такие, что cb2 = b2c. Тогда H = (c, b) - конечная группа одного из следующих видов: 1) h=bхЬ; 2) H = b Х(c) - группа диэдра; 3) H = dЦе), dc = b2d_1,b2 є^),|d > 4,b = dc - полудиэдральная группа; 4) H = ((d) x(b2})X( c), dc = d-lb2, b = dc, dc = b2 d~\ id > 2. Доказательство. Рассмотрим фактор-группу C = CG(b2)/(b2), а в ней подгруппу H = (її,b ^ . Очевидно, C - периодическая группа и H = (d'jX(c} = = (d^jX^b'j - группа диэдра. Пусть d = bc . Тогда H = ((b2)'{d))X(c) и либо dc = d-1 , либо dc = d~lb2 [14]. Если H - абелева группа, то Н вида 1. Если H - неабелева и |H| = 8, то H вида 2. Пусть H > 8 . Если dc = d, то dc = cbcc = cb = c _1b_1, cb = c~lb~l и b2 = c- = e . Противоречие с тем, что |b| = 4. Таким образом, dc = b2d_1, и если b2 d), то H = (^b2^x(d))X(c) (H - вида 3), а если b2 є (d), то H = d X c - полудиэдральная группа (Н - вида 4). Предложение доказано. Предложение 6. Пусть (а) - циклическая порядка 2п и ф - изоморфизм порядка 2 группы (а). Тогда имеет место одно из следующих утверждений: 1) ф(а) = а; 2) ф(а) = аz, z2 = e ; 3) ф(а) = az . Доказательство. Ясно, что для некоторого нечетl 2 l2 ного l < 2n, ф(а) = al. Так как ф2(а) = а, то а1 = а, і2 і 2 а1 - = e и (l -1) = 0(mod 2п). Запишем l в двоичной системе l = 2™1 + 2m2 +... + 2ms +1, где 1 < ms < ms-1 < ... < m2 < mx < 2n. Тогда (e2 -1) = (e - 1)(e + 1) = 0(mod2n) и (2n1 + +2n2 +... + 2ns )(2n1 + 2n2 +... + 2ns + 2) ^ 0(mod2n). Следовательно, 2s (2n1 -ns + 2n2-ns +... + 2ns-1 ~ns + 1)2(2n -1 + +2n2-1 +... + 2ns-1 +1) ^ 0(mod 2n). Если ns - 1 > 0, то (2n1 -ns + 2n2 - ns +... + 2ns-1 -ns +1) - нечетное число и (2n1 -1 + 2n2-1 +... + 2ns-1 +1) - нечетное число. Отсюда вытекает, что 2s+1 = 2n, n = ns +1, n1 = ns, n 1 1 +1 l = 2 ~ +1. В этом случае ф(а) = а = za, где z элемент порядка 2 из d , т. е. имеет место утверждение 3. Рассмотрим ситуацию, когда ns = 1. Тогда 2ns (2n -1 + 2n2-1 +... + 2ns-1 -1 +1) 22(2n-2 + 2n2-2 +... + +2ns-2 +1) = 0(mod 2n). Если ns-1 - 2 > 0 , то, как и выше, ns-1 > 2, 23 = 2n, n = 3, l = 22 + 2 +1 = 7 и противоречие с тем, что ns-2 > 2. Следовательно, ns-1 = 2 , S1 = 2n-1. Действуя подобны образом, получаем, что l = (2n + 2n1-1 +... + 22 + 2 +1), (e - 1)(e +1) = 2a2m, где a - нечетное число, 2m = (2n1 + 2nl-1 +... + 22 + +2 +1) +1 = e +1 и 2m+1 ^ 0(mod 2n). Следовательно, либо m = n , либо m = n - 1 и m +1 > n . По формуле геометрической прогрессии имеем (2n-1 + 2n-2 +...+ 2 +1) +1 = (2n - 1) +1 = 2n в первом случае и (2n-2 + 2n-3 +... + 2 +1) +1 = (2n-1 - 1) +1 = 2n-1 во втором случае. Соответственно, либо l = 2n-1 - 1 и имеет место утверждение 2, либо l = 2 - 1 и имеет место утверждение 1. Предложение доказано. Доказательство теоремы. Если в G некоторая S конечна, то из предложений 1, 2 вытекает, что S одна из первых трех видов 1, 2, 3, и в этом случае теорема доказана. В дальнейшем считаем, что S - бесконечная группа. Лемма 1. Если S содержит подгруппу D = d х (у) х (z), где x2 = y2 = z2 = 1, то S - элементарная абелева группа. Доказательство. В силу предложения 4 и [14; 15] D вложена в бесконечную локально-конечную подгруппу I групп S . Если I содержит элемент в порядке 4, то (р, bj конечная 2-группа, которая по условию насыщенности является подгруппой группы р1 , где р1 - одна из следующих (предложение 6): 1) р1 - конечная группа полудиэдра; 2) Р1 - конечная сплетенная 2-группа; 3) Р1 - элементарная абелева 2-группа Но в первых двух случаях Р1 не может содержать подгруппу р , а в последнем - не может содержать элемент b . Итак, I - элементарная абелева 2-группа, и можно считать I максимальной в указанном смысле (D < I). Если S = 1, то все доказано. Предположим, что x є G \ I ^0 . Покажем, что x можно выбрать так, что xz = zx для некоторой инволюции z є I . Если |d = 2 , то группа (x, z) конечна для любой инволюции Z из I. Пусть t - инволюция из Z ((x, z)). Если t є I, то положим Z = t. Если t g I, то положим x = t. Подгруппа (z} x(p = K1, очевидно, не лежит в I и K ПI =(z). Возьмем в I инволюцию t Ф z. Ясно, что tz = zt. Рассмотрим конечную подгруппу (z, x, t). Данные подгруппы, очевидно, не лежат в I и (z, x, t) П I > ((x(t}). В силу леммы 1 в (z, x, t) существует элемент v такой, что v є NG ((Xj х () \ I и v2 є I. Тогда группа K2 = (v, z, x, t, t^, где t1 є I \ ((Xj х (t}), конечная 2-группа. По условию насыщенности K2 < K3 є M(l). Так как K2 содержит подгруппу (t) х{^) х (Xj, то из структуры M вытекает, что К2 - элементарная абелева 2-группа. В силу произвольности tj как инволюции из I получим, что x перестановочен с любой инволюцией из I. Таким образом, I х (Xj - элементарная абелева 2-группа, что противоречит максимальности I как элементарной абелевой 2-группы. Пусть |х| = 4 . Возьмем xj = x2. По доказанному выше xj є I. В дальнейшем, дословно повторяя рассуждения для случая |x| = 2 , получим, что x є K2 - элементарная абелева 2-группа. Противоречие с тем, что |x| = 4 . Лемма доказана. В дальнейшем будем считать, что G не содержит элементарных абелевых групп порядка более четырех. Лемма 2. Если ранг S равен 2, S1 типа 5. Доказательство. В этом случае S = A х B , где А, В - локально-циклические группы. Возьмем в S конечную подгруппу R = {а} х{b) , где а є A, b є B, |а| = = |b| > 2. По условию насыщенности R с K є ОТ(1). Следовательно, K - GL2 (pn) и p Ф 2 . Пусть SK - силовская 2-подгруппа из K , содержащая R . По предложению 3 SK = ((Xj х(d^)Xw - сплетенная 2-группа, т. е. X = |d > 2 и cw = d. По предложению 4 R < ((^х(Xj) и Rw = R . Возьмем в S\R элемент y со свойством y2 є R . Очевидно, такой, в силу структуры S, найдется. Ясно, что y є CG (R). Следовательно, группа (R, y, ^ - конечна. По условию насыщенности (Я, y, w) с Kj є ОТ(1) и K1 - GL2 (pjj), где p1 Ф 2 . По предложению 5 (R1, y, ^ с NK (R) = ((c1) х (d1 ))X (w) - сплетенная группа. Здесь Щ = Щ = (p^ -1)2 и cj = d1. Кроме того, CKj (R) = ((c^j х (djjj. В частности, отсюда вытекает, что ^yw, y^ < ((q) х( dj'j). Пусть y1 - другой элемент из S \ R со свойством yj2 є R и ^y^ y^. Покажем, что y1 yw = ywy1. Действительно, (я,y1,yw^j - конечная группа. По условию насыщенности (к,y1,yw^ < K2 є є M(1), K2 - GL2(p22), где p1 Ф 2. По предложению 5 CK2(R) = ((c2)х(d2)), где |c2| = \d2\ = (pn2 -1)2. Так как (R,yj,yw) < Ck2 (R), то yyw = ywyj, что и требовалось. Пусть Y - множество элементов из S \ R со свойством, что для нового y є Y, y2 є R . Ясно, что Y - конечное множество. Из сказанного выше получаем, что (y,Yw^ - конечная абелева группа из Cg (R), а ^R, Y, Yw, ^ - конечная группа из NG (R). По условию насыщенности (r, Y, Yw, w^ < K3 є OT(1), K3 - GL2 (p3n3) и p3 Ф 2 . По предложению 5 Nk3 (R) = ((ъ)х(d^))X(w),((03)х (d^) = Ck3 33) и (r, Y,Yw^ < CK3 (R). Положим, R1 = SП ((c3)х (d3)). По построению R <R1 = ((v^х (щ)), где (v) < A,(Xj < B и v,w = u1. Действуя по описанному выше алгоритму, мы строим цепочку подгрупп S R < Я1 < Я2 <... < Ri <... со следующими свойствами j) я = ((u) х( v 2) vw = u . Так как S полная 2-группа ранга 2, то очевидно R = S и w є N(S). Осталось показать, что S') (w) = S. Рассмотрим Ng (S) / S = N . Очевидно в N силовская 2-подгруппа конечна, а значит все силовские 2-подгруппы из N конечны и сопряжены. Поэтому с точностью до сопряженности можно считать, что S)(w} < Sx, а значит S)(w} < Sx для некоторого x є NG (S). Это означает, что S = y^ и y2 є S . Из предложения 5 получаем, что y є w}. Следовательно, Sx(w} = S. Лемма доказана. Лемма 3. Если S содержит подгруппу (((аЛ х{ bn) )x( wn)) C S , где Іа^ = \bn\ > 2, а^П = bn и w2 = e, то S типа 5. Доказательство. Положим, Dn = ((an} ^ bn ^) х х^wn ^. Если S содержит бесконечную цепочку Dj < D2 <... < Dn <..., (1) то очевидно S насыщена конечными сплетенными 2-группами по предложению 2 S типа 5. Предположим, что бесконечных цепочек типа (1) в S нет. Пусть Dn -максимальная конечно-сплетенная 2-группа из S . Пусть ((an)х(bn)) = Rn . Покажем, что Rn нормальная подгруппа S . Возьмем s є S \ Dn и s є NS \ D . По условию насыщенности конечная группа (Dn, S) с K с G и K - GL2(pn), где ная a2 = b2 = w2 = e,aw = b,ab = ba) p Ф 2. Более того, (Dn, S) с SK є Syl2K. По предложению 1 SK сплетенная 2-группа и Rn ASk и S є N(R). Пусть Dln = Sk n S. Возьмем S2 є NS (D1). Повторяя проведенные выше рассуждения, показывают, что S2 є NS (Rn). Действуя подобным образом, получаем, что NS (Rn) бесконечная группа. Таким образом S с N(Rn), а поскольку S = SDn , то S = NS (Rn). Пусть 5 такой элемент из S, что s2 є Rn . Тогда D, s, Xj конечная группа и по условию насыщенности Dn, s, x) с K - GL2 (pn), где p Ф 2 . По предложению 3 s є Ck (Rn), т. е. xs = sx. Используя индукцию по |S|, получим что S с CG (x) и ^S, x^ абелева группа. Пусть теперь |x| > 2 и (^S2, x2^ абелева группа. Рассмотрим конечную группу {Rn, x, S}, где s є ^Rn,x2^ , тогда (Rn,x,S) - конечная группа. И по условию насыщенности получим, что {Rn, x, S} с с K - GL2 (pn), где p Ф 2 . По предложению 3 (Rn, x, S) с Ck (Rn) и значит R, x, S) - абелева группа. Далее, используя индукцию по |S|, получим, что (^S, Rn, xj - абелева группа. Теперь перейдем к индукции по |x| и получим, что (^S, Rn, xj абелева 2-группа и значит, по предложению 4, CG2 (Rn) = Sn абелева 2-подгруппа и SK с SnK . Лемма доказана. Лемма 4. Пусть S не содержит подгруппу Dn = ((«Л х( bn) )М wn) с условием \an\ = \bn\ > 2. Тогда S типа 6. Доказательство. Очевидно в этом случае полная часть S группы S квазициклическая 2-группа. Положим S = A . Тогда S / A - конечная 2-группа, и пусть K - ее минимальный по порядку прообраз в S . Тогда S = AK и K - конечная подгруппа из группы диэдра порядка 8. Лемма доказана. Заключение. Пусть периодическая группа G насыщена группами из множества M . Тогда силовская 2-подгруппа S группы G одна из следующих: I 2п 2 v 2п 1 1 \ 1. S = ( a = v = 1, a = a j - полудиэдраль- группа и |S = 2n+1. 2. S = ( a, w сплетенная 2-группа и |S| = 2n+2. 3. S - конечная элементарная абелева 2-группа. 4. S - бесконечная элементарная абелева 2-группа. 5. S = SK, где S - полная 2-группа 2 ранга не более 2, K - конечная 2-группа, изоморфная некоторой подгруппе группы диэдра порядка 8. 6. В G существует силовская 2-подгруппа S = (A х B)X(w), где A - бесконечная локальноциклическая 2-группа, w2 = e; Aw = B .

About the authors

Ekaterina Alekseevna Pronina

Krasnoyarsk State Agrarian University

Email: katyushka_2707@mail.ru
postgraduate student 44I, Stasov str., Krasnoyarsk, 660130, Russian Federation

Alexey Anatolievich Shlepkin

Siberian Federal University

Email: ak_kgau@mail.ru
Docent 79, Svododnyi Av., Krasnoyarsk, 660041, Russian Federation

Alexey Nikolaevich Darziev

Krasnoyarsk State Agrarian University

Email: ak_kgau@mail.ru
postgraduate student 44I, Stasov str., Krasnoyarsk, 660130, Russian Federation

References

Supplementary files