ABOUT SUBGROUPS OF FREE BIN-INDUCED BURNSIDE GROUP OF THE PERIOD FIVE

Abstract

The authors obtain and present sufficient conditions of existence of bin-induced subgroups of non-isomorphic B(2,5) in B(2,5).

Full Text

Одной из известных проблем теории групп является проблема Бернсайда о периодических группах фиксированного периода [1]. Эта проблема была поставлена английским математиком У. Бернсайдом в 1902 г. в следующей форме: пусть G - группа, порожденная m элементами, в которой каждый элемент в степени n равен единичному элементу группы. Будет ли такая группа конечной? Впоследствии эти группы получили название свободных бернсайдовых групп и обозначение B(m, n). Перечислим известные к настоящему времени результаты по данным группам. Группа B(m, n) конечна для n = 2 (тривиальный случай), n = 3 [1], n = 4 (m = 2) [1], для m > 2 [2], n = 6 [3]. Группа B(m, n) бесконечна для нечетных n > 665 [4] и для достаточно больших четных n [5; 6]. В 1950 г. В. Магнусом была поставлена еще одна проблема, известная как ослабленная проблема Бернсайда. В ней требовалось выяснить, существует ли максимальная конечная периодическая группа B0(m, n) с данным числом порождающих элементов m и фиксированным периодом n. Связь ослабленной проблемы Бернсайда с основной проблемой сводится к тому, что если бы не существовало бесконечных периодических групп, то B(m, n) была бы максимальной конечной периодической группой при этих m и n. Решение ослабленной проблемы Бернсайда для периода 5 приведено в [7]. Для других показателей, наименьший из которых n = 5, вопрос о конечности остается открытым. Наибольший интерес представляют двупорожден-ная группа периода 5 (группа B(2, 5), поскольку эта группа имеет наименьший показатель и наименьшее число порождающих элементов в сравнении с другими бернсайдовыми группами, конечность которых не определена. Отметим два вопроса о подгруппах группы B(2, 5), поставленные Б. Б. Симсом [8], ответы на которые до настоящего времени не известны: - вопрос 1: существуют ли в B(2, 5) нециклические конечные подгруппы; - вопрос 2: существуют ли в B(2, 5), при условии ее бесконечности, бесконечная двупорожденная подгруппа периода 5, не изоморфная B(2, 5)? В [8] приведенные ниже соотношения длины 30 были получены как необходимое условие существования в B(2, 5) конечных нециклических подгрупп порядка 25. Однако сами эти подгруппы там не были указаны. А. А. Кузнецовым в теореме 11 [9] приведен ряд соотношений, минимальное из которых имеет длину 47, являющихся достаточными условиями существования в B(2, 5) нециклических подгрупп порядка 25, причем для каждого из данных соотношений указана соответствующая группа. Автором получено достаточное условие положительного ответа по крайней мере на один из упомянутых выше двух вопросов. Обозначим через 0, 1 порождающие элементы B(2, 5). Положим v = 01, w = 10 и рассмотрим в B(2, 5) подгруппу H = <v, w>. В [10; 11] представлены все соотношения до длины 36 включительно, доказать которые в B(2, 5) не удается, а невыполнение любого из них влечет бесконечность B(2, 5). В табл. 1 приведены все соотношения из [10; 11], которые являются соотношениями в подгруппе H в образующих v, w (табл. 2), с сохранением нумерации указанных соотношений из [12]. Таблица 1 Порядковый номер соотношения в массиве [12] Вид соотношения до замены v = 01, w = 10 1 Длина 30: 2 соотношения 011010010110010101100101101001= 101010011001101010011001101010 2 010101100110010101100110010101= 100101101001101010011010010110 22 Длина 32: 16 соотношений 01010110011010100110100101100101= 10010110010110100110010101100110 23 01011001011010011010100110010101= 10011001010110011010010110010110 25 01011010010110011010011010011001= 10010101101010010101100110100110 26 01100101100110101001010110101001= 10011001011001011001101001011010 27 01100110100101101001011010011001= 10011001011010010110100101100110 28 01100110100110100110010110100101= 10011010011001010110101001010110 29 01101001100101101001011001101001= 10010110011010010110100110010110 30 01101010010101101010011001011001= 10100101101001100101100101100110 33 01100110100110011001011001101001= 10011001011001101001011010010110 34 01101001100101100110011010011001= 10010110100101101001100101100110 36 01011010011001101001100110100101= 10010101101010010110101001010110 42 01100101101010010110101001011001= 10100101100110010110011001011010 44 01100110100110010110100101101001= 10011001011001100110100110010110 45 01101001011010010110011010011001= 10010110011010011001100101100110 46 01100110101001100101101001101001= 10100110100101100101011001101010 47 01101001101001011001101010011001= 10101001100101011001011010011010 223 Длина 34: 23 соотношения 0110011010100110010110010110100110= 1001011010011010010101100110101001 225 0101100110101001100110101001100101= 1010100110010101100101011001101010 228 0110101001100101011010011010010110= 1001101001011001011001101010011001 232 0101100101101001101010011010100110= 1001101010011010010110100110100101 233 0101100110101001100110011010100110= 1001101010011010011010100110010101 234 0101101001101001011010011010100110= 1001101010011010100110100101100101 235 0101011001101010011010011010100110= 1001101010011001100110101001100101 248 0110010101100110010101100110100101= 1010100101011001101010011010100110 249 0110010101100101011001101010010101= 1010010110011010100110011010100110 250 0110010101100101100101101001100101= 1010011001011010011010011010100110 251 0101100110100101100101100101011001= 1001101010011010011010010110011010 252 0101101001100101011001100101011001= 1001101010011010100110010101101010 253 0101010110100110100101100101011001= 1001101010011001011010011010011010 254 0101011010100110010101100101011001= 1001101010011001101010011001011010 266 0101101001010110011001010110100101= 1010010110101001100110101001011010 274 0110010101100101011001011010011010= 1010010110010110100101100101011001 276 0110010101100101101001011001011010= 1010011010010110010101100101011001 Продолжение табл. 1 Порядковый номер соотношения в массиве [12] Вид соотношения до замены v = 01, w = 10 278 0101100110010110010110011001011010= 1010100101100110010101011001100101 279 0101100110010101011001100101101010= 1010010110011001011001011001100101 284 0110100101100101101010011001010110= 1001100101011001101001101001011001 295 0110010110100110100110010101100110= 1001010110011010100101100101101001 296 0101011001101010011010100110010101= 1010011001010110011001010110011010 297 0110100101011010011010010101101001= 1001010110100110011001101001010110 1733 Длина 36: 48 соотношений 010101101001011001100101100101100110= 100110010101011001100101101010010101 1734 010101101010010110011001010101100110= 100110010110010110011001011010010101 1755 010110010110100101100101101010011001= 101010011001100110101001101010011010 1757 011001011001101001011010010101011010= 100110011001011001011001101010010101 1758 010101100101101001011001101010011001= 100101101001011010010110010101011010 1764 011001101010011001011010010110010101= 101001010101100101101001011010010110 1780 011001101010010110010110100101100101= 101001101010011010100110011001101010 1781 010101101010011001011001011001100110= 101001010101101001011010011001011001 1797 010101011010011010010110100101101001= 101001011010011001010110011001010110 1798 010110010110010110011010100110011001= 100101100101011001011010010110011010 1799 010110010110100101100101011001101010= 101010011001010110010101100101101001 1801 011010010110010101100101011001101010= 101010011001010110010110100101100101 1805 010101101001010110101001101010010101= 101001010101101001011001100101100110 1806 010101101010011010100101011010010101= 100110010110011001011010010101011010 1822 010101101001011010100110011010100101= 101001010110011001010110100101101010 1823 010110101001100110101001011010010101= 101010010110100101011001100101011010 1845 010101011001010110010101011001010110= 100110100101011010100101011010011001 1846 010110100110011010011010010101101001= 101001010110100110010101101001100110 1850 011001100101101010011001011010100101= 100101101010010110010110011001011010 1853 010101011010011001011010011010011010= 100110011010100110100101100101011001 1855 010110011010100110011001010110011010= 100101011001101010010101100110101001 1856 010110011010100110011010010110010110= 101001011001011010010101100110101001 1857 011001101010010110100101011010100101= 101001010110101001011010010101100110 1859 011001011010011010011010100110010101= 101010011001010110010110010110100110 1860 011010011010010110011001010110011010= 100101011001101010010110100110100101 1861 011010011010010110011010010110010110= 101001011001011010010110100110100101 1862 011010011010100110011001010110010110= 100101011001011010010110100110101001 1891 010110101001011001101010010110011001= 101001011001100101100101101010010110 1893 010101100110101001101001101001011001= 100110100101100101100101011001101010 1894 010110100110100101101001011001011010= 100101100101101001100101101001101001 1895 010110100110100101101010011001010110= 101001100101011001100101101001101001 1896 010110101001010110100101101010011001= 100110010101101001011010100101011010 1900 011001010110010110100110101001100110= 101001101001101001011001101001010101 1901 011010100110010101101001011001011010= 100101100101101001100110101001100101 1902 011010100110010101101010011001010110= 101001100101011001100110101001100101 1903 011010100110100101101001011001010110= 100101100101011001100110101001101001 1906 011001101001010110101001010110100110= 100101011001010101100101011001010101 1907 011010010101101001101001100110100101= 100110011010010101100110100101011010 1933 010101100110101001101001011010011010= 100101101001101010011010100110010101 1934 010101100110101001101010011010010110= 101001101001011010011010100110010101 1935 011001101010011001011001101010011001= 100110101001100101010110011010100110 1936 011010011001101001011010011001101001= 101001100110100101010110100110011010 Окончание табл. 1 Порядковый номер соотношения в массиве [12] Вид соотношения до замены v = 01, w = 10 1981 010110100101101001011010100110100110= 101001011010010110011010011010011001 1997 010101011001011010010110100101100101= 101010011001101010011001011010010110 1998 010110101001101001101010010110101001= 101001010101100101100101010110010110 2027 010101011001100101100101100110100101= 100101100110101001010110101001101010 2035 010101011010010110011001011001100101= 100101101010010110101001011001101010 2036 011010100101101010011010011010100101= 100101100101010110010110010101011010 Таблица 2 Порядковый номер соотношения в массиве [12] Вид соотношения после замены v = 01, w = 10 1 Длина 30: 2 соотношения vwwvvwvvvwvvwwv = wwwvwvwwwvwvwww 2 vvvwvwvvvwvwvvv = wvvwwvwwwvwwvvw 22 Длина 32: 16 соотношений vvvwvwwwvwwvvwvv = wvvwvvwwvwvvvwvw 23 vvwvvwwvwwwvwvvv = wvwvvvwvwwvvwvvw 25 vvwwvvwvwwvwwvwv = wvvvwwwvvvwvwwvw 26 vwvvwvwwwvvvwwwv = wvwvvwvvwvwwvvww 27 vwvwwvvwwvvwwvwv = wvwvvwwvvwwvvwvw 28 vwvwwvwwvwvvwwvv = wvwwvwvvvwwwvvvw 29 vwwvwvvwwvvwvwwv = wvvwvwwvvwwvwvvw 30 vwwwvvvwwwvwvvwv = wwvvwwvwvvwvvwvw 33 vwvwwvwvwvvwvwwv = wvwvvwvwwvvwwvvw 34 vwwvwvvwvwvwwvwv = wvvwwvvwwvwvvwvw 36 vvwwvwvwwvwvwwvv = wvvvwwwvvwwwvvvw 42 vwvvwwwvvwwwvvwv = wwvvwvwvvwvwvvww 44 vwvwwvwvvwwvvwwv = wvwvvwvwvwwvwvvw 45 vwwvvwwvvwvwwvwv = wvvwvwwvwvwvvwvw 46 vwvwwwvwvvwwvwwv = wwvwwvvwvvvwvwww 47 vwwvwwvvwvwwwvwv = wwwvwvvvwvvwwvww 223 Длина 34: 23 соотношения vwvwwwvwvvwvvwwvw = wvvwwvwwvvvwvwwwv 225 vvwvwwwvwvwwwvwvv = wwwvwvvvwvvvwvwww 228 vwwwvwvvvwwvwwvvw = wvwwvvwvvwvwwwvwv 232 vvwvvwwvwwwvwwwvw = wvwwwvwwvvwwvwwvv 233 vvwvwwwvwvwvwwwvw = wvwwwvwwvwwwvwvvv 234 vvwwvwwvvwwvwwwvw = wvwwwvwwwvwwvvwvv 235 vvvwvwwwvwwvwwwvw = wvwwwvwvwvwwwvwvv 248 vwvvvwvwvvvwvwwvv = wwwvvvwvwwwvwwwvw 249 vwvvvwvvvwvwwwvvv = wwvvwvwwwvwvwwwvw 250 vwvvvwvvwvvwwvwvv = wwvwvvwwvwwvwwwvw 251 vvwvwwvvwvvwvvvwv = wvwwwvwwvwwvvwvww 252 vvwwvwvvvwvwvvvwv = wvwwwvwwwvwvvvwww 253 vvvvwwvwwvvwvvvwv = wvwwwvwvvwwvwwvww 254 vvvwwwvwvvvwvvvwv = wvwwwvwvwwwvwvvww 266 vvwwvvvwvwvvvwwvv = wwvvwwwvwvwwwvvww 274 vwvvvwvvvwvvwwvww = wwvvwvvwwvvwvvvwv 276 vwvvvwvvwwvvwvvww = wwvwwvvwvvvwvvvwv 278 vvwvwvvwvvwvwvvww = wwwvvwvwvvvvwvwvv 279 vvwvwvvvvwvwvvwww = wwvvwvwvvwvvwvwvv 284 vwwvvwvvwwwvwvvvw = wvwvvvwvwwvwwvvwv 295 vwvvwwvwwvwvvvwvw = wvvvwvwwwvvwvvwwv Окончание табл. 2 Порядковый номер соотношения в массиве [12] Вид соотношения после замены v = 01, w = 10 296 vvvwvwwwvwwwvwvvv = wwvwvvvwvwvvvwvww 297 vwwvvvwwvwwvvvwwv = wvvvwwvwvwvwwvvvw 1733 Длина 36: 48 соотношений vvvwwvvwvwvvwvvwvw = wvwvvvvwvwvvwwwvvv 1734 vvvwwwvvwvwvvvvwvw = wvwvvwvvwvwvvwwvvv 1755 vvwvvwwvvwvvwwwvwv = wwwvwvwvwwwvwwwvww 1757 vwvvwvwwvvwwvvvvww = wvwvwvvwvvwvwwwvvv 1758 vvvwvvwwvvwvwwwvwv = wvvwwvvwwvvwvvvvww 1764 vwvwwwvwvvwwvvwvvv = wwvvvvwvvwwvvwwvvw 1780 vwvwwwvvwvvwwvvwvv = wwvwwwvwwwvwvwvwww 1781 vvvwwwvwvvwvvwvwvw = wwvvvvwwvvwwvwvvwv 1797 vvvvwwvwwvvwwvvwwv = wwvvwwvwvvvwvwvvvw 1798 vvwvvwvvwvwwwvwvwv = wvvwvvvwvvwwvvwvww 1799 vvwvvwwvvwvvvwvwww = wwwvwvvvwvvvwvvwwv 1801 vwwvvwvvvwvvvwvwww = wwwvwvvvwvvwwvvwvv 1805 vvvwwvvvwwwvwwwvvv = wwvvvvwwvvwvwvvwvw 1806 vvvwwwvwwwvvvwwvvv = wvwvvwvwvvwwvvvvww 1822 vvvwwvvwwwvwvwwwvv = wwvvvwvwvvvwwvvwww 1823 vvwwwvwvwwwvvwwvvv = wwwvvwwvvvwvwvvvww 1845 vvvvwvvvwvvvvwvvvw = wvwwvvvwwwvvvwwvwv 1846 vvwwvwvwwvwwvvvwwv = wwvvvwwvwvvvwwvwvw 1850 vwvwvvwwwvwvvwwwvv = wvvwwwvvwvvwvwvvww 1853 vvvvwwvwvvwwvwwvww = wvwvwwwvwwvvwvvvwv 1855 vvwvwwwvwvwvvvwvww = wvvvwvwwwvvvwvwwwv 1856 vvwvwwwvwvwwvvwvvw = wwvvwvvwwvvvwvwwwv 1857 vwvwwwvvwwvvvwwwvv = wwvvvwwwvvwwvvvwvw 1859 vwvvwwvwwvwwwvwvvv = wwwvwvvvwvvwvvwwvw 1860 vwwvwwvvwvwvvvwvww = wvvvwvwwwvvwwvwwvv 1861 vwwvwwvvwvwwvvwvvw = wwvvwvvwwvvwwvwwvv 1862 vwwvwwwvwvwvvvwvvw = wvvvwvvwwvvwwvwwwv 1891 vvwwwvvwvwwwvvwvwv = wwvvwvwvvwvvwwwvvw 1893 vvvwvwwwvwwvwwvvwv = wvwwvvwvvwvvvwvwww 1894 vvwwvwwvvwwvvwvvww = wvvwvvwwvwvvwwvwwv 1895 vvwwvwwvvwwwvwvvvw = wwvwvvvwvwvvwwvwwv 1896 vvwwwvvvwwvvwwwvwv = wvwvvvwwvvwwwvvvww 1900 vwvvvwvvwwvwwwvwvw = wwvwwvwwvvwvwwvvvv 1901 vwwwvwvvvwwvvwvvww = wvvwvvwwvwvwwwvwvv 1902 vwwwvwvvvwwwvwvvvw = wwvwvvvwvwvwwwvwvv 1903 vwwwvwwvvwwvvwvvvw = wvvwvvvwvwvwwwvwwv 1906 vwvwwvvvwwwvvvwwvw = wvvvwvvvvwvvvwvvvv 1907 vwwvvvwwvwwvwvwwvv = wvwvwwvvvwvwwvvvww 1933 vvvwvwwwvwwvvwwvww = wvvwwvwwwvwwwvwvvv 1934 vvvwvwwwvwwwvwwvvw = wwvwwvvwwvwwwvwvvv 1935 vwvwwwvwvvwvwwwvwv = wvwwwvwvvvvwvwwwvw 1936 vwwvwvwwvvwwvwvwwv = wwvwvwwvvvvwwvwvww 1981 vvwwvvwwvvwwwvwwvw = wwvvwwvvwvwwvwwvwv 1997 vvvvwvvwwvvwwvvwvv = wwwvwvwwwvwvvwwvvw 1998 vvwwwvwwvwwwvvwwwv = wwvvvvwvvwvvvvwvvw 2027 vvvvwvwvvwvvwvwwvv = wvvwvwwwvvvwwwvwww 2035 vvvvwwvvwvwvvwvwvv = wvvwwwvvwwwvvwvwww 2036 vwwwvvwwwvwwvwwwvv = wvvwvvvvwvvwvvvvww Теорема. Пусть в B(2, 5) выполнено хотя бы одно соотношение из табл. 1. Тогда в B(2, 5) существуют двупорожденные подгруппы, не изоморфные B(2, 5). Доказательство. Если B(2, 5) - конечная группа, то, как показано в [7], ее порядок равен 534 и, следовательно, B(2, 5) содержит нециклические конечные подгруппы. Пусть B(2, 5) - бесконечная группа. Положим v = 01, w = 10 и рассмотрим в B(2, 5) подгруппу H = <v, w>. Тогда в H должно выполняться хотя бы одно соотношение из табл. 2. Используя вычисления на основе алгоритма из [13], можно убедиться в том, что левая и правая части любого соотношения из табл. 2 инвариантны, т. е. не меняются, по применению к ним указанного алгоритма. Последнее означает, что в B(2, 5) левая и правая части любого соотношения из табл. 2, поскольку их длины в терминах образующих v и w не превосходят 29, - это различные элементы указанной группы (см. теорему 2) [10]. Таким образом, подгруппа H не изоморфна B(2, 5) и, следовательно, H - собственная подгруппа группы B(2, 5). Если H - бесконечная группа, то утверждение теоремы выполнено. Пусть теперь H - конечная группа. Покажем, что она отлична от циклической группы порядка 5. Предположим обратное. Тогда H = <v, w> = <v> = <w> -циклическая группа порядка 5. Рассмотрим в B(2, 5) автоморфизм ф порядка 2, который на образующих 0, 1 действует следующим образом: ф(0) = 1, ф(1) = 0. Нетрудно видеть, что ф(т) = w и фМ = v и ф(Н) = H. Так как ф - нетривиальный автоморфизм порядка 2 группы H, то ф(х) = v-1 = v4. Следовательно, v4 = w и 01010101 = 10. Домножив обе части последнего равенства слева на 01, получим 0101010101 = 0110 = e, где e - единица группы H. Следовательно, 0-2 = 12 и, как легко видеть, 01 = 10 = e. Таким образом, B(2, 5) -абелева, что невозможно. Теорема доказана. Таким образом, в данной статье с использованием вычислений на ЭВМ получен новый результат, дающий достаточные условия существования в группе B(2, 5) двупорожденных подгрупп, не изоморфных B(2, 5).