ABOUT NEW SOLUTIONS OF EQUATIONS OF PLASTICITY OBTAINED WITH THE HELP OF HIGHER SYMMETRIES

Abstract

In the article the authors show how higher symmetries of plane ideal plasticity operate on exact solutions of two-dimensional ideal plasticity. New solutions are obtained.

Full Text

Основным свойством симметрий, допускаемым системой дифференциальных уравнений, является то, что под их действием любое решение системы уравнений переходит в решение этой же системы. Это свойство позволяет получать новые решения не интегрированием исходной системы, а применением групповых преобразований к уже известным решениям. Таким способом найдены многие интересные решения для различных дифференциальных уравнений. В данной статье представлено, как можно использовать высшие симметрии для построения точных решений из решения Прандтля. Рассмотрим дифференциальные уравнения теории идеальной пластичности в плоском случае [1]: дст 99 5x 9> lF = дп — Л д > д^ д n> 9цп д > д|3 д3 > 97. (5) f2 = f3 = fn = дх дх (6) является Рассмотрим бесконечномерное пространство J “ с координатами (х, >, ст, 9, pk), k = 1,2,..., и преобразование этого пространства вида х' = f1 (X, >, ст, 9, pk, а), >' = f 2( х, >, ст, 9, pk, а), ст' = g1( х, >, ст, 9, pk, а), (2) 9' = g 2( х, >, ст, 9, pk, а), (p. )' = hik(x, >, ст, 9 pi., а), k = i,2,..., i,. = i,2,..., где а - одномерный параметр из некоторой окрестности нуля. Пусть преобразования (2) составляют локальную однопараметрическую группу. Тогда (p.. у= ^ст (p2 V = д"Je ' iif д(х)1 д(>)J’ V ii! д(х)1 д(>)J' Система уравнений (1) определяет в пространстве J бесконечную систему уравнений Dv (Fj) = 0, Dv (F2) = 0. (3) Здесь оператор полной производной имеет вид г-. д v k д х = & + J,pi*l,-i іт ■ где стх = ct-ksin29, ст> =ct+ ksin29, x = kcos29 компоненты тензора напряжений; ст - гидростатичеж ское давление; 9 = (1;x) -~,(Uх) - угол между первым главным направлением тензора напряжений и осью OX. Известно, что система уравнений (1) допускает бесконечную группу точечных симметрий, бесконечную алгебру высших симметрий и бесконечную систему законов сохранения [2]. Точечная группа, допускаемая системой (1), уже неплохо изучена. С ее помощью удалось построить новые серии точных решений уравнений (1) и изучить качественные свойства этих уравнений. Законы сохранения, допускаемые системой (1), позволили решить краевые задачи Коши и Римана в аналитическом виде. В данной статье впервые будет показано, как высшие симметрии могут быть использованы для построения новых точных решений уравнений (1). Приведем необходимые сведения о высших симметриях уравнения (1). Пусть 9+J ст 1 9+. 9 2 . . 1 2 - = p. , = p., l, J = i,2,.... 9х д>' (1) 9> F2 =--2k (sin 29--cos 29—) = 0 99. дст д9 д9 F =--2k (cos 29--+ sin 29 —) = 0, дх dx d> D> = д>+k,r/pii 1 9pI / v= (/, m), Dv= DI 0 Dm, где v - любое целое число. Будем говорить, что система уравнений (1) допускает группу преобразований (2), если бесконечная система (3) инвариантна при этих преобразованиях. Каждой однопараметрической группе (2) соответ- V Используем некоторые эти симметрии для построения новых решений пластичности согласно следующей методике. Пусть х0, y0 - некоторые известные решения уравнений пластичности, а fk возьмем из семейства симметрий (5). Серия новых решений, которые получаются из точного решения х0(Ъ, ц), >0(|, ц), определяется как решение системы уравнений которая определяется по системе уравнений ^ = 0, (4) где черта вверху означает, что в уравнениях (4) следует перейти на многообразие (1). Оператор lF из (4) для системы (1) будет следующим: ^ „j, ™ д9 „ д9 ^ Dx - 2k(-2 sin 29--+ 2cos 29--+ дх д> дх д^ дх дц со следующими начальными условиями: >(0,Ъц) = ^, хС0,Ъц) = х0. Тогда пара функций (> (х, Ъ, ц), х (х, Ъ, ц)) решением уравнений пластичности для каждого х. Единственное затруднение при использовании этой методики состоит в отсутствии формул для Подробности вычислений высших симметрий и многочисленные примеры можно найти в [2] и цитируемых там источниках. В [2] найдены все высшие симметрии, допускаемые уравнением пластичности (1). Простейшие из них имеют вид + cos 29Dx + sin 29D>) д9 д9 D> - 2k(2cos29--+ 2sin29--+ > дх д> + sin29Dx - cos29D>) ствует производящая функция симметрий ф = ( Ї.2-Л д > д^2 д2 > дц2 д>_ д k> Ф2 д решения задачи Коши для уравнений (6), которых нет, например, даже в [3]. По аналогии со случаем k = 2 запишем общее решение уравнений (6). Лемма. Решение задачи Коши д> дку _ — = , >| х=0 = >0 можно представить в виде х = (29 - sin 29 + c1) ch a - cos 29 sh a, > = cos29ch a-(-29-sin 29 + c1) sh a. Графики новых точных решений уравнений пластичности при а = 0, а = 1, а = 2 и а = 3 представлены ниже (рис. 1-4). >0 [Image] Рис. 1. Линии скольжения первого семейства решения Прандтля - нового решения при a = 0 >(х,Ъ, ц) = >0 +Х 77d(ikf. (7) i=1 i! аЪ Доказательство этой леммы осуществляется простой проверкой того, что (7) действительно есть решение уравнения (7) и удовлетворяет начальному условию. В качестве исходного решения возьмем решение Прандтля: х0 (Ъ, ц) = -sin 9 -(ц + ^cos 9, >0 (Ъ,ц) = cos9 + (ц + Ъ) sin 9. Подставляя это решение в (7) и сворачивая полученные ряды, имеем [Image] Рис. 2. Линии скольжения первого семейства нового решения при a = 1 х (х, Ъ, ц) = (-sin 9-^ + |)cos 9 + х sin 9)exp )- х > (х, Ъ, ц) = (cos 9 + (ц + Ъ)ш 9 + х cos 9)exp )-). Характеристики для этого решения и решения На-даи приведены в [4]. Теперь, используя решение Прандтля, рассмотрим случай k = 3. Согласно предыдущим рассуждениям получим х (х, Ъ, ц) = (-(ц + ^cos 9-sin 9)h )-8j + [Image] Рис. 3. Линии скольжения первого семейства нового решения при a = 2 + ((ц + Ъ)ш 9-cos 9) )-, у (х, Ъ, ц) = ((ц + Ъ) sin 9 + cos 9)ch )-8j + + ((ц + ^cos 9-sin 9)h )-. Возвращаясь к исходным координатам, по формулам x = x cos 9- > sin 9, > = x sin 9- > cos 9 имеем x = (-ct - sin 29) ch a - cos 29 sh a, [Image] Рис. 4. Линии скольжения первого семейства нового решения при a = 3 > = cos29 ch a + (ct-sin29)sh a, (■ где a = -I - Характеристики и соотношения на характеристиках для этого решения имеют вид Ъ = ct - 29 = c1, x = (-29 - sin 29- c ) ch a - cos 29 sh a, > = cos 29 ch a - (29 - sin 29 + c1) sh a, ц = ст + 29 = c1,