ASYMPTOTICS OF RENEWAL QUANTITY DISTRIBUTION IN THE PROCESS OF RESTORATION ORDER (k 1, k 2)

Full Text

В теории надежности процессом восстановления называется последовательность взаимно независимых неотрицательных случайных величин X i с функциями распределения Fi(t), i = 1,2,...[1, 2]. Для восстанавливаемых элементов процесс восстановления моделирует ситуацию, когда после первого отказа (X1 -наработка элемента от начала работы (t = 0) до первого отказа) элемент восстанавливается или заменяется и работает до следующего отказа (X2 - наработка элемента от первого до второго отказа), затем он восстанавливается или заменяется и работает до следующего отказа и т. д. Время восстановления не учитывается. Считается, что оно пренебрежимо мало по сравнению со временем наработки элемента между отказами. Существуют различные модели процессов восстановления, отличающиеся разными предположениями относительно функций распределения Fi (t) случайных величин Xi. Основной моделью, которая рассматривается в математической теории надежности, является простой процесс восстановления, для которого F(t) = F1(t), i = 2,3,.... Процесс восстановления называется общим (запаздывающим), еслиF(t) = F2(t), i = 3, 4,_ В данной статье мы будем рассматривать процесс восстановления порядка (k1, k2). В этом процессе функции распределения удовлетворяют условию [3; 4]: F (t) = Fj (t) при i = j(mod k2), i, j > £1. Последовательность функций распределения для данного процесса имеет вид F1, F2,..., Fki-1, , F2 +1, ' ' ', Fk1+k2-1, , F2 +1, ' ' ', ^£^1 +£2 — 1, . , и общему (запаздывающему) процессам восстановления. Эти случаи хорошо изучены, особенно в том, что касается асимптотического поведения их различных характеристик [1; 2]. Пусть N (t) - случайное число отказов (восстанов- £ лений) за время от нуля до t и Т£ = Е Хг, £ > 1 - i=1 моменты отказов (восстановлений). Тогда P (N(t) > £) = P(Tk < t). (1) Для асимптотического распределения N(t) процесса восстановления порядка (2, 1) (общего процесса) имеет место теорема [2]: пусть случайные величины X1, Х2 имеют конечные дисперсии Cj2 и ©2. Тогда lim P N (t)-- Д 2 < X :<*X), Ф(X) = -,2- J г" 1 dt, где д2 = M (X2), здесь M (Xi) - математическое ожидание случайной величины Xi. Рассмотрим аналог этой теоремы для процесса восстановления порядка (£1, £2). Введем следующие обозначения: Y = xh+,.—1, i = 1,2, ..., M(Yi) = Mt, D(Yi) = Di = c2, D = ED, i=1 A = E M,. Для последовательности одинаково распределенных случайных величин имеет место центральная предельная теорема [5]: если независимые случайные величины ^, 42, •••, 4п, ••• одинаково распределены и имеют конечную отличную от нуля дисперсию, то при п равномерно по x где функции распределенИЯ ^ F£2 +J, ..., Fh +£2 —1 образуют повторяющуюся (периодическую) часть рассматриваемого процесса восстановления. Процессы восстановления порядка (1, 1), (2, 1) (в первом случае F (t) = F1 (t), во втором -Fi (t) = F2 (t), i = 2,3,.) соответствуют простому '■ dt, где Bn = JE D(Z£). i£=1 Докажем аналог этой теоремы для процесса восстановления порядка (1, £2). 2 16 Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева Теорема 1. Пусть случайные величины Y,, задающие процесс восстановления порядка (1, £2), имеют конечные дисперсии Di = с2, i = 1, 2, ., £2, хотя бы одна из которых отлична от нуля. Тогда равномерно по X ( £ Л Е (Y — M (Yi)) -< x lim P £ ^ад i=1 = Ф( x). £ Ed V z=1 Д о к а з а т е л ь с т в о. При сделанных предположениях достаточно проверить, что выполняется условие Линдеберга: при любом т > 0 1 п lim— EJ M| B (x — M£)2dFk(x) = 0. (2) n^“ B2 r~t J|x—M£|>TBn ^n £ =1 qn Bn ^DEYi = ^PnD + ]ED,. При n >£2 n 1 E BT j (x—M£ )2 dFk (x) = £=1 Bn |x—M£I>XB„ j (x—M1)2 dF1 (x) +... + pnD + E Di L|x—M1^TBn i=1 + j (x —M£2)2 dF£2(x) + ... + \x—M£2\>%Bn + j (x—MnfdFn (x) 1 9n p+E d, i=1 Pn j (x —M1)2 dF1(x) +... + | x—M1>Bn + Pn j (x — M£2)2dF£2 (x) + qn + E j (x — M£ )2 dFk (x) £=1 |x—M£ |>TBn j (x—M1)2 dF1( x) +... + |x—M1>Bn 1 4n D+- ED Pn ,=1 + j (x — M£2)2 dF£2 (x) + Учитывая, что интегралы в правой части последнего равенства стремятся к нулю при n ^ ад (в силу предположения о конечности дисперсий Di ) и lim pn = ад, получим равенство (2). Теорема 2. Пусть случайные величины X i имеют конечные дисперсии, хотя бы одна из которых при £1 < i < £1 + £2 отлична от нуля. Тогда в процессе восстановления порядка (£1, £2) ( lim P N (t) — A t Л < x = Ф ( x). (3) Действительно, пусть Bn = DE Y, , n = pn£2 + qn , V i=1 где qn - остаток от деления n на £2 (qn < £2). Тогда £2л] DtA Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, что функции распределения F,(t), i = 1,..., £1 — 1 не влияют на асимптотическое распределение случайной величины N(t). Запишем £ в виде £ = m££2 + q£, где q£ - остаток от деления £ на £2. Тогда ( £ Л £ q£ £ — q q£ M D EY =E M (Y) = mkA +E Mt = k-^A + E M V i=1 У i=1 i=1 £2 i=1 ( £ Л £ q£ £ — q q£ E Y =E D(Y) = ^D + ED = —^D + ED V i=1 У i=1 i=1 £2 i=1 E(Y — m(Y)) EY — fc.A —Em, i=1 i=1 £2 i=1 £ E£ Di i=1 Обозначим = £—q£ q£ D +E D, 2 i=1 £ £ — q q£ E Y, — i^A — ^M, i=1_£2_i=1 v2 i=1 По теореме 1 имеем lim P(Z£ < t) = <(t). £ ^ад Рассмотрим P( N (t) > £): P (N (t) > £) = P (_ t£2 t£2 Л N (t)--2 £--2 A ^ A (4) (5) Учитывая (1), получим P (N (t) > £) = P = P E Y — -j-^A — E Mt t — ^A — E Мг q£ ( £ Л E Y < t V г=1 У £—q£ q£ i=1 Л2 i=1 2 i=1 £—q£ q£ D+E D, J£^D+E d q£ i=1 |x—M£2 >Bn qn 1 ^ +—E j (x —Mk? dF£ (x) pn £=1 |x—M£|>iBn = P ^£ <• £A q£A t--+ —--E M, £ £/—‘ K2 K2 i=1 D \i £2 f-q£ + 72 E D,^ 2 i=1 у Л (6) £ 17 Математика, механика, информатика Следуя доказательству теоремы об асимптотическом поведении распределения N (t) для общего процесса восстановления [2; 6], рассмотрим при фиксированном t последовательность {z£}, определяемую равенством £ = t£l + yftz£. A£ Из (5) и (6) получим ( t£ N(t) — £- P ~ St A > z£ = P £AS q£A q£ ——+E m, £ ^ £2 i=1 £ A D Предполагая, что lim z£ = z , из (4) имеем lim P t ^ад f t£ A N (t) — % A > z St £ = 1 — Ф zA = 1 — Ф Wa3 £24d Об zS3 Обозначив x =-;=, окончательно получим £2SD lim P £2StDA— ■ > x = 1 — Ф( x). Отсюда следует равенство (3). Таким образом, для процесса восстановления порядка (£1, £2), обобщающего известные в теории надежности простой и общий процессы восстановления, имеет место сходимость распределения числа восстановлений в момент времени t к нормальному распределению M (N(t)) = — t и с (N(t)) = £24tDA—3 . Этот A результат можно использовать, например, для расчета необходимого на данный период времени числа запасных элементов при эксплуатации технических систем.

About the authors

I. I. Vainshtein

Email: isvain@mail.ru

G. E. Mikhalchenko

Email: mihal4enko.galina@yandex.ru

V. I. Vainshtein

Email: Vit037@mail.ru

References

Supplementary files