Mathematical methods used to assess the position and form accuracy of a large-sized spacecraft reflector

Full Text

Важнейшую роль в создании зеркальных антенн космических аппаратов играют крупногабаритные трансформируемые рефлекторы, реализующие отражающую поверхность, или, иными словами, зеркало, посредством которого происходит передача электромагнитной волны. Основная цель рефлекторов антенн сводится к преобразованию сферического фронта волны в плоский (справедливо и обратное утверждение). Требуемая форма отражающей поверхности сетчатого рефлектора задается путем натяжения шнуров формообразующей структуры и определяется массивом из N точек фронтальной сети. С увеличением размеров трансформируемых рефлекторов возрастает влияние различных факторов на геометрическую точность рефлектора в орбитальных условиях, что приводит к снижению радиотехнических характеристик [1; 2]. Допустимые потери радиотехнических характеристик определяются допустимыми диапазонами значений контролируемых геометрических параметров рефлектора. Под контролируемыми геометрическими параметрами рефлектора в орбитальных условиях обычно понимают: - положение фокальной точки внутри сферы с допустимым радиусом и центром в фокусе теоретического (номинального) положения рефлектора; - угол между реальной фокальной осью и фокальной осью теоретического положения рефлектора; - среднеквадратическое отклонение (СКО) измеренных точек отражающей поверхности относительно теоретического положения рефлектора. Как правило, оценка геометрической точности рефлектора сводится к определению следующих параметров: - точность положения (точность установки) рефлектора; - точность формы поверхности рефлектора. Точность установки рефлектора определяется двумя составляющими в соответствии со схемой, изображенной на рис. 1: - допустимым смещением фокальной точки рефлектора относительно ее номинального положения; - допустимым угловым отклонением фокальной оси рефлектора относительно ее номинального положения. Точность формы поверхности определяется как среднеквадратическое отклонение точек отражающей поверхности рефлектора от параболоида наилучшего соответствия (ПНС) с фиксированным значением фокусного расстояния (рис. 1) [3]. В современной отечественной практике космического антенностроения нет единых инженерных подходов к проектированию крупногабаритных рефлекторов, совмещающих в себе простоту математического аппарата и универсальность применяемых алгоритмов для определения основных геометрических параметров. С целью создания методологии определения геометрической точности отражающей поверхности крупногабаритного рефлектора космического аппарата автором был разработан ряд математических методов. Классификация разработанных автором статьи математических методов представлена на рис. 2. Далее рассмотрим подробно каждый метод. 94 Авиационная и ракетно-космическая техника Рис. 1. Геометрическая точность рефлектора Рис. 2. Методы определения геометрической точности отражающей поверхности рефлектора Метод, основанный на использовании кинематической схемы «штанга-рефлектор». Данный метод связывает величины отклонений звеньев штанги с отклонениями фокальной точки и фокальной оси рефлектора, не учитывая деформацию отражающей поверхности (т. е. рефлектор абсолютно жесткий). Использование данного метода позволяет определить линейные и угловые отклонения, используя классические формулы аналитической геометрии. Предельные отклонения фокальной точки вычисляются по формуле (1), предельные угловые отклонения фокальной оси рефлектора - по формуле (2): A f = V ( xkF - x0F )2 + ( ykF - yF )2 + ( zkF - z0F )2 (1) Ф = a cos /с xF- xv)2+( y' xV )2 )2 + ( _k yV ) + ( ZF' k )2 zv) (2) где x°F, y0F, z°F - начальное положение фокальной точки; xF, yF , zF - конечное положение фокальной точk k k ки; xV, yV, zV - координаты конечного положения вершины параболоида. Рассмотрим использование данного метода на примере кинематической схемы (рис. 3), в которую входят: однозвенная штанга; рефлектор; механический блок управления положением рефлектора БМ1, расположенный в корне штанги; механический блок 95 Вестник СибГАУ. № 2(54). 2014 управления положением рефлектора БМ2, расположенный на конце штанги. CS1( X ,Y, Z, DX 1, DY1, DZ1, RX1, RY1, RZ1) = ( X \ = R1 ( RX 1 + RXj0, RY1 + RY10, RZ1 + RZj0 ) • Y Z (3) +D1( DX 1 + DXj0, DY1 + DY10, DZ1 + DZj°). (4) Рис. 3. Пример метода, основанного на использовании кинематической схемы «штанга-рефлектор» Как видно из рис. 3, системы координат (СК) механических приводов СК БМ1 и СК БМ2 ориентированы следующим образом: ось ХСКБМ1(2) - вдоль звена штанги; ось Ускбм1(2) - перпендикулярна оси Хскбм1(2), лежит в плоскости 0XY глобальной системы координат и направлена в сторону рефлектора; ось ZCKM(2) -достраивает систему координат механического привода до правой декартовой. Ориентация осей ХСКР и YCK> системы координат рефлектора также показана на рис. 3 (ось 2СКР достраивает систему координат до правой декартовой). Для реализации метода необходимо ввести функцию, которая бы описывала положение рефлектора в зависимости от линейного и углового отклонения любого механического привода в кинематической схеме. Так как в общем случае оба привода имеют по шесть степеней свободы, то искомая функция будет зависеть от двенадцати переменных. Вывод функции проводится в следующей последовательности: 1. Введем константы и переменные, описывающие искомую функцию: - DX0, DY0, DZ0 - начальные значения смещения начала координат СК БМ1 относительно СК КА; - RX0, RY0, RZ0 - начальные значения углов поворота СК БМ1 относительно СК КА; - DX 2, DY 2, DZ 2 - начальные значения смещения начала координат СК БМ2 относительно СК БМ1; - RX0, RY2, RZ2 - начальные значения углов поворота СК БМ2 относительно СК БМ1; - DX1, DY1, DZ1 - линейные смещения начала координат СК БМ1 относительно СК КА; - RX1, RY1, RZ1 - угловые отклонения СК БМ1 относительно СК КА; - DX2, DY2, DZ2 - линейные смещения начала координат СК БМ2 относительно СК БМ1; - RX2, RY2, RZ2 - угловые отклонения СК БМ2 относительно СК БМ1. 2. Опишем пространственное положение тела, заданного массивом точек {(Хг ,Yt, Z% )} , относительно СК БМ1: 3. Положение начала координат СК БМ1: CS10 ( DX1, DY1, DZ1, RX 1, RY1, RZ1 ) = = CS1(0, 0, 0, DX1, DY1,DZ1,RX1,RY1,RZ1). 4. Опишем пространственное положение тела, заданного массивом точек {Xi, Yi, Zi относительно СК БМ2: CS2 (X, Y, Z, DX 1, DY1, DZ1, RX 1, RY1, RZ1, dx2, dy2, dz2, rx2, ry2, RZ2) = = R2(RX2 + rx20, ry2 + ry20, rz2 + RZ20) x x R1(RX1 + RXj0, RY1 + RY10, RZ1 + RZf) x (5) W Z y + D2(DX2 + dx20, dy2 + dy20, dz2 + DZ20) (6) + D1(DX1 + DXj0, DY1 + DY10, DZ1 + DZ°). 5. Положение начала координат СК БМ2: CS20 ( DX1, DY1, DZ1, RX1, RY1, RZ1, DX2, dy2, dz2, RX2, RY2, RZ2) = = CS2(0, 0, 0, DX1, DY1, DZ1, RX1, RY1, RZ1, DX 2, DY2, DZ2, RX 2, RY2, RZ2). 6. Зададим искомую функцию (привязка рефлектора к положениям СК БМ1 и СК БМ2): CSR ( X, Y, Z, DX1, DY1, DZ1, RX1, RY1, RZ1, dx2, dy2, dz2, rx2, ry2, RZ2) = = CS‘0 ( DX1, DY1, DZ1, RX 1, RY1, RZ1, DX 2, DY2, DZ2, RX 2, RY2, RZ2) + +R2( RX 2, RY2, RZ 2) x x CSR (X, Y, Z, DX1, DY1, DZ1, RX1, RY1, RZ1, DX 2, DY2, DZ2, RX 2, RY2, RZ2), (7) где CSR ( X, Y, Z, DX1, DY1, DZ1, RX1, RY1, RZ1, dx2, dy2, dz2, rx2, ry2, RZ2) = = R1( RX1, RY1, RZ1) x - CS10 ( DX1, DY1, DZ1, RX1, RY1, RZ1 ) Y Z (8) + CS10 ( DX1, DY1, DZ1, RX 1, RY1, RZ 1) -- CS20 ( DX1, DY1, DZ1, RX 1, RY1, RZ1, DX 2, DY2, DZ2, RX 2, RY2, RZ2). x 96 Авиационная и ракетно-космическая техника Таким образом, из формулы (7) функция CSR ( X, Y, Z, DX J, DYj, DZj, RX j, RYj, RZ j, DX 2, DY2, DZ 2, RX2, RY2, RZ2) при подстановке в неё требуемых номинальных координат (например, положение фокальной точки, вершины параболоида или массива точек, описывающих отражающую поверхность рефлектора) и величин линейных и угловых отклонений механических блоков управления позволяет получить требуемые координаты с учетом движения данных приводов. Метод «вписывания» параболоида наилучшего соответствия с помощью алгоритма Левенберга-Марквардта. Алгоритм Левенберга-Марквардта предназначен для оптимизации параметров нелинейных регрессионных моделей и заключается в последовательном приближении заданных начальных значений к искомому локальному оптимуму [4]. Решение проводится по следующим этапам: 1. Задание функции оптимизации, описывающей положение параболоида вращения в пространстве. 2. Задание критерия оптимизации - используется среднеквадратическая ошибка модели на заданной выборке. 3. Выполнение расчета по алгоритму, описанному в [5]. Применение алгоритма Левенберга-Марквардта позволяет «вписать» параболоид наилучшего соответствия в деформированную отражающую поверхность рефлектора с заданной точностью. В результате «вписывания» параболоида наилучшего соответствия получаем его ориентацию в пространстве (линейные и угловые отклонения) относительно канонической системы координат, что дает возможность в дальнейшем определить СКО смещенных точек отражающей поверхности от ПНС или от теоретического профиля [5]. Метод выбора контрольных точек (КТ) при радиально-кольцевом расположении. Для описания положения идеального параболоида необходимо и достаточно иметь координаты шести КТ (в соответствии с общим уравнением поверхности второго порядка). Поскольку отражающую поверхность рефлектора лишь условно можно назвать параболической, то нельзя говорить об избыточном количестве точек, по которым определяется «наилучшее» СКО. Однако количество и место положения КТ можно оптимизировать с целью ускорения машинного времени расчета контролируемых геометрических параметров рефлектора. Существует ряд критериев выбора количества и расположения контрольных точек, описывающих отражающую поверхность рефлектора, к которым относят: диаметр апертуры рефлектора; компоновочную схему рефлектора; конструктивно-силовую схему рефлектора и др. В зависимости от используемых критериев количество КТ может достигать нескольких сотен и даже тысяч. Для поиска оптимального количества и расположения контрольных точек могут быть использованы эвристические подходы [6], однако такие методы оказались неэффективными. Это привело к созданию нового подхода, основанного на радиально-кольцевом расположении КТ в системе координат теоретического параболоида (СК ТП). Основным допущением, принятым для радиальнокольцевого расположения КТ в СК ТП, является следующее. В соответствии с рис. 4 промежуточные точки отражающей поверхности, расположенные между двумя соседними в радиальных направлениях узловыми точками, лежат на прямой линии, образованной этими узловыми точками. Пример использования данного метода приведен на рис. 5. Получение промежуточных точек проводится в несколько этапов: 1. Получение массива точек surf = (Xs, Ys, Zs), принадлежащих параболоиду вращения с требуемым фокусным расстоянием, используя алгоритм на основе блок-схемы, представленной на рис. 6. При этом значение параметра nkp - количество промежуточных точек - выбирается равным нулю. 2. Получение другого массива точек noden = = (Xn, Yn, Zn), принадлежащих параболоиду вращения с требуемым фокусным расстоянием, аналогично пункту 1, но значение параметра nkp - отличное от нуля. 3. Нахождение промежуточных точек из условия равенства координат Xn = Xs и Yn = Ys Zn соседних в радиальных направлениях узловых точек в соответствии с блок-схемой, приведенной на рис. 7 . 4. Замена координат Zs, принадлежащих параболоиду, координатами Zcount, при которых промежуточные точки примут положение согласно принятому допущению. Данный метод позволяет определить погрешность измерения СКО отражающей поверхности, измеренной по КТ, от СКО реальной отражающей поверхности рефлектора; подобрать оптимальное количество КТ, необходимых для расчета СКО. Автором статьи также ведутся работы по автоматизации оптимизации определения необходимого минимума количества КТ для расчета СКО отражающей поверхности рефлектора. Метод определения среднеквадратического отклонения с помощью метода Ньютона. Использование метода Ньютона позволяет определить среднеквадратическое отклонение точек отражающей поверхности рефлектора от параболоида наилучшего соответствия, а также от теоретического параболоида (ТП) [5]. Решение данной задачи состоит из следующих этапов: 1. Задание функции оптимизации, определяющей наикратчайшее расстояние от точки до поверхности параболоида; 2. Определение расстояний от точек, описывающих отражающую поверхность рефлектора, до ТП; 3. Определение СКО поверхности рефлектора относительно ТП. Разработанные автором статьи математические методы позволяют: - проводить полную оценку точности положения и точности формы отражающей поверхности рефлектора; - определять основные геометрические параметры рефлектора, такие как положение фокальной точки и фокальной оси, а также среднеквадратическое отклонение отражающей поверхности рефлектора от теоретического профиля. 97 Вестник СибГАУ. № 2(54). 2014 Рис. 4. Схема соответствия поверхности рефлектора теоретическому профилю Рис. 5. Пример применения метода выбора количества и расположения контрольных точек Рис. 6. Блок-схема алгоритма получения точек, лежащих на параболоиде, при радиально-кольцевом положении 98 Авиационная и ракетно-космическая техника Рис. 7. Блок-схема алгоритма получения точек, лежащих на поверхности рефлектора, при радиально-кольцевом положении Предложенная концепция выбора количества и расположения контрольных точек отражающей поверхности рефлектора позволит облегчить процесс обработки данных, не внося существенной погрешности в определение контролируемых геометрических параметров. Разработанная методика оценки геометрической точности отражающей поверхности крупногабаритного рефлектора космического аппарата применяется в процессе создания новых рефлекторов, при обработке результатов испытаний, а также используется для создания методики управления формой отражающей поверхности рефлектора. Ведутся постоянные работы по улучшению качества и удобства применения разрабатываемых методик.

About the authors

Nikolay Nikolayevich Goldobin

Siberian State Aerospace University named after academician M.F. Reshetnev; JSC “Information Satellite System” named after academician M.F. Reshetnev”

Email: goldobin@iss-reshetnev.ru
graduate student, Siberian State Aerospace University named after academician M.F. Reshetnev; Engineer 2nd category, JSC “Information Satellite System” named after academician M.F. Reshetnev”

References

Supplementary files