OPTIMAL SYSTEMS OF SUBALGEBRAS ADMITTED BY EQUATIONS OF PLASTICITY

Abstract

In the article the author presents optimal systems of subalgebras of 1, 2 dimentionality of Lie algebra, accepted with equations of plane stress plasticity, in the case of lag unsteady flow.

Full Text

Рассмотрим уравнения, описывающие плоское напряженное состояние в случае медленных нестационарных течений. Уравнения имеют вид - t /г . „ \дю u = (3 sin ю cos2p-cos ю j^ + dt dx rr . . „ дю „ . дф + v3 sinюsin2ф--2sinю —-, -y -y д n: . . _ дю —v = v 3sinro sm2cp-- дt дх \ дю -f( sin ю cos2p + cos ю)—+ 2sin ю —, ' ' -y дх -u дх -u -v . . --1--= 6k A sin ю sin 2ф. ду дх (1) (2) -дХ = kA^V3cosro + 3sinro cos2p), (3) — = kX^V3cosro - 3sinro cos 2p), (4) (5) напряжения и осью Ox; ю - угол, связанный со значением среднего давления ст = 3 ( +ст2 ), cos ю = ■ л/3ст 1F k - постоянная пластичности; u, v - компоненты вектора скорости; все функции зависят от х, y, t. Точечные симметрии системы (1)...(5) с использованием методики Ли [1] были найдены ранее [2]. Базис алгебры Ли L9, порождающей группу непрерывных преобразований, которая допускается системой уравнений (1). (5), имеет вид Х1 =-У-х + хдy - v-u + udv +дф, X 2 = t-t + хд х + Уд У -A-a , X3 = tdt + u-u + vdv +A-a , X4 = -y-u + X-v, X5 = -y , X6 = дх , X7 =-v , X8 =-u , X9 =-t. (6) Здесь A - некоторая положительная функция; p -угол между первым главным направлением тензора Таблица коммутаторов алгебры Ли L9 будет следующей (табл. 1). 10 Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева Таблица 1 Таблица коммутаторов X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 *1 0 0 0 0 X6 -X5 X8 -X7 0 X2 0 0 0 X4 -X5 -X6 0 0 -X9 X3 0 0 0 -X4 0 0 -X7 -X8 -X9 X4 0 -X4 X4 0 X8 -X7 0 0 0 X5 -X6 X5 0 -X8 0 0 0 0 0 X6 X5 X6 0 X7 0 0 0 0 0 X7 -X8 0 X7 0 0 0 0 0 0 X8 X7 0 X8 0 0 0 0 0 0 X9 0 X9 X9 0 0 0 0 0 0 Анализ табл. 1 показывает, что алгебра Ли L9 разрешима и имеет следующую структуру: - максимальные абелевы идеалы N = {, X2, X 4, X5, X6, X 7, X8, X9 }, N2 ={X 2, X3, X 4, X5, X6, X7, X 8, X9 }; - центр S = {0}; - производная алгебра L9=X 4, X5, X6, X7, X 8, X9 }; - общий вид одномерной подалгебры: X — Qq X-[ +^2 X 2 +^3 X3 +^4 X4 +^5 X5 + + ^6X6 + Q7X7 + ^8X8 + Q9X9 , (7) где ai, i = 1,9 - константы. Построим оптимальную систему подалгебр размерности 1 путем поиска наиболее простых неподобных подалгебр X (7), т. е. тех подалгебр, которые под действием внутренних автоморфизмов не переводятся друг в друга. Так, оптимальная система подалгебр размерности 1 - 9j будет следующей: I. aX1 + X2 + X3 + X4. II. aX1 + X2 -X3 + X9. III. X1 +PX2 + yX3:. IV. Xj + X4 +aX9. V. X4 + X5 +aX9. VI. X5 + X7 +aX9. VII. X1 + X9. VIII. X 2 +aX3. IX. X2 + X7. X. X3 + X5;. XI. X4 + X9. XII. X5 + X9. XIII. X7 + X9;. XIV. X3. XV. X4. XVI. X5. XVII. X7. XVIII. X9. Здесь a, p, y - произвольные постоянные, причем разным значениям постоянных соответствуют неподобные подалгебры. Инвариантные решения, построенные на 91, представлены в табл. 2. Вид инвариантных решений ранга 2 Таблица 2 I A = f1 (4 л) , p = f2 (4, ^)+^2ln t, ur = rf3 (^ л), u9= rf4 (4 л) + r ln r, t,=e9ral2, ^ = e9r-a II a = a(4, л) , p = f1 (4 л)+9, ur = г-1/ (^ л), u9 = (4 л), 4 = 9 +t, n = eT,r III A = f(4 л) , ф-f2 (4 л) + р In t, ur - ry/Pf3 (^ л), u9 = rll9f4 (^ л), 4 = e (p УЧ л = t P1 r(p y) p + y IV A = A(^, Г), ф = 6+/1 (^ r), ur = ur (^ r), u9= f2 (^ r ) + 9r, £ = t-a9 V A = A(4,x), ф = ф(4,х), v = f1 ( ) +—, u = f2(4,x) + У~, 4 = t + ay VI A = A(4,x), ф = ф(4,x), v = fj(4,x) + y, u = u(4,x), 4 = ay-t VII A = A(^ r) > ф = 9+У1 (4 r), ur = ur (4 r) > u9 = M4, r)= 4 = 9 + t VIII A = f (4,9), ф = ф(4,9), ur = г^./2(4,9), u9= г—/(4,9), 4 = гГ^+о) IX A = f (л)Л ф = ф(4,л), v = f2(4 л) +lnt, u = u(4,л), 4 = -X > л = -y X A = t/1 (4=X) = ф = ф(4, X) = u =tf2 (4= X)= v =tf3 (4=X) = 4 = teTy 11 Математика, механика, информатика Окончание табл. 2 XI A = A(x,y), ф = ф(х,y), v = /1 (x,y) + xt, u = /2(x,y) + ty XII A = A(,y +1), ф = ф(х,y +t), v = v(x,y +1), u = u(x,y +1) XIII A = A(x,y), ф = ф(х,y), v = f1 (x,y) +1, u = u(x,y) XIV A = f1 (-^y), ф = ф(х,y), u = tf2(х,y), v = tf3(х,у) XV Инвариантного решения нет XVI A = A(x,t), ф = ф(x,t), v = v(x,t), u = u(x,t) XVII Инвариантного решения нет XVIII A = A(x,y), ф = ф(х,y), v = v(x,y), u = u (x,y) Примечание. В табл. 2 приняты следующие обозначения: f, i = 1,4 - произвольные функции; r и 9 - полярные коорди наты: х = г cos 9, у = г sin 9 ; u , u9 - компоненты вектора скорости: u = u cos 9-u9 sin 9, v = u sin 9+u9 cos 9 . Оптимальная система подалгебр размерности 2 - 92 имеет следующий вид: 1. ^aX^ + X2 + X3,+a4^^4) . 2. X + X4,X4 +a9X9) . 3. (X1 + X4, X9). 4. (X1 + X9,a1 X + X2 + X3 +a4X4^ . 5. (X1 + X9,X4 +a9X9) . 6. (X 2, X 5 +a9 X9). 7. ^X2 +a3X3,X^ +a2X2^ . 8. (X2 +a3 X 3, X7). 9. (X2 + X3, X5 + a7X7). 10. (X2 + 2X3,X4 +a5X5) . 11. (X2 + X3 + X4, X7). 12. (X2 -X3 + X9,X1 +a9X9). 13. (X2 + X7,X4) . 14. (X2 + X7, X5 +a9 X9). 15. [X2 + X7,X6 +a5X5 + a9X9) . 16. (X2 + X7, X7 +a8 X8). 17. X + X7, X^. 18. (X2 + X7, X9). 19. (X3, Xx +a2X^. 20. (X3, X2). 21. (X3,X4 +a9X9) . 22. (X3, X7 +a9 X9). 23. (X3 + X5, X3 +a6X^. 24. (X3 + X5, X4). 25. X + X5, X^. 26. ^X3 + X5, X7 + a8X8 + a9X9 ^ . 27. {X3 + X5, X 8 + a9 X 9). 28. ^X4,X1 +a2X2 +a3X3^ . 29. (X4,a1 X + X2 -X3 + a9X9^ . 30. (X 4, X 2 +a3 X 3). 31. (X4,X7 +a9X9^ . 32. 4 + X5 + aX9,X^7 + a8^^8 + a9X~9^ . 33. (X4 + X5 + aX9,X8 + a9X9^. 34. (X 4 + X9, X1 +a3 X3). 35. (X 4 + X9, X7 +a9 X9). 36. (X5 ,X 2 +a3 X 3 +a6 X ^ . 37. (X5 ,X2 - X3 +a6X6 +a9X9) . 38. (X5, X3 +a6 X ^. 39. ^X5 , X6 + a 7X7 + a 8X8 + a9X9 ) . 40. ^X5,X7 +a8X8 +a9X'9^ . 41. ^X5 , X8 + a9X9 ^ . 42. (^X 5 + X 7 + aX 9, X 6 +a7 X 7 +a8 X 8 +a9X 9^ 43. (X5 + X^7 + aX9,X7 +a8X8 + a9X"9^ . 44. (X5 + X7 +aX9,X8 + a9X9^. 45. (X5 + X9,X2 +a7X7 + a8X8^ . 46. ^X5 + X9,X6 +a7X7 +a8X8 + a9X9^ . 47. ^X5 + X9, X7 + a8X8 + a9X9 ^ . 48. (X 5 + X 9, X 8 + a9 X 9). 49. (X7 ,X2 +a8X8) . 50. (X7 , X4 + a5X"5 + a6X6 + a8X8 + a9X9 ^ . 51. ^X7:;X5 +a6X6 +a8X8 +a9X9^ . 52. X7, ■X6 + a8X8 + a9X9 } . 53. (X7,X8 +a9X9^ . 54. (X 7, X 9). 55. (X7 + X9,X3 + a5X5 +a6X^ . 56. ^X7 + X9,X4 +a5X5 +a6X6 + a9X9j . 57. ^X7 + X9,X5 +a6X6 + a7X7 +a8X8^ . 58. X7 + X9 , X6 + a 7X 7 + a8 X8 ^ . 12 Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева 59. X + X9, X7 +a8X8). 60. {X7 + X9, X8 +a9 X9). 61. (\X9,X1 +a2X2 +a3X3) . 62. {X9,a1 + X2 + X3 +a4X4^ . 63. (X9,X2 +a3X3) . 64. {X9,X3 +a5X5) . 65. (X9, X4 +a5 X5). 66. (X9, X5 +a7 X7). Здесь a, aj, j = 1,9 - произвольные постоянные, причем разным значениям постоянных соответствуют неподобные подалгебры. Инвариантные решения, построенные на 92, будут следующими: Г 1. 4 = ^, ur = /1 (4)r, u9 = r (f2 (4) + a49 - aa4 lnr), A = A(4), ф = /3 (4) + 9. 2. ur = ur (r), u9 = —ff2 (r) + rt + r fa9 -a)9), a9 A = A(r), ф = f2 (r)+9 3. Ur = Ur (r), И9 = /2 (r)+ r9, A=A(r), ф = f2 (r)+9 2t + a9 + 29 4. 4=- = f (4)' u9 = r (f2 (4)+ a4 ln r), A = A(4) , ф = f3 (4) + 9. 5. ur = ur (r), u9 =— ff2 (r) + rt + r9), A = A(r), a9 ф = f2 (r)+9 6. 4 = a9X t, u=u(4), v=v(4), A=-Л ф = ф(4). 7. 4 = In t -(1 + a3 )ln r +a2 a3£ a -at—39 r 3 e 2 3 , uc = /2 (4) r a3 e-a2a39 A = /3 (4)r“3-V-2-39, ф = /4 (4)+ 9. X 9. 4 = -, u = /1 (4)t, v = /2 (4)t+a7y, a = a(4), ф = ф(4). 10. fu=2—t(/1 X4)X2+y2J, v =— ( f2 X4)-7 + -y] , A= 1 f3 X4) ф = ф(4). a5 у x J x 12. 4 = t-alnr-a99, u =1 /1 (4), v = -/2 (4), rr A = 4 /3 (4), ф = /4 (4)+9. 14. 4 = a9y t, u = u (4), v = /1 (4) + lnx, A = -fi (4), ф = ф(4). 1 -a9 - 15. 4=-—, u = u (4), y a5 - a9 — va9x -1 J A =- a9 x -1 /2 (4) v = /1X4)+ln ф = ф(4). — 1 18. 4= -, u = u (4), v = f (4) + ln X, A = -/2 (4), y X ф = ф(4). 19. 4 = P9-lnr, ur = ^/1 (4), u9= -L/2 (4), e e A = /3 (4)t, ф = /4 (4)+ 9. 20. 4= -, u = if (4), v = if, (4), A = 4/3 (4), y X X X2 ф = ф(4). 23. 4= lnt + y -a6х, u = /1 (4)t, v = f2 (4)t, A = /3 (4) t, ф = ф(4). 25. 4 =lnt+y, u = /1X4)^ v = f2 (4)t, A = f3 X4)^, ф = ф(4). 26. u = f1 (x)e+y +—8Xf2 (x)e+y +t), v = —Xf2 (X)e+y +t), A = f3 Xх)e+y, ф = ф(-). 27. u =■ —(f (X)e+y +t), v = f2 XX)e+y, a A = /3 X-)e+y, ф = ф(х). 32. u=aLXf1 Xx)+a8t)+Xy 2P8 ^, v = — (/2 /-) + t) + /x + P7)y, A = AX-), ф = ф(х). a9 33. u = —Xf X-) +1 + ay), v = /2 X-) + -y, A = A( x) , ф = ф( х). 34. ur = f1 Xr) e<X39 , u9 = f2 Xr )ea39 + rt, A = /3 Xr ) ea39, ф = /4 Xr ) + 9. 36. 4=ty1 + a3)lnX-+a6), u = f1 (4)-a3ln(x+a6), v=f2X4)Xf1 X4)-a3lnXх+a6)), A = f3X4)el a3+1 ф = ф(4). r 9 13 Математика, механика, информатика 37. 4 = a9 ln/х + a6 )-1, u = v —T^fi X4), A =- ’ ГГ-) X4), Xх+a6) X- + a V-X + у2 f3X4), ф = фХ4). \X + a6^ X- + a6) 38 4 = X-a6lnt, u = f -4)t, v = /2(4)t, A = /3 X4)t, ф = ф-4). 39. 4 = a9- -1, u = /1 -4)-a8-, v = f2 -4)-a7-, A = A-4), ф = ф(4). 40. u=— у Xх)+a8t), v=— T Xх)+^ a 9 a 9 A = A(x), ф = ф-х). 41. u = —— — (-) +1), v = v(x), A=A(x), a9 ф = фХх ). 42. 4 = ay + a9--1, u = — ( -4) + -), a8 v = /2X4)--7-+y, a = a(4), ф = ф(4). 43. u = /1 Xх)+—(— Xх)+t), v =— T X-)+1) + y, A = A(x), ф = фХ-). a9 44. u =— (f -X) +1-ay), v = /2 -X) + y, a9 A = A(x), ф = ф/х). 45. 4=y+-, u =— X —у /1 -4) +—81 /2/4)-—yln 1-/3 T4) v = /2 X4)-—7 ln(--/3(4)^j, A = -/3 /4), ф = ф/4). 46. 4 = y +1 + —9x, u = /1 (4)-—8x, v = /2 (4)--7-, A = A(4), ф = ф(4). 47. u = /1 (-) + y +1, v = — T (x) + y +1), a9 A = A(x), ф = ф(х). 48. u = —— (f (-)+ y-1), v = v(x), A = A(x), a9 ф = ф(х ). 55. 4 = —6у -—5x, u = /1 (4)e- -6, v = f2 -4)e--—6 +t, A = f3 -4)e---6, ф = ф(4). 56. 4 = —6у-—5x, u = -— a5 2 /1 (4)-у 1 a5—6 f2 X4) + —5 ""2 + —6—9у +t, A = A(4), ф = ф(4). J 57. 4=a6у -- u = f1 (4) + —8У, v = f2 X4) +t + —7^ A = A(4), ф = ф(4). 58. u = /1 (у) + —8x, v = /2 (y) +1 + ayx, A = A(у), ф = ф( у). 61. 4 = —19-lnr, ur = /1 (4)r —3I—2 =/2 (4) -3/ —2 A = /3 (4)e(—3--2)9, ф = /4 (4) + 9. e—29 62. 4=-, ur = f (4) r, u9 = /2 (4)r + -4 r ln r, r A = A(4), ф = /3 (4)+ 9. 63. 4= -, u = /1 (4) X-3, v = /2 (4): .-3 A = /3 (4)X-3-1, ф = ф(4). 64. u = /1 (x)ey/-5, v = /2 (x)ey/ 5, A = /3 (x)ey/ 5: ф = ф(X ). 65. u = - 2 •АXх)-v , v = ^^-/2(X)+хy), 2 J —5 A = A(x), ф = ф(х). 66. u = u (x), v = f2 (x) + —7y, A = A(x), ф = ф(х). Здесь f, i = 1,4- произвольные функции. На подалгебрах 11, 13, 16, 17, 21, 22, 28, 29, 30, 31, 35, 49.54, 60 инвариантные решения нельзя повторить в силу критерия инвариантности [1].