METHOD OF RELIABILITY ESTIMATION OF COMPLICATED SYSTEMS , CALCULATION OF WHICH CAN NOT BE REDUCED TO A SERIAL-PARALLEL ELEMENT CONNECTION SCHEME

Full Text

В технике известны сложные системы, модель надежности которых не может быть построена непосредственным применением теоремы умножения вероятностей, как это делается для систем с последовательно-параллельным соединением элементов. При построении расчета для таких систем используется логико-вероятностное исчисление. Подробно методы логико-вероятностного исчисления рассмотрены в монографии [1], в которой использованы некоторые результаты. В качестве примера из [1], рассмотрим мостико-вую систему (рис. 1). Рис. 2. Логическая схема мостиковой системы, построенная по методу минимальных сечений Для рассматриваемой системы расчет вероятности отказа Q при традиционном методологическом подходе может быть выполнен и с использованием теоремы умножения вероятностей. Тогда, при условии равенства вероятностей отказов q всех элементов, вероятность отказа системы запишется в виде Q = 2q2 + 2q3 + 2q5 -5q4. (1) Поскольку моделью (1) в [1] не накладываются ограничения на вид функции q для элементов, то в качестве последней примем распределение равномерной плотности вида q(t ) = I ю •t при при 0 < t < Tcp cp t > Tcp (2) где ю = - T параметр потока отказов элементов, cp Рис. 1. Структурная схема мостиковой системы Предполагается, что система откажет, если в ней выйдут из строя элементы 1 и 2, либо 3 и 4, либо 1, 5, 4, либо 2, 5, 3. Решение задачи расчета надежности мостиковой системы в [1] получено с использованием логиковероятностного подхода, согласно которому исходная структурная схема (рис. 1) заменяется на эквивалентную (рис. 2). Tcp - средняя наработка на отказ элемента. Далее в расчетах примем параметр потока отказов одинаковым для всех элементов и равным ю = 1 • 10-4. Построим по (1) с учетом (2) зависимость изменения вероятности отказа системы от времени и проанализируем ее особенности (рис. 3, пунктирная линия). Рис. 3. Зависимость вероятности отказа мостиковой системы из 5 элементов при ю = 1 • 10 -4 : ----традиционный метод расчета [1];--предлагаемый метод расчета с использованием логико-вероятностного представления; - ■ — прямое применение предлагаемого метода 1 1 85 Математика, механика, информатика Прежде всего следует заметить, что графически форма зависимости (1) близка к интегральной функции нормального распределения, а следовательно, вероятность отказа системы за единицу времени будет иметь вид гауссовской кривой плотности вероятности. Если вероятность отказа за единицу времени будет описываться гауссовской кривой, то невозможно объяснить, почему она в начале будет возрастать, а затем, достигнув максимума, будет уменьшаться при неизменных структуре системы и вероятности отказа элементов за единицу времени. Второй вопрос состоит в том, что в этом случае вероятность отказа за единицу времени будет определяться неоднозначно. Если, для наглядности, приращение времени принять равным 2 000 ч, то следует, что на отрезках [0, 2000] ч и [8000, 10 000] ч (рис. 3, пунктирная линия) приращение вероятности отказа системы примерно одинаковы и составляют 0,18 (0,2). Но приращение вероятности отказа на отрезке [4000, 6000] ч в 3,5 раза больше. Ответы на эти и другие вопросы, связанные с правомерностью применения теоремы умножения вероятностей в расчетах надежности, можно найти в работе [2]. Здесь остановимся на вопросах, не отмеченных в [2]. В частности, на вопросе о гладкости зависимости (1) (рис. 3, пунктирная линия). В постановочной части задачи расчета надежности мостиковой системы [1] отмечены сочетания числа элементов, при отказе которых система потеряет работоспособность. Однако отказы элементов - это дискретные события, происходящие в дискретные моменты времени. И в эти дискретные моменты изменяется структура системы, модель (1) никак не отражает. Кроме того, в соответствии с (1), вероятность отказа системы Q = 1 осуществляется только при достижении всеми элементами вероятности отказа q = 1. Такой вывод в корне противоречит исходным предположениям постановочной части задачи о том, что вся система откажет, если в ней выйдут из строя элементы 1 и 2 либо 3 и 4, либо 1, 5, 4, либо 2, 5, 3 [1]. В работе [3] предложен метод расчета надежности систем, исключающий применение теоремы умножения вероятностей. Метод основан на простом представлении о том, что плотность суммарного потока отказов совокупности n элементов, составляющих систему вне зависимости от схемы их соединения, значительно больше, чем у одного элемента. Рассмотрим предлагаемый метод. Суммарный параметр потока отказов системы равен сумме параметров потоков отказов элементов составляющих совокупность: =Z®i. (3) принятом для вероятности отказов элементов, вероятность первого отказа q}(t) в системе определится по выражению q1(t) = t1 -Srai. (4) Тогда, если задать вероятность qx(t) = 1, то из (4) вычислим время работы системы до первого отказа: 1 t1 = " (5) i=1 Поскольку элементы в системе соединены определенным образом, то в момент времени t1 , после отказа первого элемента, структура системы изменится. В зависимости от схемы соединения элементов, их число в оставшейся работоспособной части системы изменится на некоторую величину k, где k - число элементов, исключаемых из системы вследствие первого отказа элемента. Тогда с учетом того, что элементы работоспособной части системы уже отработали время t1 , вероятность отказа второго элемента находят по формуле n-k q2(t) = (t1 +At2). (6) Далее, задавшись, как и ранее, q2 (t) = 1, найдем приращение времени до отказа второго элемента в оставшейся работоспособной части системы: n-k 1 - t1 'Xrai Ät2 =- i=1 n-k i=1 (7) Именно определит вероятность первого отказа элемента в рассматриваемой совокупности. При этом заранее неизвестно, какой именно элемент откажет первым, и какое место он занимает в схеме. При распределении равномерной плотности вероятности (2), тогда время до второго отказа t2 = ^1 + At2 . Продолжая подобные операции, определим время tj, j-го отказа элемента в системе, после которого она потеряет работоспособность. В зависимости от принятой схемы соединения элементов, отказ каждого i-го (1 < i < j ) элемента приводит к изменению вероятности отказа системы на вполне определенную величину AQi. Предлагаемый метод обеспечивает возможность поставить в соответствие каждому отказу элемента в определенный момент времени ti конкретное значение вероятности отказа системы Qi (t). Для наглядности на рис. 3 приведены результаты расчета этой же мостиковой системы по предлагаемому методу без использования теоремы умножения вероятностей, но с применением расчетной схемы, приведенной на рис. 2, построенной по логиковероятностному методу (сплошная линия) и прямым применением предлагаемого метода к исходной расчетной схеме, приведенной на рис. 1 (штрих-пунктирная линия). i =1 i =1 i =1 86 Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева Точки излома на графиках (рис. 3, сплошная и штрих-пунктирная линии) соответствуют моментам времени отказов элементов, а число изломов - числу параллельно включенных ветвей логической схемы. Промежуточные отрезки между точками отказов элементов линейны, поскольку на этих промежутках структура системы остается неизменной. Расхождение графиков (рис. 3, сплошная и штрих-пунктирная линии) не существенное. В монографии [1] справедливо отмечается, что расчеты на надежность потенциально опасных сложных систем, отказы которых сопряжены с большими экономическими потерями, не могут быть сопоставлены со статистическими оценками, полученными как при испытаниях таких систем, так и в процессах их серийной эксплуатации. Испытания сложных систем чрезвычайно дороги, а по длительности сопоставимы со временем эксплуатации систем. По понятным причинам статистика катастроф самолетов и атомных электростанций крайне скудна для того, чтобы ее можно было использовать для получения статистических оценок надежности систем. Тем более, что катастрофы крайне редко связаны с отказами систем. В связи с этим правомерность использования тех либо иных методов расчета надежности сложных систем может быть оценена только по корректности использования фундаментальных положений математики и по непротиворечивости результатов расчетов надежности исходным данным и феноменологическим представлениям о характере изменения вероятности их отказа.

About the authors

E. A. Furmanova

Email: furmula@mail.ru

O. G. Boyko

Email: bouko1962@yandex.ru

L. G. Shaimardanov

References

Supplementary files